🤯🤯🤯 EXPONENTIALGLEICHUNG LÖSEN - kommst du auf den TRICK? | Exponent berechnen, Basis verschieden

[@magdaliebtmathe]

*Solltet ihr jetzt am Wochenende Zeit und Lust für ein paar schöne "Privatvideos" von mir mit Dokucharakter haben, dann schaut doch mal auf meinem Zweitkanal vorbei. Da gibt's ganz offene, ehrliche und intime Einblicke in mein Leben auf dem Segelboot, mittlerweile eine kleine "Serie" von 12 Vlogs! ❤⛵🌴☀🌏* Hier Vlog 1: kzbin.info/www/bejne/mpK1oayto6ikhas Hier der Kanal: kzbin.info Und hier der zugehörige Installateur-Account: instagram.com/manuandmagda/ Mathe hat übrigens einen eigenen: instagram.com/magdaliebtmathe/

[@Nikioko]

8:53: Du solltest vielleicht noch erwähnen, dass log(1/2) = - log(2) ist, und dann bekommen wir log(2) / - log(2) = - 1. log ohne Basis darf man übrigens nur schreiben, wenn die Basis egal ist. Ansonsten muss man die Basis angeben, also logₓ (x ∈ ℝ⁺\{1}), lg oder ln.

[@magdaliebtmathe]

Hey! Das hab ich beim „Probegucken“ auch gedacht, hätte ich auf jeden Fall dazusagen können, damit es nicht so aussieht als hätte ich es einfach in den Taschenrechner gehauen 😂😅. Also, da hast du absolut recht - next time! So weit ich weiß ist lg oder log ohne Basis per Konvention der 10er-Logarithmus, also der dekadische Logarithmus. So oder so ist aber ja bei der Rechnung tatsächlich die Basis total egal, wie eigentlich fast immer 🦊.

[@Nikioko]

@@magdaliebtmathe Man kann die Basis des Logs ohnehin frei konvertieren über logₓ y = log y / log x, wobei hier die Basis egal ist. Aber m.W. ist das Zeichen für den Briggsschen Logarithmus lg, nicht log, auch wenn das auf dem Taschenrechner steht. 1 als Basis geht nicht, weil immer log 1 = 0, x^0 = 1 und 1^x = 1.

[@gerritmattausch5877]

Wenn man die Gleichung ansieht, kann man erkennen, dass der Exponent auf keinen Fall positiv sein kann. Auch die Null fällt offensichtlich aus. Mal kurz im Kopf -1 ausprobiert und leider schon die Lösung gefunden. 😐 Aber wenn man den Aufwand betrachtet und die tausend Möglichkeiten dabei einen Fehler einzubauen, hatte ich Glück. 🤣 Echt tolle Aufgabe und es ist hier ein bunter Strauß von Lösungswegen entstanden! ❤ Mal wieder ganz großes Kino, Magda. DANKE! 😘

[@magdaliebtmathe]

Hey Gerrit! Danke für das große Lob! Freut mich mega! Und haha, tut mir natürlich leid, dass du die Lösung so schnell erraten hast 😬. Spricht aber für dich! Fuchsiger Smartie! 😘🦊🧡

[@Mariusde]

Gut gesehen. Das Problem ist nur: Solche Gleichungen haben nicht immer nur eine einzige Lösung, sondern gerne auch mal mehr, sodass bei bloßem Erraten (durch Hinschauen) einer Lösung gerne mal eine 2. Lösung, die man errechnen sollte, einfach mir nichts dir nichts unter den Tisch fällt... Beispiel: 3^(x^2) * 2^x = 324 . Bei ner Primfaktorzelegung sieht man sofort: 324 = (3^4) * (2^2) . Aha, x = 2 ist die Lösung. Ist es die einzige reelle Lösung? Nein! x = -2 - ln (2) / ln(3) wäre ebenfalls eine reelle Lösung, die man nahezu unmöglich einfach errät....

[@gerritmattausch5877]

@@Mariusde Boah ja, vielen Dank!!! 👍 Das ist ein verdammt gutes Argument. War so überrascht, schon die Lösung gefunden zu haben, dass ich gar nicht mehr weitergedacht habe. Werde mal versuchen die zweite Lösung selbst zu bestimmen. Gerade hab ich noch das Gefühl, dass mir dieser Versuch nur einen dauerhaften Aufenthalt in einer psychologischen Einrichtung einbringt. 🤣Bin offen für Tipps! 🤣

[@stefka5107]

Smarter Trick, da muss man erstmal drauf kommen.

