[DET#6] Racines d'un polynôme & Factorisation (Démonstration)

Dans cette émission, je démontre qu'un polynôme admettant a pour racine est factorisable par (X-a). La démonstration de cette propriété s'appuie sur une généralisation intéressante de l'identité remarquable (a-b)(a+b) = a²-b², qu'on obtient en faisant intervenir une somme télescopique, tout comme dans l'émission précédente.
📝 La démonstration réalisée ici fait partie des 12 démonstrations proposées dans les nouveaux programme de terminale, mathématiques expertes, enseignement complémentaire, voie générale.
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✒️ Notions abordées: somme télescopique, racines d'un polynôme, factorisation, identité remarquable.
🌞 Bonne écoute !
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[@oljenmaths]

Salutations ! Cette émission est un ré-upload qui vise à démontrer la propriété en question dans le cadre d'un cours sur les nombres complexes. L'ancienne version, ainsi que vos commentaires sympathiques, sont toujours disponibles ici: 📖 Ancienne version de l'émission (obsolète, non répertoriée): [DET#6] kzbin.info/www/bejne/eGjRZ3igjNJ-mqc

[@smartcircles1988]

@Oljen ? Comment pourrais-je vous contacter ?

[@oljenmaths]

@@smartcircles1988 Adresse mail dans la description de chaque vidéo ✉️.

[@Ethrakk]

Très bien expliqué et illustré :)

[@theeo1977]

Merci

[@hahaajzj8891]

Bonjour Øljen. Je peux démontrer la somme des termes géométrique de cette manière ? C'est le cas où a=1

[@oljenmaths]

Salutations ! Oui, exactement, l'un peut s'obtenir à partir de l'autre, l'idée principale étant de faire apparaître une somme télescopique 👍🏻 !

[@smartcircles1988]

C'est comme la formule de la Somme des Termes d'une suite géométrique

[@oljenmaths]

C'est exactement ça, et on peut tout retrouver à partir de là 👍.

[@blanluc1158]

Bonjour, dans la formule simplifie de z^n-a^n, avec le sigma, ce n’est pas z^(n-1-k) a^(k)?

[@oljenmaths]

Bonjour ! Les deux sont justes ! La différence entre nos deux formules, c'est la différence entre 1+2+3+4 et 4+3+2+1: la première formule écrit la somme dans un sens, la deuxième l'écrit dans l'autre 😉.

[@minecraftherobrine1234]

Salutations. La question est peut être un peu stupide, mais pourquoi [u1 + u2(z+a) + ... + ud(z^(d-1) +....+ a^(d-1)) ] est un polynome Q ?

[@oljenmaths]

Salutations ! Il n'y a pas de questions stupides 👨‍🏫 ! La notion de polynôme n'est définie clairement qu'en troisième année post-bac usuellement. On va donc expliquer ça avec les mains. 🔹 Une expression polynomiale en z, c'est une quantité formée comme sommes, produits et multiplications par un réel à partir de z. Par exemple, 17z^4 + 5z^2 + 1 est une expression polynomiale en z. 🔹 En développant l'infâme crochet [u1 + u2(z+a) + ... + ud(z^(d-1) +....+ a^(d-1)) ], et en rassemblant mentalement les puissances de z, tu peux t'apercevoir que ce crochet est, au sens de ce que j'ai écrit au-dessus, une expression polynomiale en z. Rigoureusement, en notant Q = [u1 + u2(Z+a) + ... + ud(Z^(d-1) +....+ a^(d-1)) ], polynôme dont je note l'indéterminée Z, alors le crochet vaut Q(z). N'hésite pas à insister si le mystère perdure.

[@minecraftherobrine1234]

@@oljenmaths C'est très clair. Merci beaucoup pour votre temps!

[@cosmibroadcasting9795]

Comment démontrer que Q(z) est de degré d-1 ?

[@oljenmaths]

Dans l'expression Q(z), tous les termes qui apparaissent sont de degré au plus d-1. De plus, le seul endroit où un terme de degré d-1 apparaît est dans la dernière parenthèse, avec le terme u(d)a^{d-1}. Or, si P est non nul, alors u(d), son coefficient dominant, est aussi non nul. Ainsi, le terme dominant de Q(z) est u(d)a^{d-1}, ce qui fait de Q un polynôme de degré d-1.

[@cosmibroadcasting9795]

@@oljenmaths Merci infiniment.

i) ok. ii) C est un corps commutatif donc C[z] est un anneau euclidien donc ok aussi. 😋😋😋 Sortons le bazooka pour tuer la mouche !

[@aloisdasilva7269]

En quoi anneau euclidien => (ii)?

@@aloisdasilva7269 On divise P(z) par z-a. Le reste est un polynôme constant qui est alors nécessairement nul puisque P(a) = 0.

[@oljenmaths]

C'est, assurément, un bon moyen d'intimider le petit étudiant de terminale venu réviser ses démonstrations 🙃.

@@oljenmaths 😁

[@antoine2571]

@@oljenmaths ahah c'est mon cas 😅 C'est vrai que j'ai déjà entendu plusieurs fois la notion d'anneau mais sans jamais vraiment comprendre J'en entendrait parler l'année prochaine j'imagine