Длина параболы и спирали Архимеда: что у них общего?

В этом видео получим формулы для длины дуги кривой, заданной в параметрическом и в явном виде, а так же в полярной системе координат. А для примера найдем длину параболы и спирали Архимеда и выясним что у них вообще может быть общего и получим несколько интересных свойств.
В этом видео найден интеграл с корнем: • А как бы вы находили э...
Здесь подробнее про полярную систему координат и нахождение площади глаз гипножабы: • Глаза гипножабы и площ...
А здесь ещё подробнее про площадь в полярной системе координат на примере пересечения двух эллипсов: • Площадь пересечения эл...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
регулярная поддержка: boosty.to/hmath

[@AlexeyEvpalov]

Всё подробно с наглядными иллюстрациями. Спасибо за познавательную лекцию.

[@ВиталийМихневич-с8р]

спасибо за канал, закончил вычмате почти 12 лет назад, но не работаю по специальности, получаю огромное удовольствие от просмотра ваших роликов.

[@igorsoftvariant]

Второй раз посмотрел, показалось ещё интереснее. Вообще канал отличный, таких больше нет

[@тво1папа]

Кайф, спасибо большое за уравнение длинны кривой

[@HerrHoldem]

Большое спасибо за видео! Факт действительно занимательный. У вас талант к повествованию: я сначала думал пропустить часть с выведением формул (так как и сам это знаю), но интерес к вашему рассказу не позволил мне это сделать. Желаю вам успехов, видео очень крутые!

[@Hmath]

спасибо за отзыв! рад, что понравилось!

[@KalininEvgen]

Ну я человек простой: вижу новое видео -- ставлю лайк! 3:35 то чувство, когда по сути выводишь формулу длины траектории через время и скорость)) А вообще видео очень интересное! Даже со своим уровнем знания удивляюсь тому, что можно усмотреть в, казалось бы, простых вещах)

[@vadimgerasimenko4904]

Досмотрел "до этого момента". Понравилось) Спасибо за ваш труд

[@215_4]

Поступил на первый курс. Ролики стал смотреть с ещё большим интересом, спасибо Вам!

[@VSU_vitebsk]

хорошая занимательная лекция! Отдельный плюс за наглядность

[@arts5852]

Вы не перестаёте меня удивлять. Я только недавно познакомился с Вашим каналом, но уже успел понять, что у Вас очень качественные видео. Мне очень нравится, что Вы детально разъясняете каждое действие и подаёте все с доказательствами. К тому же темы Ваших видео безумно интересные и в полной мере демонстрируют насколько красивой может быть математика. Я очень благодарен Вам за Ваш труд 👍

[@vladmar3159]

Интересно девки пляшут, я о таком даже не подозревал. Спасибо за видео.

[@Vitechka22]

Огонь !

[@nikko2505]

Больше таких видео плииз

[@SHIZ584]

Спасибо!

[@nazimavaleeva3752]

Завтра досмотрю, спасибо все очень хорошо объяснили

[@aastapchik8991]

Красиво, спасибо

[@kvach9403]

Те самые математические штучки, которые вылезают тут и там. И всегда говоришь себе, ну точно запомню, а потом, когда встретится, я сразу их пущу в ход. Но опыт говорит, что через три дня ужже пусто )) Да я сумму синусов через матрицу поворота или через умножение комплексных чисел каждый раз вспоминаю. ))

[@kvach9403]

Длина дуги постоянного радиуса r равна rdϕ. Изменение вектора равно dr. По теореме пифагора длина квадрата дуги кривой будет (dr)^2+(rdϕ)^2. Если взять квадратный корень и вынести дифференциал угла за скобку, то получится оно )) Каждый раз так высчитывать метрический тензор целиком - глаз выпадет )) Я лично в таких скобках по три раза лажану.

[@vintik1688]

Привет. Сейчас в вузе проходим конические сечения (кривые второго порядка), если есть возможность - можешь в следующих видео рассказать о них (общее уравнение в плоскости, в которой лежат, то есть его вывод из того факта, что это сечение конуса; эксцентриситет, диаметры и сопряжённые диаметры, директриса)

[@Hmath]

сейчас пока не планировал из этого раздела делать.

[@nurlybekmoldagaliev8920]

2:29 не забудьте что если выполнятся равенство ∆L=∆t для любого t, то длина дуги будет равна t(B)-t(A).

