Differentialgleichung 2.Ordnung | 2 gleiche Lösungen für Lambda | partikuläre & charakteristische

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Differentialgleichungen lassen sich in homogene und inhomogene Differentialgleichungen unterscheiden.
Die Lösung einer inhomogenen GDGL besteht aus der allgemeinen Lösung der homogenen GDGL und einer speziellen Lösung (partikuläre Lösung) der inhomogenen GDGL. Deshalb erfolgt das Lösungsverfahren der inhomogenen GDGL, unabhängig von der Ordnung, in zwei Stufen. Die Gesamtlösung ist die Summe der beiden Lösungen:
Die homogene Lösung der GDGL ist Null, wenn alle Anfangsbedingungen und deren Ableitungen Null sind.
Die partikuläre Lösung der GDGL beschreibt das Übertragungsverhalten von als erzwungene Bewegung. Je nach Systemordnung müssen alle Anfangsbedingungen y und deren Ableitungen Null sein.
bei Anwendung der inversen Laplace-Transformation immer eine partikuläre Lösung. Die partikuläre Lösung der GDGL ist in der Regelungstechnik meist von hauptsächlichem Interesse.
Mit Hilfe des Exponentialansatzes und der sich daraus ergebenden charakteristischen Gleichung lassen sich auch GDGL höherer Ordnung lösen. Dieser Exponentialansatz gilt als universelles Lösungsverfahren für homogene GDGL beliebiger Ordnungen mit konstanten Koeffizienten.
Die Variation der Konstanten ist ein Verfahren aus der Theorie linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen zur Bestimmung einer speziellen Lösung eines inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems erster Ordnung bzw. einer inhomogenen linearen Differentialgleichung beliebiger Ordnung. Vorausgesetzt wird hierfür eine vollständige Lösung (Fundamentalsystem) der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.
Wenn du eine inhomogene Differentialgleichung vor dir hast, bestimmst du die Lösung in zwei Schritten: Du berechnest die homogene Lösung und die sogenannte partikuläre Lösung, auch spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung genannt. Zusammen ergeben sie die Gesamtlösung.
Eine inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung lässt sich durch Variation der Konstanten auf folgende Weise lösen. Zuerst wird die entsprechende homogene Differentialgleichung durch Trennung der Variablen gelöst.
Um die inhomogene DGL zu lösen, wird die Integrationskonstante C durch
eine unbekannte Funktion C (x) ersetzt. Die Funktionsterme für y und y' setzen wir in die inhomogene DGL ein. Diesen Ausdruck für C (x) setzen wir in die Formel für y ein und erhalten die allgemeine Lösung der inhomogenen DGLDiese Methode ist als Methode der Variation der Konstanten bekannt. Die Integrationskonstante C wird variiert, d.h. durch eine Funktion C(x) ersetzt.
Das Lösen einer Differentialgleichung höherer Ordnung ist äquivalent zum Lösen eines geeigneten Differentialgleichungssystems erster Ordnung. Auf diese Weise kann man obiges Verfahren nutzen, um eine spezielle Lösung für eine Differentialgleichung höherer Ordnung zu konstruieren.
Mathematik Nachhilfe in Villach

[@natronlauge1812]

grade entdeckt. angenehme stimme, schöne schrift und verständlich. bin gespannt auf deine weiteren videos. danke

[@lernflix]

Hey, danke für dein Feedback. Ich hoffe, dass dir die anderen 600 Videos auch weiterhelfen. 😄 LG lernflix

[@VoKuHiLaMan]

Bin Dir sehr Dankbar für deine Videos zu Differentialgleichungen!

[@lernflix]

Bitte, sehr gerne. Freut mich, dass ich dir helfen konnte. Freue mich auch über dein ABO. LG lernflix

[@klutz1907]

Danke für das Video, hat geholfen. Hoffe das Geschäft läuft gut während Corona.

[@marcelwolters2861]

Sehr hilfreich und gutes Beispiel

[@christophsommerauer847]

sehr hilfreiches Video! Vielen Dank :)

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Hallo Christoph. Bitteschön und Danke für dein tolles Feedback. Freut mich, dass ich dir helfen konnte. Danke auch für dein ABO. LG lernflix

[@philskalation2881]

Klasse erklärt. :)

[@human0.2]

sehr gut erklärt. Danke!

[@lernflix]

Danke für dein nettes Feedback. LG lernflix😁

[@stylerzocker6998]

Danke!

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Bitte, sehr gerne. 😁

[@k.ronaldo]

woher kommt das x beim C2 in der homogenen Lösung ?

[@lernflix]

Danke für deine Frage. Da die charakteristische Gleichung eine Doppellösung hat, kommt beim C2 ein x angehängt. Dies ist abhängig von der Diskriminante und ist allgemein gültig. OK? ;-) LG lernflix. Danke auch für dein ABO

[@k.ronaldo]

@@lernflix hab ich danach auch geblickt, hab in die Formelsammlung vom prof geschaut und es dann verstanden :) danke für die schnelle Antwort und tolle Videos!

[@groapexds3333]

Danke!!

[@lernflix]

Bitte, sehr gerne 😃

[@bluluke]

Danke

[@lernflix]

Bitte, sehr gerne. LG lernflix 😄

[@furkankaragoz9644]

Bei c2 wurde ja mit x multipliziert. Ist das immer mit x oder bei welchem fällen muss man bsp. Mit 2x, 3x etc. multiplizieren?

[@lernflix]

Danke für deine Frage. Bei einer Doppellösung für Lambda ist diese Form vorgegeben. Wenn, so wie in dem Beispiel Lambda1=Lambda2, nimmst du diese Gleichung für den homogenen Lösungsansatz OK?😃 LG lernflix Danke für dein ABO

[@u-jinhong8221]

Wie wäre es denn, wenn Lambda1 nicht = Lambda2 wäre?

[@lernflix]

Hey, Danke für deine Frage. Schau mal hier vorbei: kzbin.info/www/bejne/fpOrmXuGbsmio7s oder kzbin.info/www/bejne/iV6WoJV-Zp6FetE LG lernflix Danke für dein ABO 😁