위상 평면과 연립 미분방정식의 일반해

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Пікірлер

@깜장지우개 Жыл бұрын

오늘도 영상 정말 재밌게 보았습니다! 항상 도움 많이 받고 있습니다. 한 가지 질문드릴 것이 있는데요, 1. 20:36 에서, dx/dt의 ‘x’는, 솔루션 커브상의 각 벡터의 ‘고유벡터방향성분’ 으로 이해하면 되는 지 여쭤봅니다 ㅎㅎ 2. 결국 주어진 x,y에 대한 2원 1계 미분방정식에 대해 dx/dt와 dy/dt가 모두 x,y의 선형결합꼴이면, 그 해를 선형결합(행렬) 의 고유벡터가 기저가 span하는 공간에 아름답게 표현할 수 있다. 정도로 이해하면 될지 여쭤봅니다 ㅎㅎ 아직 각 고유벡터방향 성분의 성장률이 exponential 인 것에 대해, ‘양의feedback성장이니 그렇다’ 정도로 모호하게 이해하고 있습니다. 몬가몬가 원래 공간의 해가 exponential하니, 선형변환한 공간에 대해서도 변환된 기저로 표현한 해들이 exponential할거 같다는 느낌은 있는데 아직 명확히 이해는 안되네요 ㅎㅎ 공돌이님 영상 보면서 언젠가는 명확하게 이해할 날이 올거라고 믿고 오늘도 천천히 진도나가봅니다~

@김재호-f5i 3 жыл бұрын

오앙... 항상 뭔가 필요한것들을 같이 대꼬와주시는..ㅠ_ㅠ 선생님 텐서가 뭔지 모르겠습니다!!!ㅠㅠㅠㅠ

@AngeloYeo 3 жыл бұрын

텐서... 저도 어렵습니다 😇 eigenchris 라는 유튜버가 잘 설명하던데 구경가보시죠

@하호준-b4j 3 жыл бұрын

위상평면이라길래 공학에서 topology space 로서 topology plane를 다루는구나 했어요. phase plane 이었네요

@AngeloYeo 3 жыл бұрын

아 음....ㅇㅁㅇ 그렇게 번역할 수도 있군요 😇 위상평면은 위상공간과는 전혀 다른 개념이 되겠습니다

@일초-y6p 3 жыл бұрын

위상평면에 오일러의 방식으로 그려진 solution curve 를 고유벡터에 정사영시켜서 그 정사영 된 값들을 가지고 미분방정식의 답이 되는 지수함수 두 개를 그려 내는데 그렇다면 증가하는 지수함수와 감소하는 지수함수 두 개의 그래프가 나와야 하지 않나요 ? 둘 중에 하나는 왜 로그함수 그래프죠 ? 정사영된 지점과 원점과의 거리를 함수의 높이라고 보고 그래프를 그리면 로그함수로 그려진 그림도 감소하는 지수함수로 그려질 것 같은데 .... 정사영된 지점과 원점과의 거리는 양수로 봐야 하지 않나요 ?

@AngeloYeo 3 жыл бұрын

안녕하세요~ 1. 영상에서 1번째 고유벡터로 정사영된 경우의 원점으로 부터의 거리 sequence가 꼭 로그함수처럼 보이는데요. 로그함수는 아니고 지수함수에 승수도 음수이고 지수함수 앞에 음수 부호도 붙었기 때문에 저런 형태를 보이는 것으로 보면 될 것 같습니다. 2. 그리고 정사영된 지점과 원점과의 거리를 항상 양수로 봐야하는것 아니냐 하는 말씀도 해주셨는데요. 여기서 거리로 생각하기 보다는 정사영된 벡터 상에서 수직선을 긋는다고 생각하시고 새로운 좌표계라고 봐야 합니다. (조금 더 엄밀하게는 정사영 시키고자 하는 고유벡터들로 새로운 좌표계를 구성하는 것과도 같은 이치입니다.) 음수가 나오는 이유는 고유벡터의 방향을 제가 10시 방향이 양수다라고 잡았기 때문에 수직선을 구성할 때 반대방향은 음수가 되기 때문일 뿐입니다 ㅎ

@일초-y6p 3 жыл бұрын

@@AngeloYeo지수함수 앞에 음수 부호를 붙였다는 그 설명에 모든 것이 다 이해되는 것 같습니다 ~~ 고맙습니다 ^^ ~~~~ ~~~~ 최근에 라플라스방정식 동영상 2개 선형변환 동영상 자코비안 행렬 동영상 다시 봤습니다 !!!! 이런 작품을 만들고 난 뒤의 제작자의 심정을 알겠더라구요 자기가 원했던 아기를 생산한 느낌 ^^

