Eigenvektoren von 3x3 Matrix am schnellsten berechnen + Algebraische & Geometrische Vielfachheit

Eigenvektoren einer Matrix sind die Vektoren, die bei der Multiplikation mit dieser Matrix ihre eigene Richtung beibehalten. Die Eigenwerte sind dabei die Skalierungsfaktoren. Wie du Eivenvektoren von einer 3x3 Matrix am schnellsten berechnen kannst und was es mit der algebraischen und der geometrischen Vielfachheit auf sich hat, erfährst du in diesem Video!
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Inhalt:
0:00 Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren?
0:21 Eigenwerte einer (nxn)-Matrix
1:35 Algebraische Vielfachheit & Geometrische Vielfachheit
5:36 Trick: Eigenvektoren über Kreuzprodukt (am Beispiel)
12:22 Beispiel 2
20:30 #WERBUNG
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.

[@MathePeter]

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[@henryhenryson2041]

Ich liebe dich

[@MrDjDeagel]

MathePeter schon Rückenschmerzen vom tragen aller Studenten? Es nervt bestimmt mit Daniel Jung verglichen zu werden, aber eure beiden Kanäle sind sooo wichtig und toll. Oft brauch man auch 2 verschiedene Ansätze/Erklärungen um es zu verstehen. Bin so froh dich auf KZbin gefunden zu haben. Super Arbeit und deine Playlisten finde ich sehr gut strukturiert. Habe dich unserem kompletten chemical engineering Semester empfohlen.

[@MathePeter]

Vielen Dank! Und ich finde es auch wichtig, dass es verschiedene Arten gibt etwas zu erklären. Damit kann man mehr Leute erreichen :)

[@teemo_fpv]

WOW so eine Erklärung bekommt man an der FH in 3 Wochen zu dem Thema nicht. Danke sehr Hilfreich!

[@Tom-pe7eq]

Mal eben in 20 Minuten mehr gelernt/verstanden, als in 2 Wochen Onlinevorlesung. Top Danke

[@flostoe345]

Eben deine Playlist zu linearer Algebra fertig angesehen und ich kann dir gar nicht genug danken. Deinetwegen bin ich dem Lernen so weit voraus und außerdem macht es auch richtig Spaß dir zuzusehen. Danke :)

[@ottowald949]

Dein Arbeit ist einfach, wie immer, TOP!

[@RlyBad]

Top erklärt mit vielen Fällen untermauert. Ich danke dir!

[@jeremymoser4139]

Danke du hast das so einfach erklärt. Habe mich während dem Semester die ganze Zeit gefragt was das genau sein sollte, weil unser Prof. das sehr theoretisch und mit Formeln definiert hat. Ich wünschte er hätte es erklärt wie du, danke viel mals

[@farahkisso8181]

ich bin immer sehr dankbar dass ich als ausländischer Student auf deine Videos jederzeit zugreifen kann. Einfach hochwertig in jeder Sicht!!

[@r.w178]

Super Video. Hab die Auffrischung wieder mal gebraucht!

[@benteyssen5720]

Perfekt erklärt, vielen Dank:)

[@xexcitingtv6138]

Du bist der beste, dank dir konnte ich meine HöMa 2 klausur bestehen 😍

[@Exabyde]

Stabil, danke

[@happysunset687]

Du bist echt nicht normal,❤️🤩. Ich liebe deine Videos / Deine Erklärungen. Wirklich top. Vielen Dank 😊😊🙏🙏👅

[@juliankahrs8258]

Passend zur Prüfung dieses Video:D

[@agentcoco8986]

Omg Mathepeter, ich liebe dich

[@Sarah-pu8un]

Peter du bist unser König

[@homonovus5497]

Bin echt überrascht du hast es geschaft mir dieses Thema beizubringen. ich hoffe klappt auch mit Vollständdige Induktion DAnke!!!

