Limiti di Funzioni con Taylor [ESERCIZI 1]

Ciao ragazzi, in questo video impareremo come applicare Taylor ai Limiti di Funzioni!
Nel video ho risolto qualche Limite, spero vi sia d'aiuto. =)
Successivamente arriveranno altri video (anche un pochino più difficili) sempre sui Limiti, sia di Funzioni che di Successioni.
Spero che il video vi sia stato d' aiuto, se così è stato, mettete un bel Like e Iscrivetevi al canale! =)
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[@lzh00]

Finalmente un video che mi fa capire a che ordine fermarsi con le serie di Taylor, grazie di tutto!

[@ele1751]

Vorrei ringraziarti all'infinito perché ci sto finalmente capendo qualcosa con questi benedetti limiti con Taylor... Grazie mille!!! :)

[@TheMasterizzatore]

grazie tante, la cosa che non riuscivo a capire era a che benedetto grado fermarsi! grazie mille ancora

[@francescocervo3478]

Ti amo, mi hai salvato Analisi 1 ❤️❤️❤️❤️

[@marcozignani9261]

Il grado dominante!!! Adesso ho capito :) grazie

[@elisabilone1065]

Grazie mille!!

[@NovenoveBreaker]

sei un grande

[@lucagherardi9781]

Nel secondo esercizio,quello che dovrebbe risultare (-1) , bisogna sviluppare fino al 3° o 2° ordine?

[@fabiogreco4907]

Grazie❤️🙏

[@Lupo-wx3fs]

ottimo mi trovo con i segni opposti ahahaha

[@SimoRagnar3999]

Per il secondo esercizio, al denominatore, si può anche considerare il sin(-x) come asintoticamente equivalente a (-x) e quindi sostituirlo semplicemente con quest'ultimo senza ricorrere allo sviluppo del seno?

[@megamathn1258]

Certo puoi farlo, però devi essere sicuro che i sviluppi successivi siano trascurabili, perché se così non fosse giungeresti ad un risultato sbagliato. È consigliabile eseguire gli sviluppi e poi trascurare quelli non necessari (cioé quelli superiori a -x). Quindi in finale puoi farlo, ma con molta prudenza.

[@SimoRagnar3999]

@@megamathn1258 okok capito, grazie 😁

[@rookie8960]

Scusami ho una domanda urgente, sarei grato se mi rispondessi. Ma nel secondo limite per quale motivo nell'ultimo passaggio non hai preso a fattor comune come invece hai fatto nel primo limite? Nell'ultimo limite hai scritto direttamente 1 + opiccolo di 1. Non capisco il motivo. Grazie

[@megamathn1258]

Ciao, immagino ti riferisca al denominatore del secondo esercizio. La x^2 fuori moltiplica sia la x che l'o(x) e quindi, svolgendo tutti i passaggi sarebbe: -x^2(x+o(x))=-(x^3+o(x^3))=-x^3(1+o(1)) Spero che così ti sia più chiaro. Fammi sapere se ho risolto il tuo dubbio.

[@rookie8960]

@@megamathn1258 Ti ringrazio veramente tanto per la tempestiva risposta. Ok avevo dubbi anche sul denominatore ma adesso me li hai chiariti, ti ringrazio, però ho ancora un dubbio sul numeratore: come fa x^3/2 + o(x^3) a diventare (1 + o(1)). Hai preso a fattor comune x^3/2 immagino però come hai fatto a far diventare 1 ciò che sta all'interno dell'opiccolo? A questo punto mi viene da pensare che dentro all'opiccolo ci sia x^3/2, corretto? Credevo che dentro all'opiccolo ci potesse essere solamente la x^n del grado dominante. Non so se mi sono spiegato, quello che sto dicendo è che prendendo a fattor comune x^3/2, l'opiccolo (che vale x^3) diventerebbe 1/2 e non 1.

