Comment Héron calculait une racine carrée sans calculatrice

Au Ier siècle après J.-C., le mathématicien grec Héron d'Alexandrie se retrouve à devoir calculer la racine carrée de 720. A l'époque, il n'y avait évidemment pas de calculatrice, alors comment on a-t-il fait ?
Lien de l'article écrit : mathrais.fr/methode-heron/
La citation d'Héron est extraite de Bernard Vitrac, « Euclide et Héron : Deux approches de l'enseignement des mathématiques dans l'Antiquité ? » (voir article écrit pour source plus précise).
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[@NlxcolRuslan]

Bravo🎉🎉 grâce à cette vidéo j'ai compris le fonctionnement de la suite et j'ai plus crée la formule qui donne pour n'importe qu'elle racine n-ième d'un nombre réel..merci beaucoup..''' et je vais démontrer cela par récurrence pour être sûr que ça donne pour tous les cas possibles , j'ai testé la racine cubique, quatrième, cinquième etc.. et ça continue à marcher..'

[@hnmscreentech5680]

Démonstration spectaculaire , MERCI.

[@Mathrais]

Merci pour ce gentil commentaire :)

[@blackbliz8246]

Je suis heureux que cette vidéo soit apparue dans mes recommendations :3

[@Mathrais]

Et moi je suis heureux de t'accueillir sur cette chaîne ! Bienvenue :)

[@JF-ql2rr]

Très intéressant et surtout très bien expliqué. Bravo pour cette vidéo.

[@-LeClown]

wouarf.... Je savais meme pas ce que c'etait une convergence quadratique..... Interressant, merci

[@eljulito775]

Je trouve toute la demo extrêmement belle Bonne video encore une fois 😉😉

[@Mathrais]

Oui quand l'intuition géométrique se traduit de façon aussi fluide en analyse, je trouve cela aussi très beau :) Merci !

[@maelcavan]

Bravo pour cette vidéo pédagogique

[@Mathrais]

Merci ! =)

[@levieux1137]

C'est en effet la méthode de Raphson-Newton qu'on utilise en informatique pour pas mal d'opérations de ce type. On calcule par exemple les racines cubiques de la même manière avec y(n+1)=(y+x/(y^2))/2. On peut normalement les accélérer encore un peu en pondérant les ratios (plutôt que de prendre pile la moitié), notamment quand on connait la dérivée de la fonction que l'on cherche, mais je ne sais plus le faire depuis le temps, j'ai vu ça il y a 35 ans...

[@palmierdelastreet186]

Merci pour cette vidéo + 1 abonné

[@gabrielmancino2048]

Bonjour, j'ai beaucoup apprécié votre vidéo. Je suis un peu âgé (85 ans) et j'essai d'apprendre les mathématiques. Pour arriver au résultat, j'ai simplement décomposé 720 , ce qui donne: 720=3^2*2^4*5, sauf erreur de ma part. Avec mes remerciements. Gabriel Mancino.

[@Mathrais]

Bonjour, déjà merci pour votre commentaire positif et c'est vraiment super de vous mettre aux mathématiques malgré votre âge, c'est sans doute très bien pour le cerveau ! C'est une très bonne idée que de décomposer en nombres premiers. Lorsque vous prenez la racine carré ensuite, cela vous amène à 12 fois racine de 5. Il ne vous reste donc plus qu'à bien approximer racine de 5 pour réussir à bien approximer racine de 720 !

[@thunderflash2925]

Et donc on peut tirer de cette méthode une formule générale pour trouver à deux décimales près la racine d'un nombre ! Soit A le nb dont on cherche la racine et B le carré parfait le plus proche de A avec A>B sqrt(A)≈ (A+B)/2sqrt(B) = sqrt(B) + (A-B)/(2*sqrt(B)) Exemple. Pour A=102, b=100 sqrt(A)≈ 10 + (102-100)/2*10 = 10+1/10 =. 10,1 Et 10,1^2 = 102,01

[@antoinedelepine6144]

c très lent en normal mais interessant en x2. merci!