[@MathePeter]

Kriegen wir hin! Zur Not frag mich einfach, wenn was unklar ist :)

[@homonovus5497]

@@MathePeter Du bist der Hammer! Kompliment!!! :D

[@vahhowh2928]

Dankeschön

[@donaldinhoLP]

Freitag schreiben wir LA, vielen Dank

[@MathePeter]

Viel Erfolg!

[@njeussongchirissboquiniss1152]

👍👍👍👍👍👍danke sehr

[@LeChe8023]

merci beaucoup, toi tu es un Dieu !!

[@philippsukand5929]

Hi, vielen Dank deine Videos helfen immer sehr! Muss man das Vorzeichen des mittleren Elements immer ändern, nachdem man das Kreuzprodukt gebildet hat, oder gibt es da Außnahmen? Bei mir ist an der Stelle häufig das Vorzeichen vertauscht

[@MathePeter]

Ja, wenn du das Kreuzprodukt auf diese Weise bestimmen willst, also mit dem Zuhalten der Zeilen, dann musst du von der mittleren Zeile noch das Vorzeichen ändern.

[@philippsukand5929]

@@MathePeter Vielen Dank für die schnelle Antwort!! Ich habe das Kreuzprodukt anders ausgerechnet, daher die Fehler.

[@miloszklych3010]

Sehr gutes Video :) könntest du vielleicht ein Video zum Thema Jordan Normalform machen ? Das wäre sehr cool 😃

[@MathePeter]

Das kommt auf jeden Fall noch! Aber momentan bin ich komplett ausgelastet leider.

[@MI-ti9oc]

Ich bin sehr DANKBAR

[@justonedeveloper]

Super video, mit deiner playlist hol ich die zweite Hälfte von meiner LA1 auf. Eine Frage zu 20:10 : Wenn zwei Eigenvektoren entstehen, ist das in Ordnung die so separat aufzuschreiben, wenn doch da ein plus zwischen steht? Oder muss man zum separaten Aufschreiben wieder einen der Parameter in den Vektor reinziehen?

[@MathePeter]

Eigentlich müsste man die beiden einzeln aufschreiben. Aber der Eigenraum dieses Eigenwertes ist zwei dimensional und hat als Basis diese beiden Eigenvektoren. Da der Eigenraum ein Vektorraum ist, muss auch jegliche Linearkombination in diesem Raum liegen. Die Schreibweise soll also nur andeuten, dass wir damit jeden Vektor dieses Vektorraums erzeugen können. Streng genommen sind die beiden Vektoren einzeln aufgeschrieben gesucht gewesen; ohne Summe und Parameter.

[@olivsf7290]

super Video, vielen Dank! funktioniert der Trick auch mit Linkseigenvektoren? und wenn ja, wie? ich habe es allerdings dann mit den Spalten statt Zeilen versuchen, richtig? danke vorab (:

[@MathePeter]

Da die Linkseigenvektoren von A gleich den "normalen" Rechtseigenvektoren von A^T entsprechen, sollte das stimmen :)

[@salehzakaria7822]

Danke Peter für den mega Content :D. Kurze Frage: in 9:39 hast du nicht mit t multipliziert ( t gehört zu R \ {0} ), was du sonst in einem anderen Video zu Eigenvektoren immer gemacht hast. War das dort nicht nötig?

[@MathePeter]

Vielen Dank!! Man kann mit t multiplizieren, um anzudeuten, dass auch das Vielfache Eigenvektor bleibt (außer das Null fache!). Am Ende ist allerdings nur die Richtung selbst entscheidend. Also ob man das t hinschreibt oder weglässt, spielt eigentlich keine wirkliche Rolle.

[@christophvierthalerbambi4527]

Hallo! :) Bitte eine Frage bei Nummer 1. Was ist wenn man nur im Reellen Zahlenraum ist? Ist dann das algebraische Vielfache von Lamba1 eins oder drei? Da das Polynom ja x^3 wäre und nur eine Lösung hätte. Vielen Dank! :)

[@MathePeter]

Die Algebraische Vielfachheit von lambda1=1 bleibt eins, die verändert sich nicht.

