Часть 6: Понятие Первообразной функции и ее геометрический смысл

[@fctrn284]

Спасибо за лекцию, продолжайте снимать, пожалуйста, вас очень приятно слушать

[@kanalsmayla]

Безумно интересная лекция. Смысл первообразной для меня оставался всё время тайной. Теперь я поражён: насколько это важное явление. Спасибо огромное

[@paulsherman1288]

На здоровье и спасибо за слова благодарности!

[@ВераРогова-г8ж]

Спасибо за хорошее объяснение, наконец-то хоть кто-то понятно разъяснил некоторые элементы

[@Gavr-ly5fu]

Отличная серия роликов получилась, огромное спасибо автору за труд. А видео о интегрировании было снято? Что-то не могу найти.

[@1DrWathson]

Паша молодчик. Год расчетов, и один пуск -)))

[@paulsherman1288]

Классика Ватсон...)

[@selenitsky9066]

И всё таки она вертится!! ))) P.S. Не стесняемся, комментируем! Продвигаем в топ Ютуба! )))

[@paulsherman1288]

А куда она денется...)

[@nigan952]

Два вопроса: - Допустим есть функция скорости. тогда первообразная первого порядка от нее будет Путь, а тогда какой физический смысл будет у первообразной второго порядка в таком случае? - Когда продолжение? особенно про дифференциальные уравнения.

[@paulsherman1288]

1) Физического никакого. Постарайтесь проследить цепочку - пусть у нас есть функция отражающая ускорения, которое измеряется в м/с2, первообразная от нее будет являться функцией скорости, которое измеряется в м/с, в свою очередь, первообразная от скорости есть путь и он измеряется просто в метрах. Метры - это уже координата физического расположения объекта. По физическому принципу - дальше не куда идти... Этого достаточно и выяснять больше нечего о физических параметрах существования тела в пространстве... 2) Скоро...

[@kirillpavlovskii8342]

Спасибо большое! Побольше пожалуйста такого хорошего материала! Хотелось бы увидеть что-ниюдуь по комбинаторике и булевой алгебре если возможно!

[@paulsherman1288]

Прошу извинение за задержку с ответом, пропустил Ваш комментарий. Видео по комбинаторике, дискретной математике или булевой алгебре, как в прочем и другим разделам математики и геометрии, на данном канале освещаться не будет за некоторыми исключениями. Единственное, что будет пройдено из математических разделов - это основы математического анализа в общем представлении (базовый курс) и без раздела Числовые и Функциональные ряды. Возможны видео с темами по аналитической геометрии и линейной алгебре, но не в составе курса. Причин такого решения несколько: 1) Данные разделы математики и геометрии мало чем помогают темам поднимаемым на данном канале; 2) Я не Бог в математике и хорошо знать все ее разделы, на таком уровне, чтобы можно было их преподавать, просто невозможно. Математика очень многогранная и очень большая наука. Есть разделы математики, которые глубоко понимают только несколько человек на планете и их количество не превышает количество пальцев на одной руке.

[@alekseyk483]

Очень круто! Доступно и понятно. Спасибо, надеемся на продолжение!

[@paulsherman1288]

Спасибо и на здоровье! Продолжение обязательно будет!

[@МаксимМежерицкий-з7р]

Благодарен вам! Как обычно крутое занятие.

[@paulsherman1288]

На здоровье! Рад, что лекция Вам понравилась!

[@vovka_light]

Спасибо вам большое за ваш труд, жду следующего выпуска. Хотелось бы увидеть подробное обоснование формулы Ньютона-Лейбница (почему и как).

[@paulsherman1288]

На здоровье! Уравнение Ньютона-Лейбница мы будем проходить на следующей лекции. Вся суть и аппарат этого уравнения фактически изложен в этой лекции - 20:30. В дальнейшем мы лишь рассмотрим его вид и некоторые нюансы применения. Если Вы желаете, что-то конкретное узнать о данном уравнении, то напишите в комментариях, что именно.

