[UT#64] Gradient & Dérivées directionnelles (Introduction)

Dans cette émission, je présente les notions de gradient et de dérivées directionnelles sur un exemple très visuel dans lequel le chevalier Perceval se met en route en quête du Saint-Graal.
🕒 Repères temporels:
0:00 - Introduction
0:25 - Exemple d'illustration
2:05 - Une question fondamentale
5:14 - Vers une généralisation
6:20 - Application sur l'exemple
10:22 - Définitions (gradient, etc.)
11:32 - Une question salutaire
12:30 - Une propriété importante
14:23 - Interprétation du gradient
18:00 - Quelques questions
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✒️ Notions abordées: gradient, dérivée directionnelle, dérivée partielle, nombre dérivé, pente, différentielle, inégalité de Cauchy-Schwarz, produit scalaire, quête du Graal, variations d'une fonction, algorithme du gradient, algorithme de descente,
🌞 Bonne écoute !
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[@ent6322]

C’est absolument excellent. Je comprends pas pourquoi votre chaîne KZbin n’est pas plus connu, vous faites l’effort d’expliquer proprement les concepts et l’intuition derrière pendant que d’autres qui se content de recopier un cours sur un tableau ont + de vues…

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏🏻. J'espère seulement que mon travail finira par payer, ou bien que je trouverai un jour ce qui fait que mes vidéos connaissent moins de succès malgré une forme et un fond d'une qualité moindre, du moins d'après mes perceptions 😇.

[@rubensilvera1164]

@@oljenmaths Choqué de voir que des vidéos minables, qui sont littéralement des paraphrases de cours sans explications font plus de vues que ce chef d'oeuvre que je viens de voir.

[@oljenmaths]

Merci beaucoup@@rubensilvera1164 !

[@mollyx6049]

Merci beaucoup pour cette vidéo ! Je comprends immédiatement le concept de la dérivée directionnelle ! Si jamais mon prof avait intégré la visualisation dans le cours...🥲

[@oljenmaths]

Au plaisir 😁 ! C'est pour cela que je réalise des vidéos : c'est un complément bien utile 😇.

[@sengoku7348]

Un trés bon travaille je doute que mon professeur de maths peut expliquer avec une telle rigorisité vraiment briallant 👏👏👏

[@oga657]

On dit rigueur 😉 Une telle rigueur....

[@amandineleretour]

Merci beaucoup pour cette vidéo qui m'a fait comprendre une semaine de cours en 20min !! Vous sauverez mon semestre. Je suis admirative du travail que ça doit demander et l'exemple est tellement clair merci infiniment

[@oljenmaths]

C'est à mon tour de vous remercier pour ce message qui fait chaud au cœur, et qui m'encourage à persévérer dans la réalisation de vidéos de ce type (d'autant plus qu'en effet, leur réalisation prend un temps fou)😇! Bonne continuation dans vos études !

[@leJzer__]

Brillant tout simplement : clair net et concis soit tout ce qu'on recherche d'une vidéo résumé ! Continuez comme ça vous sauvez bon nombres d'étudiants!

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏🏻!

[@wilfriddelabre6886]

Merci de faire apprécier les mathematiques. Votre travail est d'une grande qualite et d' une simplicité ce qui en dit long sur le travail fournit. Un grand merci

[@emilie375]

Je n'ai pas tout regardé encore et il faudra que j'aille voir la vidéo sur la différentielle aussi mais j'adore ! Ce sont des notions depuis des années me font un peu peur et la tout est expliqué très clairement et prend sens. Merci !

[@DamassiTV]

J'adore vos vidéos. Les explications sont magnifiques. Les démonstrations et les sujets des maths sont représentés d'une façon incroyables.. Merci beaucoup du Maroc ❤️🇲🇦

[@mohamedharek5768]

Merci pour cette vidéo explicative 🙏

[@borhaneyahiaoui9965]

C’est super agréable de comprendre le lien entre les notions, et le véritable sens qu’elles ont !

