Часть 5: Понятие Дифференциала функции

[@paulsherman1288]

41:13 - Рассказываю о том как можно использовать дифференцирование функции в повседневной жизни.

[@vovanikotin]

Удобный пример, а как быть если целая часть числа под корнем, неудобна для взятия корня? Допустим, 13.08, из 13 корень устно не взять.

[@paulsherman1288]

Правильно заметили, да, пример удобен. Удобен для объяснения сути процесса. Остальное решается только количеством знаний в операциях с числами. Ваш пример нужно либо брать грубо, либо постараться его представить в более удобном виде. Кто Вас заставляет брать корень от 13? Я не ограничивал Вас в выборе значения приращения аргумента функции. В данном примере было удобно взять 0,08, в другом возможна другая ситуация... Вы же можете дифференцировать функцию с иным значением приращения аргумента. Нужно понимать, что исходное выражение нужно представить в удобной форме для дифференцирования и одновременно стараться, что бы значение приращение аргумента относительно значения функции в которой берется производная было как можно меньше, ибо от этого зависит точность вычисления.

[@alina.skrypnyk-1]

Наткнулась на это видео случайно, в попытках понять прошлую пару. Осталась в полнейшем недоумении от того насколько незаинтересованно и скомканно мне изложили материал в универе и как понятно, просто и увлечённо сделал это кто-то на ютубе за блин бесплатно...

[@RenescoRocketman]

Не успеваю смотреть, как новые видео выходят по теме. Спасибо именно за это вот отвлечение на математику. Вещь очень полезная для тех, кто учил все эти штуки кусками в связи с решением отдельных задач. Помогает навести какой-то системный порядок в теме.

[@paulsherman1288]

На здоровье! Я стараюсь записать больше видео пока у меня есть на это время. И быстрее вернуться к КСП. Так как отвлечься на мат. анализ пришлось вынуждено. Сейчас будет пауза длинной в выходные. Думаю последние три видео по этой теме запишу уже на следующей неделе. Потом продолжу работать по КСП. И спасибо за отличное настроение вчера!) Веселый получился стрим! Он сделал мой вечер!)

[@NXN-QUXT]

Прекрасное объяснение, всё на доступном языке. Единственный вопрос был на 13-14 минутах, но к концу видео всё стало понятно

[@urran6910]

Отличный гайд! Похоже с каждым годом Я начинаю все лучше понимать матан, а знания приобретенные в комьюнити КСП для меня все ценее. Хорошая все же игра

[@FloyWin]

Хоспади! Ты боженька! спасибище за такой подробный рассказ!

[@nightwitch698]

Первый, кто внятно объяснил дифференциал)))Респект, бро))

[@paulsherman1288]

Рад был постараться! Спасибо!

[@cold00n]

лет 10 на ютубе пересматриваю разные уроки на эту тему , и тут прям прослезился , постоянно сбивало с толку сравнение дифференцирования с поиском производной при том что у обоих разные определения, русские учебники как и русская википедия очень плохо доносят именно эту тему, видать никогда не было у переводчиков особого понимания вопроса и надлежащего отношения, на сколько я понял - в самом конце пример, которым пользовался Лейбниц

[@ГеоргийПархоменко-ы8э]

Доступно и понятно! Все что нужно для студента, спасибо!

[@paulsherman1288]

На здоровье! Рад, что мои старания прошли не зря.

[@ИванПетров-п6ч]

41:13 Поразительно! Уже примеров 10 решил) Реально работает) Спасибо тебе за твой труд!

[@АнгелинаКорнилова-щ3ю]

спасибо вам большое ставлю лайк и подписываюсь очень понятно объясняете я в универе не поняла и только с вами всё поняла, жду больше таких видео с подробным объяснением))))

[@paulsherman1288]

Спасибо Вам за приятный отзыв! Был рад постараться!

[@ВладимирБаян-т3л]

Спасибо огромное. Только из этого урока удалось понять, что же такое дифференциалы, оказалось всё предельно просто. А то на везде пишут про "линейное приращение" функции или аргумента, но без базового понимания это мало о чём говорит, на самом деле

[@CraBiKun]

3:50 Ох, как же до боли знакомо. Мне поздно пришло понимание необходимости математики. Учительница в школе у меня упорно любовь к математике отбивала) А сейчас навёрстываю очень много упущенного.