[@akumavermillon]

Vaut mieux trop lent que trop rapide

[@christianeb8494]

Je préfère la méthode quadratique, plus simple et plus rapide.

[@user-js2lu1wn9y]

Comment on le fait?😊

[@sinayshow8872]

je viens de tomber sur ta chaîne et franchement j'adore. Je suis en terminale et j'aimerais des sujets de grand oral, t'en aurais pas des intéressants ? (Peut importe le niveau je pense me débrouiller)

[@Mathrais]

Très content que ma chaîne te plaise =) Alors je ne suis pas à jour sur le bac actuel, donc je ne sais pas du tout quels types d'exercice ils vous donnent... Je connais essentiellement de bons exercices de compétition mathématiques (Olympiades, concours général, etc) mais c'est assez éloigné de ce qui est demandé au bac. Désolé donc de ne pas pouvoir t'aider là dessus :/

[@vinceguemat3751]

c’est dommage d’avoir oublier la première étape : simplifier, 720 = 36 * 4 * 5 donc V(720) = 6*2*V(5) et maintenant on cherche à connaître racine de 5, ce qui sera plus simple que racine de 720

[@patrickfle4485]

À 6:14 on retrouve la forme itérative obtenue par la méthode de Newton x(n+1)=x(n)-y/y' pour calculer la racine d'une fonction y avec ici y=x²-a et y'=2a.

[@urshack1992]

❤

[@enay_ra9390]

Super vidéo chef , j'ai néanmoins une question t'utilise quel logiciel de montage pour afficher de manière fluide les expression mathématiques

[@Mathrais]

Pour tout ce qui est écriture mathématique, cela repose sur LaTeX. Pour les animer, je couple cela avec du Python et notamment le module manim qui est un module mis en place par l'excellent youtuber anglophone 3Blue1Brown. Si vous voulez faire des choses similaires à ce que je fais, je vous invite donc à consulter un tutoriel sur Manim (celui de Benjamin Hackl est très bien par exemple).

[@enay_ra9390]

Merci beaucoup, continue ce que tu fais @@Mathrais

[@yassinelaourine3138]

génial juste je n'ai pas compris d'ou est ce que deduit la majoration de la difference entre ln et racine de A

[@aterxter3437]

Après, la dichotomie ça marche pas mal aussi, la complexité est en O(nlog(n)), on réduit de moitié la largeur de l'intervalle d'écart à chaque fois, c'est bien ce qu'Héron proposait, de moyenner les deux valeurs, et ainsi de rapprocher l'estimation

[@AAArrakis]

Dichotomie ? C pas faux… 😅😅😅

[@UTI_off]

je n’en suis pas encore arrivé là en math donc je suis un peu perdu mais super vidéo

[@Mathrais]

Merci ! :) C'est déjà super si j'arrive peut être à donner l'envie de découvrir plus de maths même pour ceux qui ne peuvent pas encore tout comprendre. Tu peux voir sur mes miniatures qu'il y a à chaque fois un petit coin coloré en haut à gauche, cela désigne le niveau de la vidéo. Je t'invite à aller voir ce lien si tu veux en savoir plus : mathrais.fr/pistes/

[@mohmaloum2584]

Magique

[@olivierperotto5387]

Avant de citer sa méthode as tu eut l'accord d'Heron?

[@Mathrais]

Évidemment, j'ai pris ma machine à remonter le temps et je suis allé lui demander. J'ai bien failli ne pas revenir, à deux doigts de me faire hacher par des soldats grecs me traitant de sorcier.

[@mizuro9497]

très bonne vidéo, je suis lycéen en terminale et je me demande bien si cette démonstration peut être adaptée en sujet de grand oral, j'aimerais connaitre votre avis ? autre question, vous utilisez quel logiciel afin d'afficher vos calcul sur l'écran ?