[@rookie8960]

@@megamathn1258 Avrei inoltre un'ultima domanda, nei casi in cui hai utilizzato taylor, c'era sempre un addizione tra le funzioni che trasformavi in polinomio. Ma nel caso in cui ci fosse una moltiplicazione tra le funzioni (per funzioni intendo le funzioni che possono essere sviluppate con taylor: senx, cosx, log(1+x) e così via) come dovrei comportarmi e quando dovrei fermarmi? Ad esempio sen2x · sen5x, ecco in questo caso come dovrei comportarmi? Siccome non c'è nessun termine che annulla il seno dovrei fermarmi in entrambi i casi al primo termine e dopo semplicemente moltiplicare i termini tra loro? Grazie

[@megamathn1258]

@@rookie8960 a rigore avresti ragione, tuttavia questo per un o piccolo è del tutto indifferente . L' o piccolo come penso sai ti dice che sotto quella x è tutto trascurabile e va a 0 (in questo caso o(x^3) ti dice che tutte le x con grado sopra x^3 sono trascurabili. Quindi dentro l'o piccolo c'é x^4,x^5 ecc. Se tu immagini di moltiplicare l'o piccolo per 1/2 vuol dire che moltiplichi quelle x (trascurabili) per 1/2, e cioé x^4/2,x^5/2,ecc. Ebbene non cambierebbe nulla, perché quei termini vanno a 0 comunque più velocemente di x^3 e quindi quel 1/2 è ininfluente. Stesso discorso per 2,3,-7,12 e per tutti i numeri finiti (a prescindere dal segno). Spero di averti chiarito le idee, pensa a l'o piccolo come a qualcosa di trascurabile e d'ininfluente.

[@megamathn1258]

@@rookie8960 ehh inizialmente non si ha bene "l'occhio" per capire dove fermarsi. Ma con un po' di ragionamento ci si arriva. Ad esempio: Lim x->0 (sin(2x) sin(3x) - 6x^2)/x^4 In questo caso ci sono 2 seni che si moltiplicano e fuori c'é - 6x^2. Il primo sviluppo del sen è il suo agomento. Dato che i 2 sin sono moltiplicati vedi che se sviluppi al primo ordine i seni ti danno 2x e 3x che moltiplicati ti danno proprio +6x^2 che è il termine che sottrae fuori e ti rimarrebbe solo l'o piccolo. Quindi da quì capisci che devi sviluppare almeno fino al 2° ordine (o meglio il 3° trattandosi del sin) e come potrai verificare il limite concerge. Questo è un caso abbastanza semplice, spero di avertelo fatto capire e prova ad applicarlo agli esercizi che ti troverai di fronte.

[@veronicapapini292]

Ehi ciao, nel primo limite dato come esercizio mi esce 1...non capisco cosa abbia sbagliato

[@megamathn1258]

Ciao vero, allora come vedi devi andare oltre al 1° dato che il primo termine si annulla in tutti gli sviluppi e rimani solo con l'o piccolo, sia al numeratore che al denominatore. Devi quindi sviluppare fino al 3° ordine. Sia al numeratore: sin(x) = x - x^3/6 + o(x^3) tg(x)= x + x^3/3 + o(x^3) che al denominatore: arctg(x)= x - x^3/3 + o(x^3) Il limite, inserendo gli sviluppi, diventa quindi: lim x - x^3/6 + o(x^3) - x - x^3/3 + o(x^3) lim x^3(-3/6)(1+o(1)) -1/2 ____________________________________ => _____________________ = _____ =3/2 x->0 x - x^3/3 + o(x^3) - x x->0 -x^3/3(1+o(1)) -1/3 Questo era lo svolgimento del limite, ricontrolla bene i segni e gli sviluppi che hai fatto se sono corretti ;).

[@veronicapapini292]

grazie mille veramente :) ho capito il mio errore :)

[@megamathn1258]

Figurati =)

[@amedeolugoboni4827]

non capisco perché x^3 / 3 e x^3 / 6 vanno a zero

[@phantooom.]

Esatto neanche io, l'hai capito?

[@arion5678]

perche x tende a 0

[@corradinoabbatangeli1019]

Il risultato del limite assegnato "per casa" è inesatto, dovrebbe essere -1/2

[@corradinoabbatangeli1019]

del primo limite intendo, quello con l'arcotangente al denominatore