[DET#34] Droite des moindres carrés (Démonstration)

[@candrew5498]

Bonjour, pourriez vous faire le lien avec l algèbre bi* linéaire et les matrices orthogonales ?

[@oljenmaths]

Salutations ! Je rajoute un bref commentaire, à défaut (pour l'instant) de réaliser une autre démonstration de ce théorème. Le problème de minimisation dont il s'agit ici est abordé du point de vue de l'analyse: on étudie, au final, le minimum d'une fonction de deux variables. Cela dit, par une petite manipulation technique, on peut interpréter ce problème comme celui du calcul d'un projeté orthogonal d'un certain vecteur sur un certain sous-espace vectoriel d'un espace matriciel. Autrement dit, on pourrait choisir, après ce petit tour de magie, de travailler avec les outils de l'algèbre bilinéaire plutôt qu'avec ceux de l'analyse. En guise d'introduction à cette duplicité d'approches dans l'étude d'un même problème de minimisation, on peut regarder l'exercice n°3 donné par EDHEC en 2014, voie ECS: 📜 Site d'Alain Guichet - tinyurl.com/ydhpjtmw

[@arifkhaqanahmad6850]

Øljen - Les maths en finesse Bonjour, une vidéo très élégante et fascinante comme toujours. A propos, j’aimerais savoir si c’est la méthode de démonstration utilisant les outils de l’algèbre peut permettre de minimiser les erreurs dans le cas de séries statistiques ayant plusieurs variables.

[@oljenmaths]

Salutations ! Si "méthode de démonstration utilisant les outils de l’algèbre peut permettre de minimiser les erreurs dans le cas de séries statistiques ayant plusieurs variables" doit faire référence à un théorème, alors c'est sans doute celui-là, oui. Je n'ai réalisé que des développements et des factorisations pendant une demi-heure, tout compte fait 🙃.

[@arifkhaqanahmad6850]

Øljen - Les maths en finesse OK. J’aimerais ajouter un problème d’analyse pour vos prochaines vidéos si le problème vous intéresse. C’est un problème inscrit dans le livre « Quelques questions d’ Algèbre, Géométrie et Probabilités » de Louis MAGNIN. La page 49, exercice 1.20. Je ne dispose pas d’un lien de téléchargement malheureusement.

[@MrRubix94]

Impossible de regarder cette vidéo ( et toute cette chaine ) sans laisser un immense MERCI.

[@oljenmaths]

Merci beaucoup, ça fait chaud au cœur🙏!

[@mameyoud]

Merci pour la clarté de vos explications. C'est top.

[@MisterTomahawk22]

Étant étudiant en 2ème année en école d'ingénieur en statistiques, j'apprécie beaucoup voir ce contenu sur votre chaine ! Les modèles de régression, en particulier les modèles linéaires (simples ou multiples) sont des outils extrêmement utiles dans de nombreux domaines. Dès les classes de première et terminale, et après plus souvent en classe prépa, on utilise souvent des logiciels comme Regressi permettant de modéliser des phénomènes physiques ou chimiques, souvent en log-linéarisant. Le fameux " R^2 " est souvent notre guide, bien qu'il faut souvent prendre garde à son interprétation ! Merci pour le contenu !

[@oljenmaths]

Merci pour ce message très sympathique 🙏 !

[@smartcircles1988]

Quel plaisir de retomber sur cette merveille quand je suis sensé l'apprendre

[@guillaume9558]

Les démonstrations de terminales de la réforme sont tout de même nettement plus compliqué mais aussi intéressantes que celles de l'ancien programme !

[@l.b2295]

hyper intéressant ,mais surtout très bien expliqué ,merci beaucoup!!

[@الأستاذكريمفيمادةالفيزياء]

c'est très très propre cher ami , juste continue respect

[@patricefayard2626]

Tout simplement génial ! Merci beaucoup !

[@bird9]

Merci beaucoup ! Ça va me servir en statistique mais aussi en Physique !!! Si vous n'aviez pas posté cette vidéo j'aurais trés probablement à ajouter cette notion de moindre carré à ma liste de notions abstraites !!

[@oljenmaths]

Un plaisir que d'avoir participé à l'éloignement des mathématiques abstraites 👨‍🏫 ! C'est d'ailleurs le thème de plusieurs émissions à venir, lorsque je reprendrai les publications.

[@bird9]

@@oljenmaths Oui et j'ai jeté un coup d'œil aux restes de vos vidéos, ce n'est pas la seule notion que j'aurai à enlever de ma liste !