[@MG-rn8kx]

это физический смысл. геометрический смысл первообразной - это площадь под графиком. поэтому то и работает формула Ньютона-Лейбница.

[@paulsherman1288]

Не всегда, нужно пониать, что происходит в конкретном случает. Интеграл отражает истинную площадь с большими условностями и вычисляет ее лишь тогда, когда Вы знаете, что делаете, в противном случае он может показать непонятное Вам, хотя и не будет в этом виноват! Точное определение геометрического смысла определенного интеграла - это вычисление суммы ориентированных площадей. Почитаейте об этом термине (ориентированная площадь) и Вы глубже узнаете интеграл. К примеру, определенный интеграл от функции f(x)=x с пределами интегрирования от -1 до 1 покажет нам 0. Хотя мы знаем, что площадь под гравиком этой функции относительно оси асцисс равна 1. Проблема в том, что интеграл складывает площади над осью абсцис и вычитает площади под ней (это грубо сказано, я лишь хотел заставить Вас задуматься о неоднозначности точных, школьных утверждений, все не так просто как кажется).

[@iamu3464]

Спасибо ! Можно углублённое понятие интеграла ? Прям интересно что сказал ректор студентам.

[@paulsherman1288]

На здоровье! Следующая лекция будет как раз про интеграл.

[@ФилЖелезный]

Хотелось бы посмотреть в вашем исполнении лекции по ТАУ

[@paulsherman1288]

Мне бы тоже...)))

[@ИванПетров-п6ч]

Здравствуйте, просмотрел и законсепектировал все ваши лекции. Спасибо вам за ваш труд! А вы не могли бы, сказать какие видео смотрели или книги читали чтобы прийти к такому пониманию математики? Может посоветуете какую нибудь книги? Просто хочу дальше изучать мат анализ.

[@HubaBuba2007]

почему скорость в точке меняется, если скорость - производная. Скорость в точке (1;2) = 2, не больше и не меньше. Тогда почему при разных дельта х оно разное, если при этом меняется и дельта у

[@ФилЖелезный]

вот таких вот уроков не хватало в школе и универе

[@paulsherman1288]

Спасибо!)

[@МёртвыйПингвин-з9е]

Спустя столько лет! :D

[@paulsherman1288]

Лучше поздно чем...)

[@ИльяБродский-з8м]

Спасибо за видео! Очень хочется конечно лекцию про интеграл. Не понятна пара деталей: на 20ой минуте видео, где вы объясняете геометрический смысл первообразной, вы говорите: "Значение первообразной будет являться площадью под графиком функции от которого эта первообразная ищется". И вот тут не понятно: Во-первых, площадь с каким значением аргумента? Вы берете значение аргумента от 0 до 4. Почему именно от 0? Это прям правило? Если я возьму площадь от -4 до 4, то какой это точке на первообразной эта площадь будет соответствовать? В чем заключается то смысл? Во-вторых, первообразная это семейство функций, и при разной константе значение её в одной и той же точке будет разным, хотя площадь под функцией будет одинакова.

[@paulsherman1288]