[@chihabmajdolin504]

Très bonne vidéo, continue dans les fonctions de deux variables, c'est très intéressant.

[@imkwuik3234]

La vidéo est génial, les illustrations sont top, c'est rare d'aborder et d'expliquer aussi bien des définitions assez subtile comme ça on sent que vous êtes très pédagogue, merci beaucoup pour votre travail !

[@oljenmaths]

Au plaisir, merci pour ce message chaleureux 😁!

[@bonsai3975]

Juste exceptionnel ;) Merci beaucoup pour votre travail!

[@procureurkhyssa5730]

trop bien expliqué ! merci pour le partage salut et joie !

[@DARELVICAIRE-yg8yg]

Vraiment grand merci à vous vous faites du bon boulot

[@user-hy4zf5lz8w]

Excellent, très bien fait et très clair, merci !

[@gilldeguill]

C’est très bien expliqué

[@christelep601]

Superbe vidéo et excellent travail ! Bravo

[@zakariaeaznay7949]

Wow, Très excellent vos explications

[@antoine5571]

C'est excellent, merci énormément !

[@user-zq5pg3ps2t]

merci pour vos efforts !

[@acn8713]

Vraiment fantastique!

[@aminaa3973]

Merci beaucoup pour votre travail

[@Louis-ml1zr]

Géniale vidéo! Très très claire bravo a vous et bravo aussi pour les animations/textes c’est vraiment très bien fait !

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏🏼!

[@douaabousnina]

merciiiiii !!!! vous m'avez sauvée!

[@mehdibenrejeb212]

superbe explication ! continue.

[@hammalemourad8936]

Thank you 😊 that's great it will be helpful to understand how the machine learn

[@mohammedjmili3952]

Excellent. 👍👍👍

[@lazm6047]

Merci beaucoup 😊👍

[@halikiidrisswouche6572]

J'❤aime car très expliqué! Merci infiniment!

[@yiphtambanguelobe1405]

Excellente tes vidéos j'ai enfin compris pourquoi dans l'algorithme de descente de gradient, on descend dans la direction du gradient et pas dans une autre

[@nicolasbiviano7028]

La manière d amener l algorithme est juste parfaite

[@Mathioux]

Merci !!

[@myfreedom42]

ma premire video sur ta chaine, et meme si je suis largué en math sur certaines notions, ça reste quand meme tres bien et éclairci certains point :) continue !

[@oljenmaths]

Merci beaucoup, bienvenue sur la chaîne !

[@myfreedom42]

@@oljenmaths le vrai probleme c'est que les lacunes se cumule, pour dire, on fait meme plus de calcul mental, donc j'ai certaines table que j'ai oublié, donc c'est chaud ^^ Par contre, vu que je programme, les fonctions c'est devenu beaucoup plus clair, enfin sauf quand y a plein de symbole autour XD

[@oljenmaths]

Oui, je comprends pour les lacunes. Je ne sais pas dans quelle mesure c'est possible pour toi, mais il faudrait que tu prennes le temps de les combler, une par une, ces lacunes (et je suis sûr que tu le sais). L'idée, c'est d'y aller petit à petit, parce que si tu essaies de tout combler en même temps, tu vas juste te décourager. Tu sais, pour le calcul mental, ça peut juste être une douzaine de multiplications à un ou deux chiffres chaque jour: ça te prendrait 5-10 minutes et tu serais fier de faire encore plus partie du côté de ceux qui affrontent leurs problèmes 😜!

[@Venden_IX]

Super vidéo, ça serait super des exercices corrigés sur les dérivées partielles

[@bilelselmi4267]

Merci bcp , j'espère un vedio sur la divergence avec une explication comme ça

[@U55705]

Merci bcc

[@fahsifahsi1968]

Bravo

[@yaellouaked9230]

Je crois que les types de cartes qui pourraient posé problème a perceval serai celles avec plusieurs extremums locaux (plusieurs montagnes...) le gradiant "indiquerait" donc simplement le somet le plus proche mais pas forcément celui souhaitée! Ps: Une question m'est venue en ecrivant ce commentaire, existe t'il un outil mathématique analogue qui indiquerait l'extremum global d'une fonction? (En supposant qu'il n'en en est qu'un seul)

[@oljenmaths]

C'est une très bonne proposition. Quant à un outil analogue qui n'indiquerait que les extrema globaux, je n'en ai pas connaissance, ce qui ne veut absolument pas dire que ça n'existe pas 😉. En tout cas, le gradient est vraiment un outil local, donc à part dans des cas très particuliers (fonctions convexes / concaves, par exemple), il est peu probable de tomber sur un extremum global.