[@christophvierthalerbambi4527]

@@MathePeter vielen Dank für die rasche Hilfe! Lg Christoph

[@dzenishadzic1632]

Gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten zu Eigenvektoren oder gibt es pro Eigenwert nur 1 bestimmten Eigenvektor ?

[@MathePeter]

Es gibt maximal so viele Eigenvektoren wie der Eigenwert vorkommt. Wenn es mehrere Eigenvektoren zu einem Eigenwert gibt, dann ist jede Linearkombination dieser Eigenvektoren wieder ein Eigenvektor.

[@SvenKubitzMedia]

Wenn ich den Trick mit dem Vorzeichen ändern am Kreuzprodukt anwende, wie schreibe ich das dann in der Klausur mathematisch korrekt hin? Das Kreuzprodukt ist ja schließlich nur richtig ohne die Vorzeichenänderung der 2. Komponente

[@MathePeter]

Wie du das am besten aufschreibst frag noch mal eure Dozenten. Die Berechnung des Kreuzprodukts ist genau so richtig. Die Vorzeichenänderung muss kommen, sonst ist das Ergebnis falsch. Wenn dir der Trick aber nicht gefällt, kannst du das Kreuzprodukt auch auf eine andere Weise berechnen, bei der du auf keine Vorzeichenänderung achten musst.

[@dzenishadzic1632]

Könntest du ein Video mach über das exponential einer Matrix ?

[@MathePeter]

Klar mach ich alles noch :)

[@svenmartin1489]

Wieder mal tolles Video! Nun komm ich mal wieder mit na doofen Frage. Ich habe die erst Matrix mit den 2 komplexen Eigenwerten einmal durchgerechnet. Dann kommt man ja z.B. mit pq-Formel auf diese komplexen Werte. Und am Ende wieder eine komplette Nullzeile. Nun meine Frage : Ich habe dann beim Vektor z =1 anstatt x=1 . Ist das egal oder nicht?

[@MathePeter]

Der Eigenvektor kann auch eine andere Gestalt haben. Um zu prüfen, ob es wirklich ein Eigenvektor ist, kannst du ihn ja mal an die Matrix multiplizieren. Der Vektor behält dabei seine Richtung. Den Eigenvektor mit der Matrix zu multiplizieren ergibt das selbe wie den Eigenvektor mit dem zugehörigen Eigenwert zu multiplizieren.

[@svenmartin1489]

@@MathePeter Mit dem Nobelpreis wirds wohl nix mehr bei mir :-D . Du hast mein höchsten Respekt dafür, wie du den jungen Leuten, und in meinen Fall auch älteren Leuten, die Grundlagen der Mathematik in verständlicher Art und Weise erklärst. Guter Mann!!!!

[@dzenishadzic1632]

Nehmen wir mal an ich hätte als Eigenwert = x1 = -1....müsste ich es dann sozusagen auf die Hauptdiagonale dazu addieren weil - - = + ???

[@MathePeter]

Genau, wenn man "-1" abzieht, heißt das eine "1" auf zu addieren.

[@fascistsenju1346]

Also ist es egal ob man die 2. Zeile x 3. Zeile macht oder 3. Zeile x 2. Zeile, da so nur das Ergebnis um x(-1) verändert wird?

[@MathePeter]

Richtig!

[@pab7]

Ich habe eine Frage zur geometrischen Vielfachheit von lambda2 aus dem ersten Rechenbeispiel. Geometrische Vielfachheit ist doch gleich algebraischer Vielfachheit, welche hier ja zwei ist. Warum funktioniert hier dann der Trick mit dem Kreuzprodukt, aber im nächsten Beispiel nicht? Woran erkenne ich dann, wann ich das Kreuzprodukt anwenden soll und wann das mit den Parametern, ohne Zeit fürs Probieren zu verlieren? LG

[@MathePeter]

Mit dem Kreuzprodukt Trick kannst du ja nur einen Vektor bestimmen und nicht zwei, Wenn also die algebraische Vielfachheit gleich 2 ist (doppelter Eigenwert) und auch die geometrische Vielfachheit gleich 2 ist (Anzahl der Eigenvektoren), dann heißt das ja bei einer 3x3 Matrix, dass alle 3 Zeilen/Spalten linear abhängig sein müssen. Das siehst du sofort, wie sie dann alle Vielfache sein müssen und sich 2 Nullzeilen erzeugen lassen. In diesem Spezialfall ist es mit Gauß am einfachsten, weil du nur zwei der drei Variablen zu Parametern setzen musst und nach dem verbleibenden umstellen musst.