[@Mathrais]

Merci ! Je pense en effet que cette démonstration ferait un très bon sujet de grand oral ! Après je ne suis pas professeur de lycée, ni créateur des sujets, donc il ne faut pas prendre cet avis au pied de la lettre. Concernant le logiciel, j'utilise Python (que vous voyez maintenant au lycée il me semble ?) en important un module qui s'appelle Manim, crée par l'excellent KZbinr anglophone 3Blue1Brown. Il faut aussi avoir LaTeX d'installé sur son ordinateur (c'est un logiciel qui permet d'écrire des maths en général). Si tu souhaites d'ailleurs simplement afficher des maths en mode diapo, LaTeX est suffisant tout seul. Si tu veux faire des animations du type les rectangles qui changent de forme, il faudra Manim.

[@mizuro9497]

@@Mathrais merci pour votre réponse !

[@sahtoutbahtout2994]

Par tâtonnement c'est plus pratique et plus rapide que la calculatrice.

[@ComliveJim69]

Le mode d'emploi de Héron n'est pas très compliqué à suivre (et en y réfléchissant assez simple).

[@maximus6452]

la méthode Héron ou: l'heuristique trial and error (essai et erreur).

[@RemyCW]

Qustion : Comment les romain faisaient les 4 opérations (+-*/) avec leurs chiffres impossibles ? Etait-ce des abaques ou autre chose ?

[@Staline1878]

Bonne question

[@AAArrakis]

Wow… je suis bluffé…❤

[@Mathrais]

Hehe content que ça t'aie fait cet effet là, merci :D

[@augustindroin2341]

Bonsoir, J'ai essayé avec 31 et c'est une de ses galères. Je me demandais si il y avait une sorte de règle pour savoir quand utiliser cette méthode plutot que la méthode par tatonnement

[@Mathrais]

Le point faible de la méthode d'Héron réside dans le fait qu'il faut bien choisir la longueur initiale si on veut qu'elle soit rapidement efficace. Je conseille donc de faire la méthode de tâtonnement pour la première décimale (pour 31, on prend donc l_0=5,6) puis ensuite de faire cette méthode d'Héron. A noter aussi que plus le nombre est grand, plus la méthode sera efficace dès le départ. En effet si on prend la majoration de la vitesse de convergence avant celle grossière, on divise par racine de A et donc plus A est grand meilleure est la borne.

[@jeremyj4820]

Je ne sais pas si je suis le seul, mais j'ai compris le texte d'Hérodote 😀

[@Mathrais]

Haha c'est vrai que j'exagère en disant qu'il n'est pas compréhensible. Mais je pense qu'en même que c'est plus simple à comprendre avec l'écriture moderne ^^

[@marc-antoinenicolas9569]

Ma curiosité me dit regarde, mon cerveau me dit arrête 😂🤣 surtout n’essaye même pas

[@yugapillon1343]

En soit, ce que tu peut, c'est regarder en conscience que tu comprendra pas tout Des fois, l'info que le cerveau traite inconsciemment pendant que le conscient comprend pas, c'est énorme, il faut pas avoir honte de pas comprendre ;) (Et en plus, tu vas peut être comprendre 2-3 trucs malgré tout qui vont être intéressante)

[@marcapouli7805]

La légende raconte qu'un jour Héron, qui portait donc un nom d'oiseau, se promenant près de l'acropole croisa un jeune garçon. Celui-ci, regardant Héron, s'exclama : "Tapon! Tapon! Tapon" Le mathématicien grec, amusé, lui répondit : "Héron! Héron petit, pas tapon"

[@lesavdesabonnes]

La fable du Héron et de la racine carrée

[@Mathrais]

Haha j'ai rigolé

[@rototof]

Sans regarder la vidéo, je dirais en utilisant un algo de recherche par dichotomie.

[@lazaremoanang3116]

9:30! Comme je sais déjà extraire une racine carrée au point d'avoir en observant trouvé comment extraire une racine n-ième en général, je me demande si j'aurai le temps de voir ça.

[@NlxcolRuslan]

J'ai déjà trouvé bro c'était facile je te donne juste pour la racine cubique..'😊

[@lazaremoanang3116]

Ouais c'est simple surtout que c'est un petit nombre.

[@NlxcolRuslan]

Non c'est même pas seulement la racine cubique que je sais faire, je sais faire pour toutes les racines n-ième je ne peux pas juste te donner ma formule comme ça,, mais c'est toujours une suite ..