[@ThibaudOU]

La matrice hessienne par exemple ?

[@michelbernard9092]

Petite suggestion en passant (je me venge !), lorsqu'il y a une confusion possible, mettre une flèche sur les éléments de iR², sinon très belle vidéo, bien claire, bien agréable.

[@ahmed51988]

Votre contenu est très utile et unique ! Expliquer ces idées dans cette vidéo assez concise n'est pas evident et articuler ses idées avec un français agréable et riche ajoute au plaisir des maths Je vous souhaite la réussite Conseil ou remarque : Penser a plus adapter les vidéos aux smartphones , pensez a un police plus grand peut être car une grande partie des matheux élèves ou amateurs utilise les portables Verrons nous des vidéo sur les matrices dans le futur ? Et bonne continuation !!!

[@oljenmaths]

Merci pour les compliments 🙏🏻! Pour les matrices, il faudra sans doute attendre un peu parce que je suis lancé dans l'analyse en ce moment, mais je reviendrai assurément à l'algèbre que j'aime beaucoup. Quant aux smartphones, il me semble que le tableau est bien lisible en plein écran... en tout cas, je n'écrirai pas plus petit, promis !

[@user-zq5pg3ps2t]

j'adoreee

[@sadiboudjitte2851]

très intéressant je vois mieux maintenent le concept de Gradient franchement tes vidéos sont très instructives, on arrive à mieux comprendre les outils abstraits des mathématiques PS: est ce que vous pourriez faire un jour une vidéo sur La Loi faible des Grands Nombres ?

[@oljenmaths]

Merci beaucoup ! Je ne parlerai pas de si tôt de la loi faible des grands nombres, mais cette idée est déjà quelque part dans mon énorme tableau d'idées, donc ça arrivera un jour, lorsque je serai dans une dynamique de probabilités. Pour l'instant, je suis à fond dans l'analyse 😅!

[@lecokase]

Merci beau boulot. Je reviendrai car j’ai pas tout capté

[@eladnanimohammedamine1271]

Un exemplede carte qui poserait problème à Perceval serait l 'image de la fonction f:(x,y)-->1/x car il ne peut monter à l'infini. D'ailleurs si on multiplie la fonction par (-1) il va lui falloir sauter sur le domaine voisin de x=0 pour passer d'un côté à l'autre de la carte :)

[@oljenmaths]

Ah oui, faire partir l'altitude à l'infini, c'est sportif 🤣!

[@hamatismailguire3329]

Excellent formidable vous la creme de la crème. Dite nous comment aimeriez vous qu’on vous soutiennent

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏🏻! Dans un ordre croissant d'importance, je dirais que « soutien » évoque des pouces bleus sur les vidéos, le partage de ces vidéos et d'éventuels dons (je travaille à la réalisation de vidéos à 100% désormais). 🤝🏻 Faire un don - bit.ly/3pMOJFN

[@momohiio941]

Super vidéo comme d'habitude !! (on est d'accord que le nombre dérivé -4exp(-5) renseigne sur les variations des pts qui sont "proche" du point a ? )

[@oljenmaths]

Oui, complètement, cela ne donne que des informations locales 👍🏻.

[@mathurinrouan3971]

S'il y a un plateau sur sa montée, sa boussole "arrêtera de fonctionner" une fois sur ce plateau. De même, tout escalier (même dont les angles seraient adoucis pour admettre des dérivées directionnelles) est infranchissable par une boussole de gradient. Si le haut de la montagne est un pic (ce qui n'est pas impossible du tout), la boussole ne fonctionne plus puisque le gradient n'est pas défini en ce point de non dérivabilité.