На здоровье! Судя по тем вопросам, которые Вы задаете, Вы действительно хотите лекцию про интеграл!) В этой лекции, шла речь о первообразной и ее геометрическом смысле. Следовательно приводились удобные примеры для того, чтобы хорошо усвоить именно эту тему и не лезть в дебри связных проблем. Эта была цель. Я неоднократно повторял, что все эти неоднозначности поиска первообразной рождают целый ряд проблем при интегрировании, а значит не все так просто, но об этом будет в следующей лекции, сейчас главное это проникнуться механизмом нахождения первообразной. Вы задаете абсолютно правильные вопросы! И ответ на них лежит не в геометрическом смысле первообразной, а в том как математически использовать данный смысл. А это уже лекция об интеграле, как математическом операторе, который работает как раз на этом смысле и у которого есть собственный математический аппарат счета, правила и механизмы. Ответы на все Ваши вопросы будут подробно изложены в следующей лекции, но вкратце я конечно же Вам отвечу. 1) Да я беру значения от 0 до 4. Почему от 0? Потому что, забегая вперед, я беру "определенный интеграл" с использованием уравнения Ньютона-Лейбница и чтобы избежать ненужных вопросов отвлекающих от текущей темы, которые на самом деле являются вопросами к теме будущей лекции. Так что не переживайте "брать от 0" ни какое не правило, оно было просто удобно для демонстрации сути процесса нахождения первообразной. Можно брать любой интервал с условием, что функция на данном интервале определена и является непрерывной, ну и если Вы понимаете что делаете (работа с оператором "интеграл" куда сложнее чем с оператором "сумма" и требует понимание происходящих вещей). И это уже как раз к вопросу об интеграле, как им пользоваться и как интерпретировать его значения. Можно взять и интервал от -4 до 4, но при анализе значения первообразной может возникнуть некий конфликт мысли с тем, что я изложил ранее, и о котором я как раз расскажу в следующей лекции. Может так произойти, что площадь будет являться отрицательным значением или равной 0, хотя геометрически это не так. Такие ситуации, к геометрическому смыслу первообразной ни какого отношения не имеют (они имеют отношение к уравнению Ньютона-Лейбница и его интерпретации), следовательно отвлекут зрителей от целевой темы повествования. Сразу давать все тонкости в одной лекции, означает создать кашу в голове слушателя. Для меня это неприемлемо. Я, в отличии от 99% ребят на ютубе, которые также пишут лекции по мат.анализу, строго разделяю темы Первообразной и Интеграла и считаю это правильным. Я не скидываю две эти темы в одно видео продолжительностью в 15 минут. Чему такое видео может научить? Я лучше сделаю две полноценные лекции. Поэтому всему свое время. 2) Как Вы "почти" правильно заметили: первообразная - это семейство функций. Я уточню: Первообразная - это семейство функций только в том случае если не удается решить задачу Коши, то есть если мы не можем определить значение константы. Задача Коши - это тоже тема из следующей лекции об интеграле. Найти значение константы жизненно необходимо в определенных ситуациях, особенно в решении физических задач и выведении физико-математических законов, ну или если Вам нужно узнать точное значение некой нелинейно-меняющейся величины для определенного аргумента функции. Однако, как следует из уравнения Ньютона-Лейбница, которое мы подробно изучим в следующей лекции, для определения площади (с некоторыми оговорками), знать точное значение константы не обязательно, она не принимает участия в определении площади. Почему? Смотрите! Ранее я говорил, что когда я беру интервал от 0 до 4, то я беру "определенный интеграл" с использованием уравнения Ньютона-Лейбница (Sf(x)dx=F(b)-F(a), где S - знак интеграла, (a, b) - границы интегрирования). То есть, на самом деле, я не беру значение первообразной только в точке x=4. Я применяю целое уравнение в котором из одной площади отнимаю другую, чтобы найти целевую. Это значит, что я беру значение первообразной в точке x=4, а оно равно F(4)+C и вычитаю значение первообразной в точке x=0, а оно равно F(0)+C. И что мы видим?: Sf(x)dx = F(4) + C - (F(0) + C) = F(4) - F(0) = F(4) В данном случае интеграл будет действительно отражать точную площадь под кривой и если раскрыть скобки, то мы видим, что константы сократятся, в нашем случае первообразная при x=0 равна 0, а значит точная площадь на интервале от 0 до 4 равна значению первообразной в точке x=4 и значение константы искать не нужно. Как мы видим константа не принимает участия в определении площади. И мы будем подробно изучать уравнение Ньютона-Лейбница в следующей лекции. Надеюсь мой ответ Вас удовлетворит. Спрашивайте если что не поняли. Но видимо Вам уже нужно двигаться дальше и познавать новый материал - Вы поднимаете вопросы из будущей лекции.