[@lazaremoanang3116]

Je ne te l'ai pas demandée. Apparemment quand tu lisais mon message, tu n'as pas compris que je savais déjà le faire il y a 4 mois, en fait depuis au moins 2021 même.

[@NlxcolRuslan]

🤣🤣🤣lol désolé je parlais plutôt du programme python..''

[@ph.so.5496]

Du même coup, avec "Ln", Héron a réussi a inventer les logarithmes (appelés Ln) avant l' heure.😃 Ha, ce Héron n'était pas un petit patapon...😂

[@patriciasoares8532]

Quand j'etais au lycee (avant 1980) on n'avait pas le droit a la calculatrice et on calculait les racines carrees a la main. Bon, je vais etre franche, je ne m'en rappelle plus 🤣

[@Mathrais]

Il existe d'autres méthodes pour calculer une racine carrée et celle que vous utilisiez n'était sans doute pas celle là mais une plus simple à faire à la main (néanmoins moins rapide si on veut obtenir énormément de décimale). Je n'ai pas le nom non plus par contre ^^

[@yugapillon1343]

On demandait de les calculer avec quelle précision ? (J'imagine que pour des racines colle 13, on demandait pas la valeur exacte mais, par exemple, au millième près, non ?) Auquel cas, en soit, la méthode du tâtonnements peut fonctionner, il y a "peu" d'étapes a faire, ça reste faisable (bon, si on demandait au 100millionieme près, j'imagine que c'était avec une méthode plus rapide) Par contre, j'avoue que maintenant qu on a la calculatrice, on oublie trop souvent qu'auparavant, il y en avait pas et que c'était essentiel d'avoir des méthodes particulières (et c'est pour ça que de temps en temps, quand pour un "exercice" que je fait de manière personnelle (après une vidéo youtube qui en propose un pour compléter une vidéo) de temps en temps j.essaue de trouver une valeur approchée sans calculatrice, pour garder en tête que la calculatrice, c'est assez récent dans l'histoire des maths ;))

[@patriciasoares8532]

@@yugapillon1343 Je ne me souviens plus mais oui, probablement au centieme, guere plus

[@user-ig1cr5mq8c]

Heron avait un nom grec .C est vous qui le dites.Durant l epoque hellinistique les noms a consonnance gecque etaient portes par les egyptiens les berberes etc..........

[@modedemo4510]

j'ai une méthode + simple ( envois ça à Monsieur Héron stp 720 = 4 x 5 x 36 racine de 720 = 2 x 6 x rac 5 = 12 rac 5 et on travaille sur rac de 5 ... = 2.1 puis 2.2 ...puis 2.23 etc au final 12 X 2.23 = 26.76 ( proche de 26.83

[@123thomthom]

J ai décroché à 6:30 ! Dommage

[@larbibenmrad1968]

racine720 = racine de 36 X 4 X 5 12 X racine5

[@Agesilas2]

Héron Héron petit patapon...

[@renelaplanche7201]

Hé ron gogo dit moi ,…c combien la racine carrée de 😊

[@julienfaucheux265]

fais sans fond ça sera bine mieux

[@raymondchoukroun2618]

Tu n'as pas une méthode plus simple ?

[@loicboisnier5332]

Intéressant, mais, en pratique, c'est une horreur. L'intérêt réside vraiment dans l'étude de la convergence de la suite. En pratique, la méthode de la "fausse division" est beaucoup plus pratique je trouve.

[@camembertdalembert6323]

à condition de disposer de notre notation des nombres : système positionnel avec en plus des décimales, ce que Héron n'avait pas. Il avait des entiers et des fraction. Et puis c'est tout.

[@loicboisnier5332]

@@camembertdalembert6323 oui, oui, tout à fait. Mais, en pratique, la méthode est quand même atroce, même quand on est à l'aise avec les fractions. Mais l'intérêt historique du truc est indéniable

[@camembertdalembert6323]

@@loicboisnier5332 si on est à l'aise avec les fractions c''est très rapide quand même. Atroce, il ne faut pas exagérer.