[@Serghey_83]

Знаете, как дорожники измеряют ширину дорожного полотна? Не линейкой а прокатывают колёсико с известной длиной окружности по заданному отрезку. Число оборотов умножаем на длину обода колёсика и получаем измеряемый отрезок или длину гладкой кривой, вдоль которой прокатываем колёсико.

[@andreiantonov7303]

9:06 ну как бы очевидно что это свойство не только параболы, а любой функции, у которой производная стремится к бесконечности с ростом x.

[@staf5496]

14:27 где-то этот интеграл попадался часто в матанализе

[@jabahuyaba]

Приятно вспомнить теорию перед задачей. Но разве нужно брать больше хорд? Не правильней ли будет сказать, что нужно уменьшать размер большей из хорд?

[@Hmath]

да, именно так в определении интеграла. но у меня ж тут не строгий вывод, а "набросок", для интуитивного понимания, я опустил эти моменты для краткости :) кого заинтересует, всегда найдет более строгие выводы в книгах.

[@aastapchik8991]

@@Hmath а разве это не одно и то же: количество хорд стремится к бесконечности, или длина наиболее длинной стремится к нулю?

[@Hmath]

ну не совсем, представьте, например, что сначала взяли хорду на половину дуги, а на 2ой половине взяли бесконечное число хорд - тогда все вместе тоже будет бесконечное число хорд, но явно же что-то не то :)

[@fskvirelloff4012]

можно вообще обойтись без хорд, взять курвиметр

[@fskvirelloff4012]

можно вообще обойтись без хорд, взять курвиметр

[@postelb8046]

Знаю не по теме. Но возник давно вопрос, по которому нигде не нашел информации, хоть и вопрос может быть далеко глупый: как вообще доказано что первообразная это "антипроизводная", как так совпало вообще..?

[@Sensibler2019]

"Антипроизводная" и "первообразная" - это просто разные обозначения одного и того же понятия: первообразная - такая функция, производная которой на всей области определения равна заданной

[@vintik1688]

По определению, не более. Функция F является первообразной функции f, если производная F - это функция f. Иными словами: если мы возьмём функцию, как-то вычислим первообразную (интеграл), затем от неё возьмём производную, то получим нашу же функцию. На основе этого определения выводятся формулы интегралов некоторых функций (просто перевернутые формулы производных), подобным образом выводятся и методы интегрирования (посмотри про "Замена переменной в интеграле" и "Метод интегрирования по частям", если интересно в этом разобраться). А потом доказали, что площадь под графиком функции - это и есть разность значений первообразной на данном промежутке. Есть формальное доказательство, но я люблю приводить достаточо простое: Пусть у нас есть функция y=f(x) Значение производной в точке = Δy / Δx (по определению). Рассмотрим маленький примежуток Δx -> 0 и назовём его dx. Тогда на всём промежутке (потому что он очень маленький) значение производной - dy / dx, а площадь под графиком на этом кусочке: dx * (dy / dx) = dy, потому что dx - ширина, dy / dx - высота этого кусочка (считаем как площадь прямоугольника). Тогда остаётся лишь Δy. Таким образом "площадь под производной" - это "игрек в конечной точке минус игрек в начальной точке". Чтобы найти площадь под нашей функцией нам всего лишь необходимо найти такую функцию, чтобы наша была её производной (как раз таки то, что ты и спрашиваешь, найти первообразную), а затем посчитать F(b) - F(a). И вот как раз это свойство (что площадь - это интеграл) можно расширять, вот показанным автором методом можно находить длину кривой и т. д.

[@Hmath]

это определение первообразной. как оно может быть "доказано"? :) это просто то, что означает само слово "первообразная". т.е это как справшивать: "почему кошка называется кошкой?" да просто потому, что так решили называть и всё :)

[@postelb8046]

@@vintik1688 да спасибо, то что нужно было. Перед вопросом стоило погуглить доказательство формулы Ньютона-Лейбница, извиняюсь(

[@fskvirelloff4012]

Первообразная, функция и производная это по сути тоже, что бабушка, мама и дочка. Мама - функция. От кого она произошла ? От бабушки - от первообразной. От неё кто произошёл - дочка, производная. А если дочка рано родит, то будет производная второго порядка.