[@bird9]

​@@oljenmaths Sinon en fait j'ai une petite question, des fois pour améliorer l'approximation qu'on obtient avec la technique des moindres carrés on compose l'une des variables Y par ex avec la fonction racine carré ou la fonction ln.... et on calcul la droite des moindres carrés de cette fonction f(Y) (par ex ln(Y), ...) puis on met au carré ou on utilise l'expo,... pour revenir à Y. Maintenant je me dis qu'en fait là on vient de faire une approximation non pas par une droite mais plutôt par une parabole ou bien par le graphe de l'expo ....

[@oljenmaths]

@@bird9 Oui, tout à fait. En déformant les données par une fonction donnée, on déforme aussi la manière dont on mesure les distances (le schéma qui est au tout début de l'émission), donc la droite ne reste pas (à moins que la fonction soit simple) une droite.

[@bird9]

@@oljenmaths Oui, après là la question qu'on peut se poser c'est comment choisir la meilleure fonction qui pourra me donner la meilleure approximation 🤔

[@creusottom1279]

Super vidéo, très claire et explicite ! merci :)

[@nicoslater8750]

Pour ceux qui se demandent pourquoi on ne met pas de valeur absolue à la place du carré, il y a 2 raisons principales : 1) dans le cas de la valeur absolue, il peut y avoir plusieurs droites optimales ce qu'on ne souhaite pas, 2) l'équation permettant de trouver les coefficients a et b est plus compliquée que dans le cas des moindres carrés

[@maitena9513]

Encore un super vidéo ! Merci à vous

[@oljenmaths]

Merci infiniment 🙏!

[@ehesa4282]

Je vous remercie pour vos presentations au sens ou votre expose nous fait sentir intuitivement lidee derriere les outils mathematiques. Ici par exemple, il sagit de trouver une expression affine qui minimise les ecarts quadratiques a une droite moyenne. Cest de leconomie dinformation en quelque sorte.

[@guenhaellemoing7631]

Très clair ! Il serait intéressant de dire a a fin que le coefficient directeur 'a' de la droite peut aussi s'exprimer comme Cov(x,y)/variance (x)

[@yannberthier8335]

vidéo qui tombe à pique car je suis sur le chapitre des produits scalaire, et en confinement un peu dur sans le prof 🤔😊

[@omarmoutallik9131]

Merci Beaucoup pr vos explications

[@hamzasou5073]

génial. Merci

[@killianlauker5748]

Wow, merci beaucoup surper utile.

[@urichnoupik6636]

Génial, ton explication était téllement limpide

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏🏼!

[@giannim7222]

Bien expliqué !

[@abdellahabomeriem6814]

merci infiniment

[@junior_brazza1413]

Salut, je suis en terminale et j'ai trouvé cette video simple, claire et très intéressante, comme toutes vos vidéos traitant des démonstrations en classe de terminale (j'apprécie énormément votre chaîne). Sinon, pour la définition d'une série statistique: est-ce un multiensemble? Merci d'avance pour votre réponse.

[@oljenmaths]

Salutations ! Oui, formellement, c'est exactement cela ! Comme la notion de multiensemble n'est généralement pas abordée dans les études supérieures, je n'en parle jamais 🙊.

[@pierre-louisbourgeois1124]

Salut ! Merci pour cette émission très claire, comme toujours. Penses-tu proposer sur ta chaîne des corrections des épreuves du concours général (ou olympiades) ? Bonne soirée à toi :)

[@oljenmaths]

Salutations ! Il y a tant de choses que j'aimerais proposer 🤩 ! En réalité, je n'ai pas encore décidé de quoi que ce soit quant à ce qui viendra après cette année remplie d'explications de cours / de démonstrations. Cela dit, je suis certain d'avoir envie de produire des émissions plus scintillantes, et les épreuves du concours général s'y prêteront peut-être !

[@lazm6047]

Super, merci beaucoup :)

[@_Greenflag_]

Une petite explication supplémentaire sur le fait de ne pas choisir la valeur absolue, qualifiée de "convenable" ?

[@oljenmaths]

Si cela a bien du sens d'un point de vue de la mesure d'une erreur "sans compensation", l'étude de la fonction delta_{a,b} avec des valeurs absolues plutôt que des carrés est tout simplement ingérable d'un point de vue calculatoire. Le miracle, dans ce théorème, c'est que le manque d'outils du lycéen pour étudier les fonctions de deux variables est entièrement compensé par le fait qu'on se trouve face à des trinômes du second degré. La valeur absolue, fonction d'une méchanceté sans nom, ne permet pas de telles fantaisies 😭.

