EA Niedersachsen Mathe Abi 2023 Block 1c Analysis Hängebrücke

Detaillierte Lösungen und Erklärungen zur Mathematik Abitur Klausur Niedersachsen 2023 erhöhtes Anforderungsniveau Analysis Hängebrücke hier e-Funktionen Symmetrie Nullstellen Ableitungen Tangente Normale Abstand Fläche

[@gelbkehlchen]

Lösung: a) Bei der Nullstelle der Funktion r(x) = 2,53*{e^[1/11*(32-x)]-1} ist das rechte Abspannseil auf Fahrbahnhöhe befestigt. Also muss ich die Nullstelle xN der Funktion r(x) = 2,53*{e^[1/11*(32-x)]-1} finden: 2,53*{e^[1/11*(32-xN)]-1} = 0 |/2,53 ⟹ e^[1/11*(32-xN)]-1 = 0 |+1 ⟹ e^[1/11*(32-xN)] = 1 |ln() ⟹ 1/11*(32-xN) = 0 |*11 ⟹ 32-xN = 0 |+xN ⟹ xN = 32 ⟹ Da 1 Längeneinheit = 10 m, ist das rechte Abspannseil bei 320 m befestigt, durch die Symmetrie auf der linken Seite bei -320 m. Dadurch ist die ganze Brücke 2*320 m = 640 m. b) Durch die Achsensymmetrie gilt: l(x) = r(-x) = 2,53*{e^[1/11*(32-(-x))]-1} = 2,53*{e^[1/11*(32+x)]-1} Für den Definitionsbereich des rechten Abspannseils r(x) = 2,53*{e^[1/11*(32-x)]-1} gilt: 20 ≤ r(x) ≤ 32 Für den Definitionsbereich des linken Abspannseils l(x) = 2,53*{e^[1/11*(32+x)]-1} gilt entsprechend der Symmetrie: -32 ≤ l(x) ≤ -20 c) Die Länge eines Pfeilers berechnet sich dadurch, in dem ich 20 in die Funktion r(x) = 2,53*{e^[1/11*(32-x)]-1} einsetze: r(20) = 2,53*{e^[1/11*(32-20)]-1} = 2,53*{e^[12/11]-1} ≈ 5,0018 Das sind 50,018 m. d) Die Ableitung von r(x) = 2,53*{e^[1/11*(32-x)]-1} an der Stelle 20 gibt die Steigung an dieser Stelle an, und mit der Steigung kann man den Winkel berechnen. r’(x) = -2,53*1/11*e^[1/11*(32-x)] r’(20) = -2,53*1/11*e^[1/11*(32-20)] = -2,53/11*e^(12/11) ≈ -0,6847 Der Winkel ist dann: arctan(-0,6847) ≈ -34,3996° Gegenüber der Horizontalen, es ist ein negativer Winkel, und muss also 34,3996° gegenüber der Horizontalen nach unten gedreht werden. e) Die gesamte Fläche ist das Integral der Funktion r(x) = 2,53*{e^[1/11*(32-x)]-1} von 20 bis 32. Zunächst das unbestimmte Integral: ∫2,53*{e^[1/11*(32-x)]-1}*dx = 2,53*∫e^[1/11*(32-x)]*dx-2,53*∫dx ----------------- Substitution für ∫e^[1/11*(32-x)]*dx: u = 1/11*(32-x) du/dx = -1/11 dx = -11*du Damit ist: ∫e^[1/11*(32-x)]*dx = -11*∫e^u*du = -11*e^u+C = -11*e^[1/11*(32-x)]+C --------------- Und das ganze, unbestimmte Integral: 2,53*∫e^[1/11*(32-x)]*dx-2,53*∫dx = -2,53*11*e^[1/11*(32-x)]+K-2,53*x Nun das bestimmte Integral: 32 32 ∫2,53*{e^[1/11*(32-x)]-1}*dx = [-2,53*11*e^[1/11*(32-x)]-2,53*x] 20 20 = -2,53*11*e^[1/11*(32-32)]-2,53*32-[-2,53*11*e^[1/11*(32-20)]-2,53*20] = -2,53*11-2,53*32+2,53*11*e^[12/11]+2,53*20 = 2,53*[11*e^(12/11)+20-32-11] = 2,53*[11*e^(12/11)-23] ≈ 24,6593 Die Hälfte der Fläche ist dann: 2,53/2*[11*e^(12/11)-23] ≈ 12.3296653939925117 Diese Hälfte