Esercizi d'esame svolti - ANALISI 1: limite con sviluppo in serie di Taylor (Ep. 1)

ANALISI UNO - ESERCIZI D'ESAME SVOLTI
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LIMITI SVOLTI CON SVILUPPO IN SERIE DI TAYLOR
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[@matematicafisicarapidamente]

LIMITE PARAMETRICO CON SVILUPPO IN SERIE DI TAYLOR kzbin.info/www/bejne/fXusfmaXl8p0nLM LIMITE CON SVILUPPO IN SERIE DI TAYLOR #2 kzbin.info/www/bejne/oKizdYCffK2onLc&lc=UgwYwnEOVgDQtj2vkiR4AaABAg ANALISI UNO - ESERCIZI D'ESAME SVOLTI kzbin.info/www/bejne/nn6ToXyCqLyFZpo&pp=gAQBiAQB

[@Blanchito]

La domanda che fanno tutti credo... come fai a capire al volo a quale termine dello sviluppo fermarti? prima 3, poi 4, poi 2... 😣

[@matematicafisicarapidamente]

Dubbio che in effetti avevo anch'io quando stavo imparando questa tecnica risolutiva :D Allora, cerco di essere il più chiaro possibile, ma non è facile in un commento.. Innanzitutto, usiamo lo sviluppo in serie di Taylor quando un limite presenta una forma indeterminata (f.i., d'ora in poi); l'idea è quindi quella di usare il minor numero di termini dello sviluppo in serie tali però da permetterci di aggirare il problema. Mi spiego con qualche esempio: se abbiamo lim, per x che tende a 0 (sempre così d'ora in poi), di (sen x) / x e volessimo usare lo sviluppo in serie vediamo che già fermarsi al primo termine è più che sufficiente, dato che otteniamo lim (x+o(x))/x che, dopo aver diviso per x num e denom, non è più una f.i. ma ci dà lim (1+(o(x)/x))/1 che dà come risultato 1. Se però avessimo lim (1-cos x)/(x^2) vediamo che fermarci al primo termine non ci aiuta, dato che avremmo lim (1-(1+o(1)))/(x^2) che rimane una f.i; allora prendiamo un termine in più: (1-(1-(x^2/2!)+o(x^2)))/(x^2): i due 1 si semplificano ancora, ma questa volta ci rimane (x^2/2!)+o(x^2)))/(x^2) e, dividendo come nel precedente esempio (questa volta per x^2) num e denom, ci porta al risultato, ossia 1/2 Quindi non c'è una regola, dipende caso per caso, però in linea di massima di solito fermarsi al primo termine non basta e bisogna prenderne 2 o 3. Negli es più semplici, con un po' di esperienza si riesce abbastanza in fretta a capire quando fermarsi; in quelli da esame è già più normale provare con n termini per poi accorgersi che non si va da nessuna parte, dovendo quindi tornare indietro provando con un ulteriore termine in più (se va bene :P).

[@eros5610]

Ciao, in merito al fatto di trovare un o piccolo di qualche x alla n é sempre valida quella “formula” Cioé di dividere per x alla n?E poi come fai a capire che l’o piccolo di x alla n é in particolare di n=4?

[@matematicafisicarapidamente]

La "formula" non è altro che l'applicazione della definizione di o-piccolo. Poiché si dimostra che quel termine "fastidioso" è un o-piccolo di x^n (per ogni n appartenente ad N) , alla fine scelgo n=4 perché è un valore comodo. Infatti, se avessi scelto n

[@sebastianozanaica4151]

ciao scusami ma non capisco come il limite di cos(lnx)/x^n ecctera faccia 0 per ogni n. la mia idea é che bisogna usare il fatto che infinitesima per limitata é uguale a zero, perché il coseno é limitato ma in questo caso non ha limite. ma al denominatore non capisco come si debba procedere. grazie!

[@matematicafisicarapidamente]

Chiamiamo N/D la nostra funzione di cui vogliamo trovare il limite. Come dici tu, il numeratore N oscilla tra -1 e 1, quindi possiamo maggiorate e minorare la funzione con le funzioni -1/D e 1/D. Queste nuove funzioni che abbiamo definito tendono entrambe a +infinito per x che tende a 0+ (lo puoi vedere applicando De l'Hôpital al caso in cui n=1; anlogamente lo puoi fare negli altri casi, ma è più lungo...). Applicando quindi il teorema dei carabinieri abbiamo che la nostra funzione di partenza tende a 0 come le funzioni che la minorano e la maggiorano

[@danesposito3020]

Perché quel prodotto non si può sviluppare?

[@matematicafisicarapidamente]

Detto terra-terra, perché ha un problema in x=0

[@danesposito3020]

Perché non tende a 0?​@@matematicafisicarapidamente

[@matematicafisicarapidamente]

@@danesposito3020 Perché la funzione non è definita in x=0