[@ИльяБродский-з8м]

@@paulsherman1288, добрый день, спасибо за оперативный ответ! Да, действительно, я смотрел видео с надеждой узнать идеологическую причину связи между интегралом и первообразной. И когда вы начали объяснять, что первообразная - это в какой-то мере функция накопления для функции производной, и что еще логичнее для её расчета необходимо посчитать площадь под производной, я как раз и подумал, что нашел именно то объяснение, которое прям искал долгое время :) А потом уже пошли сомнения, который описал выше (если первообразная может иметь разные значения в одной точке, как она может быть функцией накопления? и какую площадь необходимо брать под графиком производной, чтобы определить первообразную в точке?) Но ваши объяснения понятны, спасибо за них! Очень надеюсь на скорый выход лекции!

[@paulsherman1288]

@@ИльяБродский-з8м Давайте еще кое что Вам разъясню. Первообразная - это функция. Функция, по определению, не может иметь несколько значений в точке. Когда речь идет о неоднозначности определения функции первообразной - это нужно понимать буквально. Это не значит что первообразная имеет в точке неопределенное количество значений, нет. Значение может быть только одно. Просто мы его не можем точно определить так как не знаем чему равна константа, потерянная при дифференцировании. Эта константа одна, это число, она не меняется от аргумента к аргументу, просто значение ее неизвестно. Если рассматривать первообразную как функцию накопления и видом F(x)+C, то тут нужно понимать следующую вещь. Что константа С не влияет на характер функции накопления, она лишь добавляет постоянное значение к каждому значению функции, а вот сама функция F(x) как раз отражает характер накопления. Посмотрите еще раз график, который я привел на 34:36. Если присмотреться, то характер всех первообразных одинаковый, отличие лишь в "добавке" константы различной величины. "Если первообразная может иметь разные значения в одной точке, как она может быть функцией накопления?"(с) Она НЕ имеет разные значения в одной точке. Значение всегда одно! Просто мы не знаем какое именно из-за того, что не знаем чему равна константа. Поэтому первообразная спокойно живет себе и отражает накопление. В одном случае мы можем узнать его точное значение (когда С известна), а в другом мы можем лишь судить о характере этого накопления (когда знаем F(x), но не знаем С), но точного значения найти не сможем. Если говорить иносказательно, то константу С можно рассматривать как некую сумму денег, которая была на Вашем счету до того как вы открыли компанию и начали получать прибыль, ежедневно следя за ней по графику первообразной. Обращаясь опять к слайду 34:36 хорошо чувствуется этот момент. Компания одна и та же, просто графики с первого по четвертый отражают разные варианты реальности - разное количество денег, которое уже лежало на счету в момент открытия компании. В первом случае Вы открыли компанию, когда на Вашем счету было 0 рублей, а в четвертом случае, когда на счету уже заранее лежало 8 рублей (это и есть константа С). И потом пошла ежедневно добавляться прибыль отраженная графиком первообразной (это и есть F(x)). Если мы их сложим, то есть к F(x) прибавим С то мы будем знать точное количество денег на счету в любой момент времени. Теперь представьте себе что эти деньги (8 рублей), которые лежали на счету до открытия компании, были не Ваши, а Вашего друга, который попросил подержать их у Вас. Ваша компания уже работает. И в один день Ваш друг попросил их вернуть. Что произойдет с точки зрения математики? Значение С станет равным 0: Было: F(x) + 8 Стало: F(x) Как видите, характер Ваших накоплений, в ходе работы компании не изменился, так как не изменилась сама функция отражающая данный характер F(x). И возврат денег другу не уменьшил аналитических возможностей первообразной ни на грамм. А графически это действие выглядело как сползание всего графика первообразной на 8 рублей вниз, без изменения в своем поведении. Тоже самое произойдет когда Вы выплатите сотрудникам заработную плату в размере 10 рублей. График по виду останется тем же, просто каждое его значение опустится на 10 единиц (рублей) вниз. Согласитесь, что выплата заработной платы ни как не характеризует рост Вашей прибыли и посему это действие не изменит характер первообразной. Нужно четко понимать, что такое первообразная сама по себе и какую роль в ней играет константа. Когда эта константа нам важна и ее нужно искать, а когда нет. "Какую площадь необходимо брать под графиком производной, чтобы определить первообразную в точке"(с) Да, этот момент я умолчал намерено, так как это материал уже следующей лекции. Площадь под графиком производной и значение первообразной лишь в одной точке связи между собой как таковой не имеют, если уж быть математически корректным. Для того, чтобы определить площадь нужно установить на каком интервале абсцисс я хочу эту площадь посчитать (то есть определить границы, которых всегда две), затем найти значение первообразных для абсцисс, которые находятся на краях этого интервала, и потом применить уравнение Ньютона-Лейбница. У нас этот интервал составлял от 0 до 4. Следовательно, за кулисами, на самом деле искалось значение первообразной не в одной, а в двух точках, просто я умолчал о значении первообразной в точке 0. И это тоже было мной намеренно сокрыто. Так как уравнение Ньютона-Лейбница тоже относится к лекции об интеграле. Моей задачей было раскрыть механизм нахождения первообразной без лишней информации из будущего...)