[@paulsherman1288]

Учиться ни когда не поздно! Еще Конфуций говорил "Ты молод до тех пор пока способен учиться."

[@Супер-Папич]

Марго, мы знаем, что это ты. Спасибо большое за хорошее обьяснение!

[@АндрейЛазарев-ч4с]

Спасибо большое! Где новые видео? Очень нужно!!! Очень круто обьясняешь!

[@usernamewatcher]

Дорогой Шерман, спасибо огромное за работу! Это лучшее объяснение из всего что я видел. Есть один маленький вопрос: для чего все эти "танцы" с касательной, если мы и так знаем закон, по которому меняется функция и можем и так вычислить точное значение функции в точке X и X0, и затем посчитать ∆y? Ведь ∆y более точно численно отражает изменение функции чем dy ? Вот это мне не совсем понятно.

[@usernamewatcher]

Мне кажется я понял, нахождение производной с помощью касательной позволяет вычислить значение производной в ТОЧКЕ, а то как я описал выше, позволяет это сделать на интервале и следовательно точность метода с касательной выше чем просто с интервалом. Хотя мы можем тоже устремить интервал к нулю... немного запутался. Вот есть какое-то интуитивное ощущение что с подходом с касательной как-то замешан вот этот предельный переход или что-то такое, а подход с интервалом это какой-то обычный счет, не могу пока сложить картину в голове Пойду еще раз пересмативать все )) Paul Sherman, поправьте меня пожалуйста Спасибо!

[@ЯнСтычкин]

Спасибо за детальное и понятное объяснение!

[@aleksandrsimonov4591]

28:25 как ты заменил dy на dx и f’(xo) на x’? и от куда взялось дельта-у равняется А умножить на дельта х… и так далее… я не понимаю

[@paulsherman1288]

Некоторые ответы на Ваши вопросы есть в комментариях к этому видео. У Вас очень размытый вопрос охватывающий всю лекцию. Сможете конкретизировать?

[@МаксимМежерицкий-з7р]

Спасибо, очень круто, буду ждать продолжение!

[@paulsherman1288]

На здоровье! Продолжение будет обязательно.

[@ДенисГринин-д1э]

Можно по подробнее объяснить парадкос производной от x^2 = 2x, вот почему при первообразной y=1, при x=1, а при производной 2, как и при x=3 первообразная равна 9, а при производной 6. Ведь по идее производная должна показывать на сколько уведичилась функция, тогда смысл в этих значениях если они не точные???

[@chemical249]

Здравствуйте, спасибо большое!! Очень полезное видео, объясняете понятно и доступно. Единственный момент, который я не понял это 48:07, когда для значения f՛(x.) вы взяли корень из x, не могли бы вы объяснить, почему?

[@paulsherman1288]

На здоровье! Все очень просто. Вид нашей исходной функции мы определили и установили, что это функция вида: f(x)=sqrt(x), следовательно ее производная первого порядка имеет вид: f'(x)=1/(2*sqrt(x)), что и было записано в равенстве для дифференциала функции. Данный вид производной Вы можете найти в любой таблице Частных Производных. А как определили чему равна производная для функции корня от x, Вы можете узнать из моей лекции о Производной функции.

[@chemical249]

@@paulsherman1288 Спасибо огромное!!!

[@Kulebyka2204]

Здравствуйте! Спасибо большое за ролик. Очень подробно и наглядно. Не понял одного момента. На 28:15 вы говорите, что если мы будем рассматривать функцию y=x, то ... получаем dx=дельта х. А почему именно y=x? Если рассмотреть у=х^2, то так просто не получится.

[@paulsherman1288]

На здоровье! Мы берем именно функцию y=x так как пытаемся понять, что из себя представляет дифференциал вида dx. А если взять Вашу функцию, то Вы будете рассматривать дифференциал вида d(x^2). Нам это не подходит. Но это не значит, что здесь что-то не так... Просто объяснение через Вашу функцию заняло бы больше времени и было бы не таким наглядным, так как запись d(x^2)=2x*deltax логически отражает туже мысль, что и dx=deltax, но тут пришлось бы напоминать о Первообразной функции, а на момент выхода данной лекции, мы ее еще не проходили.

[@OscarMcrae]

Тот же вопрос

[@АнатолийМиронов-з8ж]

Излагают в институтах так, чтобы студенты как можно дольше не понимали про дифференциал. Простое перезакручивают ради болтологии. В этом ролике тоже можно было уже в начале ролика пояснить про дифференциал хотя бы на пальцах. И только потом доказывать и пояснять подробнее.