[@fskvirelloff4012]

пришлось тут как-то решать обратную задачу. Есть лента некоего материала, известной толщины. Эта лента плотно наматывается на вал известного диаметра. Вопрос : какого диаметра будет получившийся рулон ? То есть, то что лента сворачивается в спираль я понял сразу. Дальше я подумал, что длины витков этой спирали образуют прогрессию... короче и так и этак, ничего не получается. Точный ответ от меня не требовался, чай не в америку стрелять, обошлись приближенно, плюс-минус наугад. А вот после этого видео, вспомнил тот эпизод и задумался...

[@АлександрПихта-й4н]

возьмём бесконечное число хорд....или курвиметр :))

[@glukozavr_rex]

А верно ли, что длина ветви параболы приблизительно равна значению функции, графиком которой является эта парабола, не только для функции y=x^2/2 но и для произвольной квадратичрой функции?

[@Hmath]

я тогда сначала сделал видео, а уже потом подумал, что это довольно очевидное замечание относится вообще ко многим функциям :) вот там под интегралом для длины корень из (1+(y')^2) если y'>>1 (намного больше 1), то корень из (1+(y')^2) примерно равен y' (отбросил 1 под корнем), а значит интеграл (и значит длина) от y' равен y. т.е чем больше производная функции по сравнению с 1, тем точнее будет приближенное равенство длины кривой значению функции. Да это из графика функции понятно :) Если функции быстро растет, то график у нее в большом масштабе становится все более "параллельным" оси OY, а значит в длину бОльший вклад вносит именно изменение y, а не х :) Так что "свойство" получилось довольно банальным :)

[@glukozavr_rex]

@@Hmath понял, спасибо

[@leonb1362]

Про площадь поверхности сделайте аналогичное видео..

[@Hmath]

c площадью поверхности есть разные видео: 1) площадь поверхности вращения: kzbin.info/www/bejne/bYO8gHSrj75onc0 2) более общий пример на площадь поверхности: kzbin.info/www/bejne/n2S9ZIOwg9-Mn8k 3) более простой пример с площадью части сферы внутри цилиндра: kzbin.info/www/bejne/pGipgXyjhtupr7M

[@leonb1362]

@@Hmath В тех видео, насколько я помню, Вы используете готовые формулы. Может быть, как-нибудь, если получится, расскажете про вывод этих формул (или частного случая для прямоугольной системы координат)... Просто предложение....)) З.Ы. Про третий том Фихтенгольца я знаю. Хотел услышать от Вас.

[@TheCktulhu]

ну в общем то логично, что при больших Х ветвь параболы начинает походить на прямую

[@Hmath]

да, я сначала сделал видео и выложил, а потом уже подумал, что этот результат можно обобщить на довольно произвольную функцию :) Но, как видите, только через почти 2 года кто-то мне такой комментарий написал :)

[@nazimavaleeva3752]

Может быть не надо выводить формулу, а сразу использовать

[@viktor-kolyadenko]

Правило Лопиталя не нужно, там ответ очевиден.

[@ТретьяВолна-э8ъ]

нужна новая формула более легкая и простая. и которая дает 100% верный ответ!)))) а то заказать 25000метров кабеля или 26000 разница большая))) по денюшке много выходит))) и спустя время действительно))) что б очень верно посчитать оказалось что создать более легку формулу очень просто) ее даже пастух увидит) любая линия это длина на плоскости . а длина на плоскости рисуется за время))) а значит каждый следующий виток будет занимать на % больше времени.) а с какой скоростью рисуется линия и первый виток мы знаем) тоесть если совсем просто то выходит так... первый виток мы рисуем за 6 секунд со скоростью 5 мм в секунду) все просто))) и число пи не надо)))) а главное настолько точно что время не обманишь) ты можешь рисовать и еще медленьее а значит и следующий виток будет иметь такуюже длину только ты его будешь еще медленьее рисовать) ну кто знает тот поймет)))

[@Serghey_83]

ln(a+√(a²+1)) = ash(a) Длинный логарифм есть ничто иное как арэасинус гипербооический от а

[@АлексейСливницин-щ3к]

Ммм криволинейные

[@SerialDestignationSSS]

Как получить криволинейку: Деформируйте линейку на некоторый угол альфа..