[@derd9270]

Ist beim 2. Beispiel von 3 nicht auch (1,0,1)T ein möglicher EV?

[@MathePeter]

Nein, (1,0,1) ist kein Eigenvektor. Das kannst du überprüfen, indem du den Vektor mit der Matrix multiplizierst und erkennst, dass da kein Vielfaches des Eigenvektors rauskommt. Wieso denkst du, dass der auch einer sein sollte?

[@derd9270]

@@MathePeter ähh aber wenn ich die matrix mit dem vektor multipliziere kommt doch eben schon der Eigenvektor wieder raus ( 1 1 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 1 0 ) * ( 0 ) = ( 0 ) ( 0 0 1 ) ( 1 ) ( 1 ) Vielen Dank für deine ständige Hilfe❤ ich hab leider einen ziemlich schlechten Lehrer, der zu viel von sich hält

[@MathePeter]

Kein Problem, ich helfe gern :) Achso du meinst die Matrix ganz am Anfang! Ja stimmt, bei der ist auch (1,0,1) ein Eigenvektor. Das liegt daran, dass der Eigenwert 1 die beiden Eigenvektoren (1,0,0) und (0,0,1) hat. Da sie beide zum selben Eigenwert gehören, ist auch jede reelle Linearkombination ein Eigenvektor, z.B. die Summe der beiden. Genauso ist dann z.B. auch (1,0,2) ein Eigenvektor.

[@Junior-uz1rd]

woran macht man jetzt fest ob ein doppelter eigenwert einen oder zwei eigenvektoren hat?

[@MathePeter]

Anzahl Eigenvektoren = Anzahl Nullzeilen (am Ende vom Gauß-Tableau)

[@updatedotexe]

Lecker~

[@astridburckhardt6161]

Ich habe versucht die Eigenvektoren nach deiner genialen Methode zu bestimmen. 3x3 Matrix mit (teilenweise geschrieben) 1 2 1/0 3 0/-1 1 1. Eigenwerte sind 3,1+i,1-i. Für den rellen Wert passt alles. Wir dei konjugiert komplexen Werte erhalte ich: -2+i,0,-2i-1 Wolfram alpha sagt -i,0,1 Das kann ich auch durch rechnen mit der Treppenstufenform verifizieren. Was mache ich falsch ???

[@MathePeter]

Beides sind richtige Antworten, du hast nichts falsch gemacht. Das Vielfache eines Eigenvektors bleibt ein Eigenvektor; er spannt weiterhin den selben Vektorraum auf. Mit welcher komplexen Zahl musst du denn den einen Vektor multiplizieren, damit der andere Vektor raus kommt?

[@basi21]

heißt geom. VF dann so viel wie "wie viele lin. unabh. eigenvektoren haben wir?"?

[@MathePeter]

Ja genau. Und algebraische VF ist dann sowas wie "wie viele lin. unabh. eigenvekvoren könnten wir maximal haben".

