Convergence de séries avec des racine de n en puissance

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[@davidtsague5051]

Merci Mr

[@fatimzehraelogri9141]

pourqoui on doit pas multiplier seulement par n et on va avoir que un negligeable devant 1/n et d'ailleurs c'est une suite divergente donc un diverge

[@Thefirst-ws3dp]

je me demande aussi la meme chose car du coup on impose notre reponse , la il pose Un x n^2 donc ca va diverger mais si on prend Un x n ca fonctionne de la meme maniere les croissances comparées mais ca diverge

[@esperi_senfine]

​@@Thefirst-ws3dp Je vais me permettre de répondre en reprenant le Théorème de comparaison plutôt que les petits o : Soient Σx_n et Σy_n deux séries réelles telles qu'à partir d'un certain rang P leurs termes généraux vérifient : 0 ≤ x_n ≤ y_n ∀n ≥ P (1) Si Σ y_n converge, alors Σx_n converge. (2) Si Σ x_n diverge, alors Σy_n diverge. Si l'on multiplie seulement par n, on a, à partir d'un certain rang que 0 ≤ n×u_n ≤ 1 donc aussi 0 ≤ u_n ≤ 1/n. Or, effectivement 1/n est le terme général d'une série divergente, sauf qu'on est pas dans le cas (2) du théorème que j'ai écrit vu qu'on prend y_n = 1/n et x_n = u_n, or, le théorème ne dit rien sur ce cas. D'ailleurs un de mes profs n'aime pas qu'on utilise les petits o pour ça, précisément parce que ça cache un peu ce qui se passe. En revanche, dès lors qu'on multiplie par n² (ou plus généralement une puissance de n strictement supérieure à 1), on obtient la majoration 0 ≤ u_n ≤ 1/n² où cette fois y_n = 1/n² qui étant le terme général d'une série de type Riemann convergente, converge, et on peut alors appliquer le (1). Je ne sais pas si c'est super clair, mais en cherchant « règle de comparaison avec les séries de Riemann », il y aura plus en détail l'explication. La version avec les petits o n'étant qu'une autre façon de l'exprimer, cela revient au même.

[@julieloiseau267]

on ne peut pas considérer ça comme une suite géométrique ?

[@MethodeMaths]

Attention c'est une série et non une suite.

[@julieloiseau267]

@@MethodeMaths oui je voulais dire si on considère ça comme une série géométrique de terme général un où un est une suite géométrique

[@MethodeMaths]

@@julieloiseau267 Non tu ne peux pas car c'est puissance racine de n.

[@esperi_senfine]

@@MethodeMaths Merci pour votre vidéo et pour la réponse à ce commentaire ! J'aurais eu envie de le montrer comme ça aussi, mais je sentais que c'était une arnaque. Le truc, c'est que j'ai du mal à trouver "les idées" pour comparer les séries. J'ai toujours l'impression que les solutions tombent de nulle part XD

[@MethodeMaths]

@@esperi_senfine Merci ! C'est en faisant plein d'exercices que tu arriveras à trouver la série avec laquelle comparer ;-)