@AngeloYeo 3 жыл бұрын

@@일초-y6p 매번 좋게 봐주셔서 너무 감사합니다 ^^

@일초-y6p 3 жыл бұрын

과거에 이 부분을 공부하며 괴로워 해 본 경험이 없길래 지금 여기서 깨닫는 것도 한계가 있을 수밖에 없는 것 같습니다 전에 선형대수학 책을 보면서 고유값,고유벡터 파트에서 미분방정식이 (연립미분방정식) 나와서 황당했는데 "고유값,고유벡터를 사용해서 연립미분방정식을 푼다는 세계가 있구나 ..." 하고 그 때 궁금했던 것이 해소되었습니다 이 동영상에서 세부적인 것은 이해를 못했지만 푸리에급수와 같이 미분방정식이 지수함수의 선형결합으로 표현되는 이유를 공돌이님이 기하학적으로 설명하려 했고 저도 어느 정도는 그 내용도 이해가 갑니다 고유값,고유벡터를 사용해서 연립미분방정식을 푸는 방법까지는 다 이해했습니다 (이 정도만 해도 만족) 공돌이님이 설명하려 했던 기하학적 원리를 세부적으로 이해하기는 시간이 좀 걸릴 것 같습니다 그런데 궁금한 것은 미분방정식의 답에서 고유값은 지수함수의 지수에 있지만 고유벡터는 (고유벡터를 행렬로 표현해 포함한) 미분방정식의 답에서는 고유벡터가 포함되어 있는데 단순히 (수식으로만 표현된) 미분방정식 답에는 고유벡터는 보이지가 않거든요 고유벡터는 미분방정식의 답이 되는 함수 세계의 축을 의미하기 때문에 기하학적 의미까지 보여 주지 않는 (수식으로만 표현된) 미분방정식 답에는 나타나지 않느 건가요 ? (수식으로만 표현된) 미분방정식 답 이란 선형대수를 전혀 사용하지 않는 일반적 미분방정식 교재에 나와 있는 그런 답이란 뜻으로 질문드립니다 ^^ ..

@AngeloYeo 3 жыл бұрын

노성용님~ 과거에 이 부분을 공부하며 괴로워 해 본 경험이 없길래 지금 여기서 깨닫는 것도 한계가 있을 수밖에 없는 것 같다는 말씀이 많이 와닿습니다 ㅎㅎ 저도 배우면서 고생했던 것을 새롭게 정리해보는 데서 큰 희열을 느끼는 것 같습니다 ㅎㅎ 질문도 잘 보았는데요. (수식으로만 표현된)이라는 말이 어떤 것인지 잘 모르겠습니다. 일반적인 2계 미분방정식을 말씀하시는건지요...? 연립 미분방정식의 해는 모두 고유벡터가 포함되는데요 ㅎㅎ 용어 정리가 조금 필요할 듯 보입니다 ㅎㅎ 혹시 예시가 될만한 사진이나 링크가 있으시면 제가 더 도움드릴 수 있을 것 같습니다

@일초-y6p 3 жыл бұрын

@@AngeloYeo 대학교 교양수학 미분방정식 답에는 벡터니 행렬이니 하는 것이 아예 없고 지수함수의 선형결합만 있지 않습니까 ? 그런데 이 동영상의 미분방정식 답에는 고유벡터 두 개가 포함되어 있쟎아요 ? (2×1 ) 행렬 형식으로 !

@AngeloYeo 3 жыл бұрын

아하 3편 정도 더 가야 그 질문에 대한 해답을 알 수 있을 것 같습니다 ㅎㅎ 말씀하신 내용들은 2계 (혹는 더 고계) 미분방정식에 해당되는 내용입니다. 그 경우는 연립미분방정식의 솔루션에서 x에 대한 솔루션만 따온 경우라고 보면 됩니다. 좀 더 자세한 내용은 아래 링크에서 구경해보셔도 됩니다 ^^~ angeloyeo.github.io/2021/05/27/second_order_ODE.html

@일초-y6p 3 жыл бұрын

@@AngeloYeo 새로운 것을 배우는 기쁨이 있지만 매번 나타나는 장벽 때문에 수학을 피하고 음악이나 듣고픈 생각도 있고 (그러자니 진화가 안 되겠고 .....;;;; ㅜ ㅜ) 전에 선형대수학 책 고유값,고유벡터 파트에서 연립미분방정식이 나오길래 (이런 게 왜 여기서 나오나 ....) 그 궁금함이 공돌이님 이 동영상을 통해 해소되었고 지금 이 동영상에서 미분방정식 답으로 나온 함수가 각각의 고유벡터 축에 정사영되는 것 보고 (푸리에급수 주파수성분을 구할 때 함수를 각각의 축에 정사영시커서 원하는 성분을 알아내는 그 방법의 기하학적 원리와 너무 비슷하구나 ...?) " 선형결합과 선형대수가 푸리에급수 뿐만 아니라 미분방정식에도 적용되는 기하학적 원리가 존재하는구나 .... " 하고 저 나름대로 많이 배웠습니다 ^^ (선형대수로 미분방정식 풀기도 !) 고맙습니다 ~~~~~~~~~~~~~

@AngeloYeo 3 жыл бұрын

정확하게 파악하셨습니다 ㅎㅎ 푸리에 급수나 푸리에 변환도 결국에는 고유벡터로의 정사영(내적)이 적용되는 것이 맞습니다! 이 내용은 한참 후에 올라갈 선형연산자와 고유함수 전개까지 보셔야 되는 내용이지만 큰 그림은 말씀하신 부분이 정확하게 맞습니다 😁