Espace complet de fonctions lipschitziennes

Un petit développement assez simple que l'on peut trouver dans Oraux-X ENS Analyse 3.

[@TheQuickly45]

Bonjour, J’ai une question concernant la complétude. Est ce que le seul obstacle à la complétude c’est que la limite s’échappe de l’espace ? Je pose la question parce que je suis d’accord avec le fait que si on a une suite de fonction continue qui converge uniformément alors la limite est continue mais est ce que cela justifie la complétude des fonctions continue sur [0,1] muni de la norme infinie ?

[@philcaldero8964]

Il faut que toute suite de cauchy possede une sous-suite convergente.

[@lisarodrigues3604]

Bonjour Mr, serez vous auditeur libre pendant les oraux de l'agrégation externe ces prochaines semaines ?

[@philcaldero8964]

Non ce n'est pas prévu.

[@zmoulihabib6604]

Merci pour le sujet Peut on parler de compacité de l 'espace et de sa connexté

[@philcaldero8964]

C'est un espace vectoriel donc il est connexe et non compact

[@marsupilable]

@@philcaldero8964 Je pense qu'on peut voir sans trop de difficultés que la boule fermée des lipschitziennes est compacte pour la norme environnante C0 = Linfini. Autrement dit : de toute suite de fonctions 1-lipschitziennes (et bornée en 0), on peut extraire une suite qui converge uniformément. On commence par extraire diagonalement une sous-suite qui converge simplement sur une partie dénombrable dense. On vérifie ensuite que la limite sur la partie dense se prolonge bien en une fonction 1-lipschitzienne et qu'il y a bien convergence uniforme partout. C'est en gros le théorème d'Arzelà-Ascoli. fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Ascoli

[@philcaldero8964]

@@marsupilable merci pour le partage !

[@marsupilable]

Bonjour, Intéressant. Si je prends l'opération de primitivation, j'obtiens un isomorphisme (une isométrie !) entre C0 et le sous espace de C1 des fonctions qui s'annulent en 0, normé par cette norme de Lipschitz. Ce C1 est donc lui-même complet pour cette norme. Pour une fonction C1, la norme de Lipschitz est simplement la norme C0 du prolongement par continuité de la fonction de 2 variables "taux d'accroissement". Le théorème des accroissements finis assure que le max est atteint sur la diagonale du carré, où on a prolongé par la dérivée. Comme C1 se plonge dans C0, il est intéressant de voir jusqu'où cette norme de C1 se prolonge dans C0. Et la réponse c'est donc que C1 est lui-même un sous-espace fermé de ce Banach des fonctions lipschitziennes. Et pour voir la non équivalence avec la norme C0, soit Linfini, on peut aussi regarder les fonctions sin(n*t) qui sont uniformément bornées, mais pas uniformément lipschitziennes.

[@philcaldero8964]

Excellent!