[@paulsherman1288]

К каждой теме подходят разные люди с разной базой. Кому-то ни чего пояснять не надо, кому-то все надо пояснять на пальцах с картинками и примерами из жизни. Тут, как говорится - всем не угодишь...

[@ДмітрійКовалевський]

Engineer gaming

[@iamu3464]

Спасибо. Когда будут завершающие части про интеграл и практику ?

[@paulsherman1288]

На здоровье! Следующая часть "Понятие Первообразной функции" должна была выйти сегодня. Но последнее занятие с учениками дали мне понять, что есть еще некоторые моменты нуждающиеся в разъяснении. Поэтому, лекционную часть пришлось переделать. Выпуск видео по этой теме планируется в течении следующей недели.

[@mama_medik]

Сколько надо видео предыдущих посмотреть, чтобы это понять?😫 так и не поняла как найти дифференциал конкретной функции

[@ИванСтрельцов-б4ч]

Первый раз что-то понял!!!

[@bodyfix9975]

💣💣💣классное объяснение

[@СергейНазаров-з3о]

То есть технически дифференциал - это просто часть приращения функции, мы как будто фиксируем скорость изменения функции в этой точке, типа она линейная, и тогда дифференциал и есть сама производная? Получается, это как с интегральными суммами, когда хотим измерить площать криволинейной трапеции и разбиваем ее на кучу прямоугольников?

[@svv_rain]

полезное дело делаешь-Спасибо,но где продолжение про интегралы ?

[@paulsherman1288]

В ближайший месяц вводный курс математического анализа планирую закончить и выложить. Прошу прощения за задержки, они есть и будут. Новая работа оставляет мне мало времени. Но все планы сохранены и будут обязательно выполнены.

[@victorsladkovsky5653]

В одной из лекций физического факультета МГУ комментируют тот момент, где мы сказали, что возьмем функцию y=x и по определению получим dy=1* delta(x)= delta (x) , что это чепуха, потому что слева стоит дифференцила функции y=x, а не дифференциал независимой переменной, что скажите на этот счет ?

[@paulsherman1288]

Не знаю что там комментируют на физическом факультете, могу сказать как этот вопрос комментируют на математическом факультете... Функция y=x на графике представляет из себя биссектрису к осям x и y (а это линейная функция с угловым коэффициентом равным 1). Следовательно малейшее приращение аргумента этой функции вызовет равносильное приращение ее значения (то есть для данной функции справедливо равенство dy=dx). И больше здесь говорить не о чем...

[@ИльяБродский-з8м]

Добрый день! Спасибо за видео! А я правильно понимаю, что, когда вы пишете на доске f'(x0) = A, знак = должен быть "примерно равно"? и собственно dy не равно, а примерно равно f'(x0) / дельта х ? и dx тоже примерно равен, а не в точности равен дельта х ? Видео про интеграл не будет? :(

[@paulsherman1288]

Доброго времени суток! Нет, не правильно понимаете... f'(x0) строго равно A в теории пределов. Следовательно dy строго равно произведению f'(x0) и дельта х. Дельта x строго равен dx всегда. Дельта y не равен dy, а лишь приближается к его значению при стремлении дельта x к нулю. Видео про интеграл будет!

[@ИльяБродский-з8м]

@@paulsherman1288 Если у вас f'(x0) строго равно A в теории пределов, то получается в теории пределов дельта y строго равно dy? А вы в лекции пишете, что примерно равно.

[@paulsherman1288]

​@@ИльяБродский-з8м Илья, я не совсем понимаю, откуда Вы взяли этот вывод... Вы правы, я пишу что примерно равны, так как Дельта Y есть сумма двух величин, одна из которых сам дифференциал dY, другая зависимая функция бетта. Из одного этого понимания можно сделать простой и достоверный вывод, что эти величины не могут быть строго равны друг другу. Они всегда будут отличаться, друг от друга, на значение функции бетта! Вы пишете, что в теории пределов дельта Y строго равно dY так как f'(x0) строго равно A (если я Вас правильно понимаю). Но я не совсем понимаю как Вы сравниваете оба этих математических вывода из разных частей пояснения конкретных мыслей в лекции, я не вижу причинно-следственной связи в сумме этих выводов применительно к Вашему вопросу ибо они поясняют разные вещи или я Вас не совсем понимаю. Попытайтесь задать вопрос более предметно с точки зрения последовательности рассуждений на основе формул. То что f'(x0) строго равно A доказывается в теории пределов в лекции, но как это равенство подтверждает Вашу мысль, что dY строго равно Дельта Y?