[@oljenmaths]

J'achète tout ! Une zone de plateau, un extremum local, un point de non dérivabilité, tout cela rend l'utilisation de la boussole problématique 👍🏻.

[@fueksnbfbek]

si perceval passe par un plateau avant d'arriver au sommet il ne saura pas décider de sa direction juste avec la nullité du gradient : il va devoir regarder au loin soit chercher par exemple en spirale dans un certain rayon autour de sa position et choisir la position où il recommence à monter là où l'altitude est la plus grande. Dans l'hypothèse où il y a un seul sommet ponctuel sur la carte où se trouve le graal.

[@oljenmaths]

Voilà deux problèmes pertinents soulevés: des zones de plat, ainsi que des sommets éparpillés ici et là et qui ne sont pas forcément le sommet de la montagne (un tas de bouse séchée, par exemple). Bien vu 👍🏻!

[@richardsantamaria820]

Bonjour, pourquoi la dérivée directionnelle est-elle le produit scalaire du gradient et du vecteur directeur h ?

[@oljenmaths]

Bonjour ! C'est la propriété citée à 13:16 qui permet d'affirmer cela, et elle peut se démontrer par un calcul plus ou moins pénible faisant intervenir une formule de Taylor 👨🏻‍🏫.

[@leeknowbiased4644]

C'est une vidéo incroyable merci beaucoup. J'ai juste une petite question, pourquoi on considère que "monter" est aussi une direction alors que monter c'est l'axe de la variable. Quand on a des fonction de R dans R on ne considère pas que monter sur l'axe de la variable est une direction pourtant?

[@oljenmaths]

De R dans R, il n'y a pas tellement besoin de parler de direction parce qu'il n'y a pas vraiment le choix. À la limite, on pourrait de parler de dérivée directionnelle selon le « vecteur » 1 (pour que l'augmentation de la pente soit jaugée de gauche à droite) ou selon le « vecteur » -1 (auquel cas les fonctions dont la dérivée directionnelle correspondante est positive seraient décroissantes, et bonjour le chaos). Pour des fonctions de plusieurs variables, ces notions sont bien plus pertinentes, dans la mesure où Perceval, perdu sur son terrain, a désormais une infinité (et non pas deux) de directions dans laquelle aller. Et donc, dire « ça monte » demande des précisions pour ne pas être équivoque. J'espère que j'ai répondu à la question plutôt que te tourner autour. Sinon, il faut insister 😁.

[@christophem6373]

Soit la fonction 1/x² avec la droite réelle achevée comme image et f(0) = +oo cette fonction a un maximum atteint en 0, continue et pas de point "anguleux" en 0. Mais sa dérivée est différente de zéro en zéro (est-elle définie sur Rbarre ?). Quelle est l'hypothèse que j'ai loupée dans le théorème "extremum => dérivée nulle" ?

[@oljenmaths]

L'hypothèse loupée, c'est l'hypothèse topologique qui consiste à avoir un ensemble de départ ouvert. Plus simplement, sinon, je peux considérer la fonction qui à un réel x du segment [0,1] associe lui-même, et on a de beaux extrema locaux tout en ayant une dérivée constante égale à 1, qui ne s'annule donc jamais.

[@christophem6373]

@@oljenmaths mais dans mon exemple je crois que 1/x^2 était définie sur un ouvert, c'est pas le cas ?

[@oljenmaths]

Ah oui, j'ai mal lu, j'ai fait un hors-sujet. Après réflexion, je dirais que la fonction proposée n'est juste pas dérivable en 0, la dérivabilité d'une fonction de la variable réelle étant définie comme l'existence d'une limite finie du taux d'accroissement, ce qui n'est pas le cas ici.

[@pit22829]

Un graphe qui pourrait poser problème à Perceval selon moi serait par exemple constitué de plusieurs sommets locaux et d'un sommet absolu. Difficile de trouver son chemin dans ce cas, avec les gradients. Non?

