[DET#25] Racines de l'unité (Démonstration)

Dans cette émission, je calcule l'ensemble des nombres complexes dont la puissance n-ième vaut 1, qu'on appelle ensemble des racines n-ièmes de l'unité.
📝 La démonstration réalisée ici fait partie des 12 démonstrations proposées dans les nouveaux programme de terminale, mathématiques expertes, enseignement optionnel, voie générale.
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✒️ Notions abordées: équation polynomiale, forme exponentielle, raisonnement par analyse-synthèse, racines de l'unité.
🌞 Bonne écoute !
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[@drawingdreams9546]

Cette chaîne mérite d'être plus connue !

[@Paul-sy2dc]

Bonjour, votre chaîne est vraiment géniale !!!

[@oljenmaths]

Merci beaucoup, bienvenue sur la chaîne 😃 !

[@rakouzaineforceultrin1779]

Superbe vidéo

[@SaraBedhiyafi]

C'est vraiment génial

[@theeo1977]

Merci !

[@hahaajzj8891]

Bonjour Øljen. Une vidéo sur les différentes techniques de décomposition des éléments de K(X) ou de l'arithmétique dans K[X] est-elle prevue ?

[@oljenmaths]

Dans l'immédiat, non, mais je le note sur la liste. Les vacances d'été seront l'occasion pour moi de faire un tri dans la quantité impressionnante de suggestions reçues 🙃.

[@eazy-math4599]

mercis beaucoup, vous écrivez avec quel logiciel??

[@oljenmaths]

C'est dans l'onglet "À propos de la chaîne": ✍️ Graphic Tablet: amzn.to/32Pe1VY 📝 Screen recording: Camtasia + Photoshop. 🎧 Audio recording & editing: Audacity. 🎬 Video montage: Adobe Premiere.

[@Xrtd62]

Bonjour, je me permets de vous poser une question ici. Vos videos ne traitent elles que du programme pour les ecs ou aussi pour la mpsi? Car je compte peut être aller en prepa mpsi et j’aimerais connaître l’étendue du programme. En tout cas vos videos sont passionnantes et de grande qualité merci beaucoup pour ce que vous faites.

[@hahaajzj8891]

Il traite les deux apparemment . Et beaucoup de notions du programme sont communs entre les deux classes.

[@Xrtd62]

Haha Ajzj ok merci

[@oljenmaths]

Salutations ! En réalité, mes émissions intersectent de manière non triviale tout un tas de filières parce qu'elle sont conçues, non pas pour une filière spécifique, mais pour présenter des mathématiques, tout simplement. Celle-ci, par exemple, concerne à la fois les nouveaux programmes de terminale, la MPSI, la première année d'ECS, la première année à l'université en mathématiques, etc. Quoiqu'il en soit, si tu souhaites aller en MPSI, la quasi-totalité des émissions dont la miniature comporte un "T" ou un "+1" en haut à gauche te concernent, puisque c'est une des filières où le programme de première année est le plus large. Merci pour ce commentaire sympathique !

[@Xrtd62]

Øljen - Les maths en finesse Merci beaucoup pour votre réponse

[@yackohood]

Bonjour, pourquoi 2pi doit être exclu de l’intervalle ?

[@oljenmaths]

Salutations ! Il n'est pas nécessaire de l'exclure, mais sans cela, on se retrouverait à compter deux fois le même élément dans la mesure où exp(0) = exp(2iπ). Ainsi, pour éviter de le compter deux fois, puis de le faire remarquer en enlevant « l'élément en trop », je me permets de l'ôter d'emblée 😉.

[@maxenced9778]

Bonjour Je ne comprends pas pourquoi vous procédez par analyse synthèse. On note r le module de z et theta son argument z^n=1 (r exp(itheta))^n=exp(0) r^n=1 et theta*n=0[2Pi] on retombe sur votre résultat Pourquoi procéder par analyse-synthèse quand on résout une équation par équivalence ? (De + que même sans équivalence, dalembert gauss nous permet de dire que les n solutions trouvées sont les bonnes ?) Dans ce cas, autant procéder par équivalence pour résoudre par exemple 2x+4=5, non ?

[@oljenmaths]

Salutations ! Je ne raisonne pas par équivalence. Je procède en deux étapes, et la première de ces étapes ne peut pas être réalisée par équivalence: 🔹 Je détermine le module de z (deux complexes égaux ont même module, implication sans réciproque). 🔹 Je détermine son argument. En bref, il s'agit d'une explication plus détaillée de l'équivalence ci-dessous (admise ?): (r exp(itheta))^n=exp(0) r^n=1 et theta*n=0[2Pi]. De mon côté, j'admets seulement la bulle écrite à 8:10, c'est-à-dire l'équivalence ci-dessus dans le cas où r = 1. Autrement dit, je démontre un peu plus.

[@cosmibroadcasting9795]

Bonjour Oljen. Peut-on montrer que Z=(i+2)/(i-2) n'admet pas des racine n-iéme de l'unité ?

[@oljenmaths]

Salutations ! Hmm, je peine à comprendre le sens de la question. Le nombre complexe Z = (i+2)/(i-2) admet des racines n-ièmes, oui, comme n'importe quel nombre complexe. Après, si on les représente, on ne tombera pas sur les racines n-ièmes de 1.

[@cosmibroadcasting9795]

@@oljenmaths Effectivement. En d'autres termes : Il n'existent pas des entiers naturels n tel que : Z^n=1

[@cosmibroadcasting9795]

Vous avez raison je m'étais trompé. La question c'est de montrer que Z n'est pas une racine n-iéme de l'unité.

[@cosmibroadcasting9795]

@@oljenmaths Je pense c'est un peu compliqué de le montrer ...

[@oljenmaths]

@@cosmibroadcasting9795 Ah, je comprends à présent ! Je ne pense pas que ce soit si difficile. Je commencerais déjà par calculer le module de Z: s'il ne vaut pas 1, alors Z ne sera pas une racine de l'unité, assurément. Ensuite, je calculerais l'argument de Z, afin de réfléchir à partir de là.

[@eazy-math4599]

DET ca veut dire quoi??

[@oljenmaths]

(Dé)monstration de (t)erminale. Tu peux retrouver toutes les playlists ici: cutt.ly/2tYlU4w.