[@ИльяБродский-з8м]

​@@paulsherman1288, попробую смотрите, вы пишете deltaY = A*deltaX + beta(deltaX)*deltaX при deltaX -> 0, поэтому beta(deltaX)*deltaX у нас стремится к нулю быстрее чем первое слагаемое, поэтому deltaY примерно = A*deltaX тут все понятно далее вы говорите что lim (deltaY/deltaX) строго = A + lim (beta(deltaX)*deltaX) / deltaX) при deltaX->0 потому что при deltaX->0 эта штука lim (beta(deltaX)*deltaX) / deltaX) = 0 и вот тут вопрос, и там и там мы использовали условие, что deltaX -> 0, и в первом и во втором равенствах мы зануляли одну и ту же величину beta(deltaX)*deltaX но в первом равенстве у нас примерное =, а во втором строгое = кажется я понял, потому что во втором равенстве у нас слева тоже стоит предел, поэтому можем записать строгое равенство...., только так я для себя могу это объяснить а вот если бы не было предела... то есть было бы просто deltaY/deltaX тогда было бы примерное равно?

[@paulsherman1288]

@@ИльяБродский-з8м Илья, доброго времени суток! Простите меня с задержкой ответа, не было времени. Спасибо за развернутый вопрос. Сомнение понятно. Только я так и не смог в лекции найти то о чем Вы говорите, а именно где я написал "deltaY примерно = A*deltaX", можете указать тайм код? Я мог что-то упустить, все мы люди... Тут нужно понимать, что устное употребление условия "при дельта икс стремящимся к нулю" в обычной математике приводит к появлению приближенного равенства. Если применять Теорию Пределов, то в ней и только в ней приближенное равенство логически заменяется на строгое, если это подтверждено уравнением. Так же Вы должны понимать то, что во втором варианте, который Вы разобрали, мы изучали приведенное уравнение приращения функции к виду производной! Если Вы примените Теорию Пределов к самому уравнению приращения функции, то обнаружите, что при дельта Х стремящемся к нулю, дельта Y также равно нулю! За свой последний вопрос можете пояснить мысль также, как Вы это сделали в предыдущем комментарии, я не совсем понимаю...

[@LA-nc6nc]

Выглядит как магия. Вы вместо мелка, случайно, не волшебную палочку используете? =)

[@paulsherman1288]

Да вроде как обычный маркер был...)

[@maxichannel9080]

Здравствуйте, возник такой вопрос, можно ли применить метод дифференциалов для нахождения корня с 4.8, или 5? Или этот метод применяется только при наличии бесконечно малой величины меньше 1? А также можно ли найти корень с 2.01 или 3.01, то есть с 3 или с 2?

[@lukeyoda1958]

Вопрос почему не линейная часть бесконечно меньше линейной , не могу понять.

[@grazz_er]

Отличное видео! Один момент неясен: почему на 28:30 после замены y=x, f'(x0) мы представляем как (x)'?

[@paulsherman1288]

Спасибо! Все просто! Для того, чтобы дать математическое определение дифференциалу аргументы мы использовали функцию y=x, если хотите f(x)=x. Следовательно производная определяется следующим равенством f'(x)=(x)'.

[@grazz_er]

@@paulsherman1288 Спасибо :)

[@МаксимКорначенко]

А почему функция бета зависима от дельта икс?

[@NickProkhorenko]

38:05 На этом моменте я прозрел и понял смысл дифференциала. Спасибо за урок, в который раз пытаюсь вдуплить сие творение математики, на этот раз удачно. 😏

[@1mpalo362]

а я нет(( объясни пожалуйста

[@NickProkhorenko]

@@1mpalo362 А сколько тебе лет, для начала?

[@1mpalo362]

14

[@NickProkhorenko]

@@1mpalo362 Ну я б не советовал это изучать в таком возрасте, ты просто не поймешь его в полной мере. Он очень сложен для понимания, тем более что пригодиться это никак тебе не может. Оставь его до 16-18 лет. Раньше - лишь краткое ознакомление.