[@oljenmaths]

Exactement 👍🏻! C'est ce qui pose pas mal de problèmes dans plusieurs méthodes d'optimisation où l'on se contente de « suivre la boussole », cf. kzbin.info/www/bejne/e4jNhoyVaNqVnJY, par exemple.

[@lherissondespontex6657]

Je ne comprends pas d'où vient l'exponentielle à 8:50, est-ce quelqu'un peut éclairer ma lanterne svp :) ?

[@oljenmaths]

Présent, @lherissondespontex6657 ! C'est la fonction du tout début, introduite à 0:32, dont je me sers pour illustrer les concepts. Comme elle n'apparaît plus explicitement pendant plus de huit minutes, son oubli est parfaitement compréhensible 😅 !

[@blondsucre8179]

Maid si perceval est sur un massif montagneux avec des plateaux parfaitement plat et lisses, . Le gradient le laisserait-il bloqué sur un plateau ou bien lui indiquerait il la direction de l'absolu sommet culminant ?

[@oljenmaths]

Il le laisserait bloqué sur un plateau ! C'est ce qui pose problème dans bon nombre d'algorithmes utilisés dans l'intelligence artificielle, notamment.

[@alexandregaeng3638]

Croissance, décroissance... Selon comment on est tourné ça change tout !

[@oljenmaths]

Magistrale celle-là 🤣! Bravo 👏🏻!

[@alexandregaeng3638]

@@oljenmaths Bravo pour votre travail toujours aussi propre

[@oljenmaths]

@@alexandregaeng3638 Merci beaucoup 🙏🏻!

[@user-np5pi5mp7q]

Peut-on affirmer que l'être humain, lorsqu'il gravit une montagne, utilise inconsciemment l'algorithme de descente de gradient ?

[@oljenmaths]

Je ne le pense pas, dans le sens où il se retrouverait en mode « stationnement » dans n'importe quelle cuvette / sur n'importe quel monticule qui, localement, ressemble à un terrain plat. Pour ne pas faire dans la dentelle, c'est ce que j'appelle le « problème du tas de bouse », et c'est un vrai problème dans les algorithmes qui sont basés sur ce principe. En voici un exemple : kzbin.info/www/bejne/e4jNhoyVaNqVnJY Une vidéo où l'IA, à un moment donné, « stationne » dans sa technique parce que localement, toutes les petites variations qu'elle peut envisager amènent systématiquement des résultats inférieurs au résultat médiocre qu'elle est parvenue à obtenir.

[@mamounaich3129]

Est-ce qu’en France aussi vous voyez le gradient en 1ère année ?

[@oljenmaths]

J'ai mis un petit « +2 » en haut à gauche, dans la mesure où je pense que c'est plutôt quelque chose qu'on voit en deuxième année. Après, tout dépend de la filière dans laquelle on étudie, parce qu'on peut avoir besoin de cet outil plus ou moins tôt. Quoiqu'il en soit, l'introduction peut assurément être suivie en première année, ça c'est sûr !

[@yael2593]

Mais alors concrètement, si on a deux vecteurs colinéaires et de même sens qui partent du même point( de normes différentes ),les dérivées directionnelles selon ces deux vecteurs seront pratiquement les mêmes ?

[@oljenmaths]

Dans le cas où un vecteur serait 5 fois plus long que l'autre, alors les « dérivées directionnelles » diffèreraient d'un facteur x5. Pour régler cette équivoque, on décrète que les vecteurs doivent être unitaires. Pour Perceval, le côté unitaire revient un peu à se poser la question: « quand je fais un pas dans ce sens et cette direction, de combien de centimètres me suis-je élevé », et toujours un seul pas: ni 3, ni 5 ni 18.

[@yael2593]

@@oljenmaths Merci pour la vidéo et pour la réponse !