[@ИльяБродский-з8м]

@@paulsherman1288, да, спасибо большое, стало понятнее Если рассматривать первообразную, как функцию, которая объясняет характер накоплений, а не сами накопления, то все встает на свои места. Хотим понять сколько денег было накоплено за какой-то период, берем значение конца, вычитаем значение начала, что эквивалентно площади под графиком скорости. Вроде логично. На самом деле вопросы еще есть, но они касаемо интегралов, наверное стоит подождать лекции :) Например, почему неопредеденный интеграл означает все семейство функций первообразных (по сути одна сущность названа разными словами), хотя интуитивно понятно, что сущности (неопределенный интеграл и первообразная) в чем то разные, но из определения вообще не очевидно))) Спасибо еще раз за разъяснения!

[@paulsherman1288]

@@ИльяБродский-з8м Да, все верно. А если мы хотим, чтобы первообразная отображала не только характер накоплений, но и реальное количество денег на счету в определенный момент времени, то мы должны определить для нее константу С... На здоровье!

[@АлександрСавостьянов-в6о]

Непонятна фраза : , это как , изменение - это что , превращение функции в картошку , а скорость - км /в час ??

[@kirillpavlovskii8342]

когда будут новые видео? я люблю ваши уроки

[@paulsherman1288]

Спасибо за оценку! Я стараюсь. Процесс идет. Следующее видео будет об Интеграле. Когда оно будет? Не знаю даже я. У меня много работы в реальной жизни. Видео записываю когда есть время и настроение. Тем более я решил делать видео более качественными, с хорошо подготовленными слайдами, чтобы не томить вас рукописными каракулями. Думаю это хорошо видно из последнего видео о Первообразной. Посему, продолжение будет, и новая лекция уже готовится, но с новыми стандартами качества процесс затягивается, нужно сделать большую подготовку, постараться сформировать лекционный материал так, чтобы суметь в одном видео ответить на большинство проблемных вопросов этой темы. Я просматриваю много видео по данной теме у "конкурентов", собираю информацию о их ошибках и читаю вопросы в их комментариях, смотрю на те вопросы, которые остались без ответа авторов и по моему мнению считаются важными. После такого статистического анализа строится план моей лекции, в которой я стараюсь быть, с точки зрения достоверности и всеобъемлемости излагаемого материала по теме, лучше всех "конкурентов". Нужно просто подождать, за что прошу прощения...

[@astronomer762]

Здравствуйте, планирую посмотреть ваши видео от теории пределов функции до текущего, пойму ли я этот материал, если у меня знания по математике только 9 классов? если нет, то можете посоветовать не сложную литературу для понимания, от азов до неплохого уровня и ещё хочется увидеть курс по мат. анализу, о котором вы упоминали, или это и есть курс по мат. анализу?