[@1mpalo362]

@@NickProkhorenko ахах, ошибаешься, я уже понял, твой твой таймкод выручил, пересмотрев 5 раз момент, дошло

[@vasyanpro4567345]

при отрицательном дифференциале функции он будет большее ее приращения?

[@mmatrackermmaboxing1764]

Ждем теперь про интеграл урок)

[@paulsherman1288]

Постараюсь записать как можно скорее!) Но перед ним нужно будет пройти тему Первообразная функции...

[@HubaBuba2007]

в чем разница дифференциала функции и аргумента?

[@ДмитрийГитман]

17:30 есть основная часть - лифференциал(лин ф ция), а есть дополнительная. Зачем она нужна, откуда вылазит? В вики прочитал, но все равно не понимаю, или это не нужно понимать?

[@paulsherman1288]

Да, момент того, откуда взялось это равенство я умолчал изначально и намеренно, так как, чтобы понять почему приращение есть сумма двух слагаемых, по сути, нужно перепрыгнуть в середину лекции. Так нельзя. Я сначала дал фундамент, а уравнение представил как данность. По ходу лекции, как я рассчитывал, у внимательного слушателя должно было бы встать все на свои места и он сам ответил бы себе на вопрос - откуда это равенство взялось? Но люди разные бывают спору нет. Нужно это понимать или не нужно - нужно!...) В этом и есть суть всего дифференцирования.) Равенство отражает реальную суть вещей - приращение состоит из искусственно придуманной части (дифференциал) и реальной части (второе слагаемое) и это второе слагаемое отражает истинное поведение функции. Но когда мы все это дело стремим в бесконечно малую точку, то эти части слагаемого уравниваются, они оба стремятся к нулю, только второе слагаемое стремится гораздо быстрее. Этот математический факт позволяет нам заменить представление о поведении реальной функции последовательностью элементарно малых, линейных приращений, а следовательно отбросить вторую часть слагаемого за ненадобностью в микро мире и дальнейшему, логическому утверждению того, что изменение значения функции в любой точке может быть отражено функцией касательной к графику в этой точке и только, более ни чего не требуется. Грубо говоря, вторая часть слагаемого имеет вес только в макро мире, в микро мире ей можно пренебречь используя логические доводы. Такой тип изучения поведения функции открывает новые возможности в математических расчетах, рождается такой оператор как Интеграл, открываются двери в построение дифференциальных уравнений для сложных процессов в которых значения одних переменных зависят от значения других переменных, мы учимся описывать сложные системы математическим языком. Создается аппарат счета вокруг центральных объектов изучения высшей математики (элементарно малое и бесконечность) который способен на волшебные вещи и без которого не мыслима современная математика, физика, наша жизнь и будущее...

[@АртёмСвиридов-р4с]

круто, я всё понял! спасибо!

[@paulsherman1288]

Вы первый!))))) Спасибо!!!

[@qwwrtkjl]

сколько смотрел видео, так и не понял что такое дифференциал в математике, в моём понимании дифференциал - часть в трансмиссии автомобиля

[@МатвейГерасимов-о9ж]

28:04 Почему запись dy=(x)' * ∆x смогли предоставить в виде dx=∆x? (Почему приравняли x и y?)

[@xXxPontijPilatxXx]

1)мы вывели формулу: dy = f'(x)*Δx (то есть дифференциал функции равен производной функции умножить на приращение аргумента: df = f'(x)*Δx) => если мы хотим узнать, чему равно dx, то есть дифференциал аргумента функции, нужно х подставить в эту же формулу: dx = x'*Δx; т.к. (x)' = 1, то dx = 1*Δx = Δx. 2)Равенство y=x - это уравнение прямой, при чем касательная к этой прямой есть сама прямая, т.е. мы рассматриваем частный случай, когда у нас есть конкретная функция f(x)=x, короче самый простой случай с самой простой функцией. надеюсь понятно размусолил

[@МатвейГерасимов-о9ж]

@@xXxPontijPilatxXx благодарю

[@АндрейШеремета-е3д]

Самый острый вопрос, без внятного ответа. В некоторых книгах даже просто без всяких объяснений принимают dx=∆x. И во многих источниках объяснение как здесь. А здесь получается вот какая штука. Слева в уравнении переменная x в роли функции, а справа в роли самой себя как переменная. Какой -то парадокс. А логика жёсткая.

[@mastersarmat95]

Дарагой, когда KSP будет?

[@paulsherman1288]

Как только закончим раздел математического анализа.