[@kishanpatel2838]

7:23 pourquoi la droite D en 2D ça donne ça ? J’ai l’impression que z est constant sur D

[@oljenmaths]

En fait, la droite D sur le schéma en 3D, tu peux te la représenter comme la vue de dessus de Perceval. On dit juste qu'il va dans une direction donnée dans le plan (Oxy). Mais l'enjeu, ce n'est pas de faire ce déplacement dans le plan, mais plutôt de le faire sur la surface. Ainsi, si on lui dit « avance par-là », il va se taper une petite côte, puis une petite redescente, et c'est ce que j'ai représenté 👍🏻.

[@AllemandInstable]

Calcul diff, mon chapitre préféré en MP

[@loicgeeraerts]

D'après la définition de la croissance d'une fonction, on peut aussi bien choisir "si les x croissent, alors les y croissent" que "si les x décroissent, alors les y décroissent" d'où la phrase de votre professeur. Dans ces conditions, peut-on vraiment dire 4:45 "Autrement dit, c'est le sens des x croissants qui est retenu." ?

[@oljenmaths]

Peut-être pas, en effet. Si on allait vers la gauche, par exemple pour la fonction qui à x associe x, on trouverait une dérivée directionnelle égale à -1, ce qui est cohérent puisque quand Perceval fait un pas vers la gauche, il descend autant que la longueur de son pas. Sans doute est-il plutôt question d'une convention occidentale, alors, qui consiste à préférer le fait d'aller de la gauche vers la droite ? [Je sens que je manque de sucre 🤣]

[@loicgeeraerts]

@@oljenmaths Je suis tout à fait d'accord avec vous en ce qui concerne l'influence des habitudes/normes occidentales.

[@hasinazoe3997]

Et c'est quoi la derivé directionnelle seconde ? Est ce que c'est liée à la matrice hessienne ?

[@oljenmaths]

Oui, complètement, la dérivée directionnelle seconde est liée à la matrice hessienne. Plutôt que de mesurer la pente, Perceval regarderait la manière dont le chemin est incurvé sous ses pieds : plus ou moins convexe ou concave.

[@hasinazoe3997]

@@oljenmaths je suppose que sa démonstration est liée à la formule de Taylor d'ordre au plus 1(pour le cas multivariée)

[@oljenmaths]

En effet, le lien entre la convexité locale et les dérivées partielles s'appuient sur la formule de Taylor@@hasinazoe3997. Si on va jusqu'aux dérivées partielles secondes, alors on emploiera la formule de Taylor à l'ordre 2, dont le terme d'ordre 2 peut s'écrire avec une matrice hessienne.

[@-alim-3585]

La balle perdue pour Perceval 😭

[@ceytixg2508]

Problématique du cours: Comment pouvons-nous comprendre le cours ? Je rigole, merci beaucoup

[@DARELVICAIRE-yg8yg]

Perceval rencontrera un problème au cas où la fonction choisi n'est pas continue en un point situé sur la direction qu'il suit.

[@oljenmaths]

Cela, c'est certain ! Dans l'idée, je pensais plutôt au fait qu'il se trouve sur une colline minuscule. La boussole lui indiquera qu'il est au sommet, mais ce ne serait qu'un sommet local, bien loin de son objectif principal. C'est un problème qu'on retrouve avec pas mal d'algorithmes d'apprentissage par intelligence artificielle aujourd'hui.

[@georgesneaimeh5793]

Excellente la vidéo, mais si quelqu’un sait la réponse à la question posée en fin de vidéo qu’il me la partage et mercii

[@oljenmaths]

Merci 🙏🏻! Pour la question, il suffit d'imaginer une carte avec un grand sommet (disons 1500m d'altitude), et plein de petits sommets (disons 50m d'altitude). Perceval pourrait se retrouver coincé sur un petit sommet, et sa boussole ne le mènerait absolument nulle part puisque sous ses pieds, ce serait « plat ».

[@etistyle96]

c'est pas faux.

[@seydinamouhamedhamallahndi9702]

Je ne préfère rien 😢😢😢

[@DARELVICAIRE-yg8yg]

Vraiment grand merci à vous vous faites du bon boulot