[@paulsherman1288]

Доброго времени суток! Да это и есть этот курс. Я уверен, что Вы без труда пройдете его. В любом случае Вы всегда можете оставить свой вопрос в комментариях и я обязательно на него отвечу в кратчайшие сроки. Правда курс еще не закончен, осталось еще две лекции "Понятие Интеграла" и практическая часть. Он как раз спланирован так, чтобы изложить важные, а где-то и сложные, аспекты основ математического анализа простым языком. Мой курс не освещает глубинные темы Математического Анализа, как и не освещает тех проблем и задач, которые стоят перед ним на сегодняшний день, по одной большой причине - это крайне сложные в своем понимании вещи, многие из которых я сам не понимаю. Этот курс рассчитан на то, чтобы дать осознанное представление о важности Математического Анализа в нашей повседневной жизни, о том, что его законы окружают нас повсеместно и для того, чтобы популяризовать науку математику для широкого круга зрителей путем формирования у них фундаментальных знаний в ее основах. Целью курса является изложение зрителю фундаментальных основ данного раздела математики, от простого к сложному простыми словами. Рассчитываю на то, что мой зритель владея такими основами и научившись ими оперировать, сумеет качественно поменять свой взгляд на аналитические проблемы в жизни или работе. Многие ошибочно полагаю, что для того чтобы смотреть на мир аналитическим взглядом, нужно хорошо знать серьезные темы математики или закончить технический ВУЗ. Это не так! Проблема не в этом! Любой может открыть для себя много нового и удивительного в реальной жизни если просто повторит и попытается понять то чему его учили в школе и на первых курсах университета, повторит заново, осмысленно, по новому...

[@astronomer762]

@@paulsherman1288 Большое спасибо, тогда всё посмотрю и буду ждать следующих уроков

[@kuqmua755]

Лично я вообще не врубаюсь что такое преобразование фурье. Сколько пытался посмотреть объяснения на ютубе - все нще не врубаюсь. Только немного что-то понял когда один кодер сделал на JavaScript преобразование кривых в систему окружностей разного радиуса

[@paulsherman1288]

Для того, чтобы доподлинно разобраться с таким понятием как Преобразование Фурье. Нужно в первую очередь разобраться с основными темами, понятиями и операторами Математического Анализа. Хорошо изучить такую тему как Числовые и Функциональные Ряды. Тогда такое понятие как Преобразование Фурье станет просто открытой книгой. Нужно понимание того, что без соответствующей базы знаний в лоб атаковать сложные темы не имеет ни какого смысла. Вы ни чего не поймете, запутаетесь и возможно сделаете ложные выводы.

[@NikitaSafronov-y6i]

Где же видео про интеграл. Сессия на носу. Ждать год нет времени =)

[@Johny-d4v]

Здравствуйте! Не совсем понял как вы на 30 мин. перешли от сигма(икс) к пределу. Почему она равна пределу?

[@paulsherman1288]

Здравствуйте! Все очень просто, внимательно прослушайте часть этой лекции, посвященной разбиению Римана еще раз. Сама по себе интегральная сумма применима как к макро разбиениям так и к микро разбиения (на рисунке отражено макро разбиение). Если мы хотим доподлинно узнать точную площадь под графиком функции (что не позволит сделать макро разбиение), мы должны произвести бесконечно большое количество разбиений на заданном участке, границы которого определены, а следовательно размер каждого разбиения должен стремиться к нулю. Исходя из данного логического утверждения и родился предел в уравнении площади. Чтобы узнать точную площадь мы должны стремить шаг разбиения к нулю (нам достаточно стремить к нулю именно шаг разбиения, так как мы установили, что все остальные разбиения, внутри данного интервала, меньше его и следовательно стремятся к нулю гораздо быстрее чем сам шаг). Из логического осознания того, что нам нужно, что-то, куда-то стремить и родился предел, предел стремления, значение которого, в итоге, будет стремиться к конкретному числу отражающему реальную площадь под графиком функции на заданном интервале.