soll dann bei einer noch zu bestimmenden oberen Grenze a erreicht sein: 2,53/2*[11*e^(12/11)-23] = a a ∫2,53*{e^[1/11*(32-x)]-1}*dx = [-2,53*11*e^[1/11*(32-x)]-2,53*x] 20 20 = -2,53*11*e^[1/11*(32-a)]-2,53*a-[-2,53*11*e^[1/11*(32-20)]-2,53*20] = -2,53*11*e^[32/11-a/11]-2,53*a+2,53*11*e^(12/11)+2,53*20 |*2/2,53 ⟹ 11*e^(12/11)-23 = -22*e^[32/11-a/11]-2a+22*e^(12/11)+40 |-22*e^(12/11)-40 ⟹ -11*e^(12/11)-63 = -22*e^[32/11-a/11]-2a |*e^(a/11) ⟹ [-11*e^(12/11)-63]*e^(a/11) = -22*e^(32/11)-2a*e^(a/11) |*(-1) ⟹ [11*e^(12/11)+63]*e^(a/11) = 22*e^(32/11)+2a*e^(a/11) |-2a*e^(a/11) ⟹ [11*e^(12/11)+63-2a]*e^(a/11) = 22*e^(32/11) |-22*e^(32/11) ⟹ [11*e^(12/11)+63-2a]*e^(a/11)-22*e^(32/11) = 0 | den guten Taschenrechner habe ich nicht, deswegen löse ich das mit GeoGebra, in dem ich die Nullstelle der Funktion y = [11*e^(12/11)+63-2x]*e^(x/11)-22*e^(32/11) suche: ⟹ Ich erhalte a ≈ 23,04. Der Abstand der vertikalen Begrenzung zum Pfeiler ist also: 23,04-20 = 3,04 = 30,4 m. f) Die Funktion s(x) = (1/8)^6*(x^4+2560*x²)+125/256 des mittleren Seils ist deswegen achsensymmetrisch, weil es nur gerade Exponenten bei der ganzrationalen Funktion des Seils gibt. g) Das ist die Summe aller Seillängen aller 24 Seile zusammen. h) Die Koordinaten von Q sind Q = (20;0). Der Punkt P auf dem Seil s(x) = (1/8)^6*(x^4+2560*x²)+125/256 mit den Koordinaten P = (xP;yP) sei der Punkt mit dem kürzestem Abstand zu Q. Die Steigung von P und die Gerade durch PQ stehen aufeinander senkrecht. D.h. die Steigung von P mal die Steigung der Geraden durch PQ muss -1 ergeben, also s’(xP)*yP/(xP-20) = -1: s’(x) = (1/8)^6*(4*x³+5120*x) yP/(xP-20) = [(1/8)^6*(xP^4+2560*xP²)+125/256]/(xP-20) ⟹ (1/8)^6*(4*xP³+5120*xP)*[(1/8)^6*(xP^4+2560*xP²)+125/256]/(xP-20) = -1 |*(xP-20)*8^6 ⟹ (4*xP³+5120*xP)*[(1/8)^6*(xP^4+2560*xP²)+125/256] = (20-xP)*8^6 |-(20-xP)*8^6 ⟹ (4*xP³+5120*xP)*[(1/8)^6*(xP^4+2560*xP²)+125/256]-(20-xP)*8^6 = 0 |Lösung wieder mit Geogebra: Nullstelle der Funktion: y = (4*x³+5120*x)*[(1/8)^6*(x^4+2560*x²)+125/256]-(20-x)*8^6 ⟹ xP ≈ 18,16 ⟹ s(xP) = (1/8)^6*(18,16^4+2560*18,16²)+125/256 ≈ 4,12 Der Abstand von Q = (20;0) zum Tragseil ist also: √[(20-18,16)²+(4,12-0)²] ≈ 4,51 = 45,1 m i) Wegen der Achsensymmetrie gilt: s(-20) = s(20) = (1/8)^6*(20^4+2560*20²)+125/256 ≈ 5,0049 ≈ r(20) = l(20) s(0) = (1/8)^6*(0^4+2560*0²)+125/256 = 125/256 Demnach ist: A = (-20;5), B = (20;5), C = (0;125/256), AC = CB = √[(20-0)²+(5-125/256)²] = √[400+1155²/256²] = 1/256*√[400*256²+1155²] = 1/256*√27548425 Die Summe der Streckenlängen von A nach C und von C nach B ist dann: 1/128*√27548425 ≈ 41.0052 = 410,052 m. Das Seil hängt durch und ist keine direkte Verbindung von A nach C und von C nach B. Deswegen ist es naturgemäß länger.