[@levi2732]

est ce que vous etes un mathématicien? , vraiment superb: j'ai bien comrpris surtout que je cherche toujours d'ou vienent les formules , mais je suis un économiste :/ on as pas le droit de faire sa , on applique just ce qui est dommage, mais sûrement pour comprendre tout sa et tout votre contenue sur votre chaine j'aurais besoin d'une licence en science math n'est ce pas?, et j'aimerais une explication s'il vous plait pourquoi on calcul pas l'ecart type avec la valeur absolue si notre but et de ne pas faire tomber sur 0 bah avec valeur absolue on auras un ecart positif donc pourquoi on enleve au carée puis racine etc.., sachant que la resultat avec la valeur absolue s'appelle ecart moyen et n'est pas la meme comme l'ecart type

[@oljenmaths]

J'enseigne les mathématiques, en effet. De là à me qualifier de mathématicien, je pense qu'il y a encore du chemin. Je pense que le contenu de ma chaîne s'adresse essentiellement à quelqu'un qui a fait deux solides années d'études mathématiques post-bac, donc effectivement, une licence de mathématiques pourrait permettre de comprendre la plupart des vidéos que j'ai réalisées. Si l'on considère les écarts au carré, et non pas en valeur absolue, c'est tout simplement parce que la démonstration que je produis n'est pas possible avec une valeur absolue. Avec des carrés, nous nous sommes ramenés à, essentiellement, l'étude de trinômes du second degré. Le problème, c'est qu'une somme de valeurs absolues est, techniquement, extrêmement pénible à gérer dans un calcul formel. Cela dit, pour un calcul numérique, appliqué, je veux bien donner dans la valeur absolue. Je pense d'ailleurs que c'est une approche plus intuitive que de mettre au carré.

[@jean-charlesgravier9011]

Cas particulier de la détermination du min d une fonction à 2 variables !

[@oljenmaths]

Hélas, les fonctions de deux variables ne sont pas connues de l'étudiant en terminale.

[@hasinarafenoarisoa7063]

bonjour, merci beaucoup pour la vidéo! est-ce-qu'il s'agit de régression?

[@oljenmaths]

Oui, il s'agit bel et bien d'un modèle de régression linéaire 👨‍🏫.

[@Mathioux]

super

[@toronto5618]

Salut respect!

[@kyc0201]

Pourquoi utilise t on les carrés des distances dans cette formule plutot que leurs valeurs absolues, cela me perturbe un peu. J'ai bien compris que sans les elever au carré on obtiendrait à la fin une somme soit positive ou negative, mais on obtiendrait le meme resultat avec la valeur absolue.

[@oljenmaths]

Il n'y a pas de « bonne raison » pour laquelle le carré est intrinsèquement supérieur à la valeur absolue dans la seule idée de s'affranchir des considérations de signes, et d'empêcher l'absence d'erreurs. Cela dit, si on ajoute l'idée d'aisance dans les calculs, et surtout, de l'existence d'une unique droite minimisant l'erreur (résultat très, très fort), il me semble que le carré devient une approche supérieure. La seule chose qu'il manquerait dans mon argumentation, c'est l'étude du cas où l'on aurait choisi la valeur absolue : a-t-on existence ? A-t-on unicité ? Est-il facile, le cas échéant, de récupérer la droite des « moindres valeurs absolues » ? Je suppose que ces considérations doivent exister quelque part, mais je ne les ai jamais rencontrées dans mes aventures 😉.

[@hasinarafenoarisoa7063]

Est-ce-que c'est possible de vous suivre sur facebook?

[@oljenmaths]

Je n'ai pas Facebook, donc non 🙃.

[@christophem6373]

on aura pu quand même utiliser la dérivée sur le trinôme en b pour trouver le minimum b = y - ax ...

[@oljenmaths]

J'y ai pensé, en réalité. Au final, j'ai quand même tranché en faveur de la solution présentée ici pour ces raisons: 🔹 La mise sous forme canonique peut être utile pour étudier à la main quelques fonctions multivariées. 🔹 Le programme mentionne "Minimum d'une fonction trinôme" en connaissances associées à cette démonstration. 🔹 C'est ici un exemple d'étude de fonction où l'on peut éviter de passer par la dérivée, outil pratique mais qui a ses limites (par exemple, sens de variation de x -> exp(exp(exp(-x))), où tu peux rajouter autant de exp que tu veux 🙃). Je dis dans un autre commentaire que j'étudie ce problème du point de vue de l'analyse, mais finalement, on n'aura vu ni dérivée, ni gradient. Ce sera pour une autre fois !

[@cafe-tomate]

C'est fou parce que cette démonstration est plutôt du niveau de maths expertes Heureusement que cette démonstration figure dans la catégorie "démonstrations possibles"

[@oljenmaths]

Ah oui, complètement ! C'est l'une des démonstrations les plus difficiles parmi les « 38 démonstrations de terminale » que j'ai traitées. On est dans un niveau de technique et d'abstraction clairement inapproprié pour « mathématiques complémentaires » 👨🏻‍🏫.

[@jean-charlesgravier9011]

Long !

[@oljenmaths]

Pour un étudiant de terminale, il est délicat de faire plus court, hélas...