[@loicboisnier5332]

@@camembertdalembert6323 tu te retrouves rapidement à additionner des fractions genre 5/64+123/737. Ça fait quand même beaucoup plus de calculs. Sachant qu'on a aussi des fractions de fractions. En calcul purement fractionnaire, pas facile de faire plus chiant. Et, à la fin, tu as un résultat fractionnaire approché. La technique est très belle et mérite clairement une vidéo, mais elle n'a pas d'utilité pratique aujourd'hui contrairement à l'autre (que j'utilise régulièrement quand je veux me passer de calculatrices)

[@merjehlasaba]

Tu pourrais expliquer cette méthode ?

[@dominiqueubersfeld2282]

Comment Idriss Aberkane divise par zéro sans calculatrice

[@KahlieNiven]

bof, trouvé 26,8.. ; de tête. sqrt(720) = 4*sqrt(45) or sqrt(45) entre 6 (sqrt(36)) et 7 (sqrt(49)) et sans doute plus proche de 7 que de 6, donc essayons 6.7 x4 -> 26.8 ça reste une approximation, mais de tête, sans papier ni crayon.

[@Mathrais]

Oui comme je le fais au début de la vidéo pour racine de 13, la méthode par tâtonnement est sans doute la meilleure quand on cherche une décimale voire deux, mais dès qu'on veut aller plus loin ça devient compliqué !

[@KahlieNiven]

@@Mathrais tout à fait d'accord.

[@xavierflaminus7277]

Waouh il faut qu'elle. Niveau pour comprendre?

[@Mathrais]

Il me semble que ces connaissances sur les suites sont de niveau Terminale. Après ça ne veut pas dire qu'un Terminale va tout bien comprendre immédiatement, ça veut juste dire qu'il a ce qu'il faut dans son cours pour suivre ce que je dis en prenant le temps nécessaire pour lui.

[@MrMaatkare]

Malheureusement, tu vas trop vite dans certaines étapes. Je n'ai pas saisi la démonstration.

[@raymondchoukroun2618]

Pour moi c'est du charabia tout ça

[@aterxter3437]

Tu ne va pas chercher à calculer une limite sans avoir justifié son existence, ça ne rime à rien car dans ce cas tu suppose son existence, ce qui pourrait pousser à une absurdité, visiblement ce n'est pas le cas, mais ce n'est pas rigoureux à mon sens

[@eljulito775]

On cherchait le casse couille en commentaire on l'a trouvé

[@mbarek3184]

On cherche une méthode pratique plutôt qu'une démonstration rigoureuse

[@Altair705]

Il en parle à 6:22 dans la vidéo (bien que ce soit laissé en exercice au spectateur) : la suite est décroissante et minorée, donc elle converge. Il justifie par la suite pourquoi la limite est la racine de A, il évalue même la vitesse de convergence ensuite. Pour moi le seul oubli est le fait qu'il faille commencer par une approximation raisonnablement proche de la solution pour avoir une convergence quadratique, ce qui est un défaut de la méthode de Newton en général. Mais pour une vidéo de vulgarisation de quelques minutes c'est excusable, la méthode est présentée de manière très claire et rigoureuse.

[@Mathrais]

Il faut en effet justifier l'existence de la limite et j'ai indiqué que c'était un exercice de lycée que de réussir à le faire (en montrant que la suite est décroissante et minorée). Je suis très attaché à la rigueur et lorsque que je ne fais pas une étape, je précise bien que je ne la fais pas.

[@simyoumeleagueoflegendsnom1724]

C'est la méthode basique pour les suites récurrentes de chercher la limite par fonction continue en supposant qu'elle existe puis prouver qu'il y a convergence

[@moulaybadreddinesaissi1263]

La racine carrée ! C'est le savant marocain ibn albanae allmourakouchi qui inventé la loi d'extraction.plagiat!

[@camembertdalembert6323]

Héron était plus de 1000 ans avant bn albanae allmourakouchi. Et ce n'est pas du tout la même méthode.

[@Xwolf202_RGB]

Un x divisé par x²