[@kevingilke4589]

Sehr gutes Video, ich komme immer wieder gerne zurück. Nun stehe ich aber vor dem Problem, dass ich zwei gleiche Eigenwerte habe für meine symmetrische Matrix. Dass es zwei Eigenvektoren gibt zu meinem doppelten EW weiß ich ja durch die doppelte 0-Zeile nach dem Gauß-Verfahren bei Lambda_1,2. Jedoch weiß ich jetzt nicht wie man die Rechnung für den zweiten Eigenwert macht, kannst du da einmal kurz helfen? 10,0,0 0 0 1 M=(0,6,-4) --> Eigenwerte sind 10, 10, 2. Nun habe ich die EV zu Lambda_3: (1) und bis jetzt zu Lambda_1,2: (-1). Laut Wolfram Alpha ist der andere EV zu EW=10 bei (0). Danke schonmal :) 0,-4,6 1 1 0

[@MathePeter]

Kannst du die Matrix noch mal richtig aufschreiben? Ich kanns leider nicht identifizieren. Schreibs einfach so auf, wie du es bei Wolfram Alpha eingibst. Grundsätzlich gibts aber einen Trick. Wenn die Matrix symmetrisch ist, sind die Eigenvektoren verschiedener Eigenwerte senkrecht zueinander. Das heißt im 3-dimensionalen kannst du jetzt einfach das Kreuzprodukt deiner beiden ausgerechneten Vektoren bilden, um auf den letzten zu kommen. Das Ergebnis kann sich höchstens in einem Faktor unterscheiden, was aber in Ordnung ist.

[@kevingilke4589]

Das wäre die Marix {{10,0,0},{0,6,-4},{0,-4,6}}. Die dazu gehörigen Eigenwerte sind 2, 10 und 10. Zu dem EW 2 haben ich den Eigenvektor {0,1,1}, zu dem EW 10 den EV {0,-1,1}. Zu der letzten 10 soll nun der EV {1,0,0} korrekt sein bzw. ein Vielfaches davon. Mit deinem Tipp das Kreuzprodukt zu bilden, komme ich auch auf ein richtiges Ergebnis, danke dir :). @@MathePeter

[@MathePeter]

Wenn du auf der Hauptdiagonale 10 abziehst und das homogene LGS mit Gauß löst, entstehen ja sofort 2 Nullzeilen nach dem ersten Schritt. Das heißt du bekommst sofort auch zwei Eigenvektoren dazu raus.

[@Zanzuibarth]

Was bedeutet es, wenn meine 3x3 Matrix 4 Eigenvektoren besitzt. Habe ich die Mathematik kaputt gemacht? ^^ Bsp.: Matrix (A) mit Zeile 1: 3 -1 1 Zeile 2: -2 2 2 Zeile3: 0 0 4. Als Eigenwerte habe ich Lambda 1= 3 Lambda 2= 2 Lambda 3= 4 Das ergibt für die Matrix A-Lambda3: Z1=-1-11 Z2=-2-22 Z3=000. Nach Anwendung des Gauß Algorithmus habe ich Z2&Z3 gestrichen. Zur Strafe wurden x_2=s & x_3=t. Für Z1 gilt: -x_1-s+t=0. Es folgt x_1=-s+t. Damit ist der EV= Z1: -s+t Z2:s Z3:t. Ziehe ich diese nun auseinander ergibt sich: EV= s*(-1,1,0) + t*(101). Womit ich 4 EV's erhielte. Ist das so legitim? btw ist schonmal was beim Stift wegwerfen zu Bruch gegangen? :D

[@MathePeter]

Die Eigenwerte deiner Matrix sind 1, 4 und noch mal 4. Der Eigenvektor zur 1 ist (1,2,0) und die Eigenvektoren zur 4 sind (-1,1,0) und (1,0,1).

[@Zanzuibarth]

@@MathePeter danke für die Rückmeldung das werde ich nochmal prüfen.

[@lorenzdirom1884]

Daniel Jung, Lehrerschmidt, Mathe Fuchs sind Goat… aber du bist Goat auf Goats 😢

[@muhammedyucel3852]

Mathe Peter>>>>> currently

[@muhsint.3961]

Ich küsse deine augen

[@thickypiggy3611]

Just marry me

[@g.t.a3739]

Nach dem Kreuzprodukt hast du reingeschissen! So viel zu „Einfach“

[@MathePeter]

Kannst auch den regulären Weg nehmen, dauert nur absurd viel länger 😂