Combinazioni con ripetizioni: dimostrazione semplice

Spiegazione delle combinazioni con ripetizioni e dimostrazione molto semplice della formula.

[@sassi_del_piave]

Grazie innanzitutto del video dimostrazione, volevo chiedere inoltre se nel caso in cui k sia minore o uguale a n posso immaginare più scatole vuote e di conseguenza più separatori adiacenti (cioè con scatole vuote nel mezzo). Ci vuole comunque un po' di riflessione a metabolizzare e puntualizzare il procedimento logico-intuitivo e a parer mio potrebbe non apparire super immediato all'inizio, ma dopo un po' di tempo credo che sia un modo effettivo per consolidare questa visualizzazione. Grazie ancora.

[@sassi_del_piave]

Deduco comunque che a prescindere i separatori siano n-1, indipendentemente dalla relazione tra n e k.

[@Christian-pn4qh]

Grazie, molto interessante. Ma se il problema avesse detto che in ogni scatola c’è sempre almeno un oggetto come avrei potuto schematizzarlo in un disegno come nel video?

[@MassimoMarletta]

Grazie ☺️ direi che, se ci deve essere almeno un oggetto in ogni scatola, si possono mettere da parte k oggetti (con k = numero di scatole) e ragionare come spigato nel video per i n-k oggetti rimanenti. Alla fine i k oggetti messi da parte si mettono uno per scatola. Si ha quindi: C' n-k, k = C n-1, k

[@PeppeDiDonato]

Molto chiaro! Grazie

[@fulviofugatti5203]

Bravissimo

[@PeterDeCupis]

Da un punto di vista insiemistico le combinazioni con ripetizioni di k tra n coincide con l'insieme delle Funzioni non-decrescenti (i.e. debolmente crescenti) di dominio k e codominio n (con k naturale minore o al più pari n). E' immediato verificare che la sua cardinalità è pari a quella del sottoinsieme delle k-ple di naturali che hanno somma pari a n. Quest'ultimo sottoinsieme è di interesse per lo sviluppo della potenza n-esima di un poliniomio (generalizzazione della formula di Newton per la potenza n-esima del binomio).

[@asrcasual]

Prof, lei è il migliore!

[@peterdecupis8296]

ops. ho invertito gli indici... il sottoinsieme delle n-ple naturali che abbiano somma pari a k; di fatto il valore naturale della componente i della n-pla indica quante volte l'elemento i dell'insieme n ricorre nella sequenza (non-decrescente) di k posti. Per la corrispondente applicazione aritmetica, si tratta alla potenza k-esima di un polinomio a n monomi per il quale va considerato l'insieme delle n-ple naturali con somma delle componenti pari a k. In realta' non e' necessario porre alcun vincolo tra n e k. La dimostrazione insiemistica formale non è, proprio "agevole". Si parte dal dimostrare una forma ricursiva che riconduce le somme di n-ple naturali pari a k alle addizioni tra un singolo elemento h e una n-1pla di elementi la cui somma e' pari a k-h, per h da 0 a k; poi mediante equazione alle differenze (trasformata Z) si esplicita la formula in termini di coefficiente binomiale.