[@OscarMcrae]

7:20 а как звучит определение дифференцирования?

[@vasyah6977]

класс

[@segameserver]

15:43 Скажите, пожалуйста, чему будет равен это предел, но уже при ∆x -> +∞ ?

[@paulsherman1288]

Для ответа на Ваш вопрос нужно знать функцию бетта. Так как применение данного условия не в ходит в рамки понятия дифференциала. Когда мы говорим о дифференциале, то стремимся к точке в конкретном месте, а когда стремимся к бесконечности, то не понятна где эта точка и как ведет себя функция, если мы не знаем ее правил.

[@awdawdawd1982]

Спасибо

[@paulsherman1288]

На здоровье!

[@Mikuo_Hatsune]

Не зря у тебя инженер на аватарке!

[@OscarMcrae]

Дифференцируй как в первый раз! 😂

[@serjkrij7240]

велико!!!

[@paulsherman1288]

На здоровье!

[@ostrov11]

Спс

[@paulsherman1288]

Не за что!

[@Snowleopard-Bars]

Тему хорошо раскрыли, но вот это 3:52 ... А что странного, что они так отвечают. Можно в разных источниках такое найти. На сайте академик, вот такое определение: "Дифференцирование функции [derivation] - операция определения производной рассматриваемой функции.". В википедии, сказано, что это "обобщение производной". А вы бедных студентов загоняете, так-как они не совсем разбираются в понятиях. Это тоже самое, что вы придете к школьникам младших классов, спросите "что такое 5?". А на их ответ: "Это число", вы скажете - "Не верно, это цифра". Найдете где-то определение цифр покажете, и они поймут, "какие они неучи". А ведь ответ "число" - это тоже, просто обобщение. Так? :)

[@namename2031]

11:50 Что за .... Для вычисления производной используется секущая через две точки, а для нахождения дифференциала нужна касательная. Так зачем дифференциал нужен если уже есть треугольник с секущей через две точки графика? Ок, если нет секущей, то её можно нарисовать если две точки на графике есть. Зачем касательная если при секущей точнее вычисление. Так, есть 2 точки, но их не видно, давайте проведём касательную. Чтоооо???? Если известен дельта У, то координаты второй точки на графике известны тоже. Зачем касательная и лишние проблемы с дифференциалом если можно нарисовать секущую и найти производную. И никаких лишних кусочков не будет.

[@paulsherman1288]

Вы не совсем понимаете. Мы разбираем механизм счета элементарно малых величин и все рисунки отражают идею счета только для наглядного пояснения. Не надо их принимать за точные графики и вычислять координаты этих точек - это не возможно. Рассматривается математический принцип расчета в элементарной точке, которую мы начали рассматривать под микроскопом, которого не существует в природе. Мы не увидим никогда эти две разделенные точки, но математические принципы счета сохранятся даже если эти две точки сольются в одну.

[@МёртвыйПингвин-з9е]

Куда дальше ехать?)

[@paulsherman1288]

Дальше будет Первообразная, Интеграл и практическая часть.

[@RomanMisakyan-mg8jl]

Почти ничего не понятно,Я хорошо решал задачи в школе,но эту высшую математику никак не пойму

[@МатвейШумский-д5ч]

B(delta(x))* delta (x) почему

[@МатвейШумский-д5ч]

???

[@zzz942]

Ну так, дилетантские определения

[@paulsherman1288]

А по существу есть, что сказать?

[@zzz942]

@@paulsherman1288 к сожалению, нет :(

[@RomanMisakyan-mg8jl]

Я как то не понимаю эту тему

[@shianni8107]

Много воды и лишних элементов, из-за чего теряешь суть. Новачки могут потеряться)

[@paulsherman1288]

Я учусь...)

[@shianni8107]

@@paulsherman1288 Это моё личное мнение, так что не принимай близко и не обижайся пожалуйста . Подача, информация и т.д. всё ок. Но когда слишком много инфы, очень легко потеряться.

[@paulsherman1288]

@@shianni8107 Не переживайте, я спокойно отношусь к критике...)

[@muzjazz3722]

Ничего не понятно

[@katerinamilky9023]

все равно ниче не поняла

[@ВитВит-э5т]

Как можно было,так все усложнить. Кошмар.

[@paulsherman1288]

Приветствую! А по существу есть, что сказать?

[@dustagency2308]

Engineer gaming