[@magdaliebtmathe]

Danke! 😍💋

[@murdock5537]

Sehr schöne Aufgabe, super gelöst, danke! Ein leicht anderer Lösungsweg: Ausgangsgleichung mit (1/2^x) multiplizieren, mit k ∶= 2^x substituieren → (k + 1/4)^2 = 9/16 → k = 1/2 bzw. k= -1 ≠ Lösung → k = 1/2 = 2^x → x = -1 → 2/8 + 1/4 = 1/2 🙂

[@renesperb]

Bei dieser Aufgabe würde ich vorschlagen zuerst die neue Unbekannte y=2^x zu wählen . Dann hat man gleich die Gleichung 2*y^3+y^2-y=y*(2y^2+ y-1)=0. Der Rest ist dann einfach.

[@magdaliebtmathe]

Tatsächlich!! Das habe ich gar nicht gesehen - sehr smart! 🦊 Mach dich morgen auf eine richtig krasse Aufgabe gefasst, aus den Oxford-Test. Die hat mich so aus den Latschen gehauen! 🙊😬

[@ashmankiel7218]

Ja. Das war auch meine Lösung. Geht schneller und (finde ich) ist auch eleganter, zumal man dann das "Glück" hat, die Wurzel aus 9/16 ziehen zu dürfen.

[@MeinhartKöster]

vielen dank, Magda, ich hab 2 hoch x durch y substituiert, ging auch

[@Mariusde]

Der erste Ansatz führt nicht zwangsläufig in die Sackgasse, sondern auch zum Ziel, wenn man ihn korrekt weiterführt: 2* (2^3)^x + (2^2)^x = 2^x . Das ist das Gleiche wie: 2* 2^(3x) + 2^(2x) = 2^x oder 2* (2^x)^3 + (2^x)^2 = 2^x . Jetzt substituiert man: u = 2^x mit u > 0 folgt: 2u^3 + u^2 = u. Da u > 0 kann man problemlos durch u teilen: 2u^2 + u = 1. Das ist dann eine quadratische Gleichung, die man mit der Mitternachtsformel auflöst. Dann bekommt man u_1 = -1 (was als Lösung nicht in Frage kommt, da u > 0 sein muss) und u_2 = 0,5 . u_2 zurücksubstituiert, erhält man x = -1. qed

[@magdaliebtmathe]

Recht hast du, Marius! Mega gut gesehen!! 🧡🦊

[@novidsonmychanneljustcomme5753]

Danke, das erspart mir das selbst nochmal als Kommentar zu schreiben, war genau auch mein Gedanke. 🤓😁

[@Birol731]

Eine wunderschöne Exponentialgleichung 😍 Mein Lösungsvorschlag lautet: 2*8ˣ + 4ˣ = 2ˣ 2*(2³)ˣ + (2²)ˣ = 2ˣ 2*2³ˣ + 2²ˣ = 2ˣ 2ˣ(2*2²ˣ + 2ˣ)= 2ˣ beide Seiten bei 2ˣ teilen ergibt: 2*2²ˣ + 2ˣ= 1 2ˣ= u 2*u²+u=1 2u²+u-1=0 Δ= b²-4ac Δ= 1-4*2*(-1) = 9 u₁= (-1+√9)/2*2 = 2/4 = 1/2 ⇒ 2ˣ= 1/2 2ˣ= 2⁻¹ x= -1 u₂= (-1-√9)/2*2 = -4/4 = -1 ⇒ 2ˣ= -1 x ≠ ℝ Somit x= -1 ist die Lösung 🤗 Kontrolle: 2*8⁻¹+ 4⁻¹ = (2/8)+(1/4) = 2/4 = 1/2 = 2⁻¹ 👍

[@magdaliebtmathe]

Oh wow! Du fleißiges Bienchen! Super gelöst!! 🐝🐝🐝

[@Birol731]

@@magdaliebtmathe Magda 🥰

[@moritzvonlicht2322]

Danke. Siehe Kommentar vom letzten Video ;)

[@magdaliebtmathe]

Hab ich nur für dich gemacht, Moritz! 😋

[@moritzvonlicht2322]

@@magdaliebtmathe 😂😅😃 du bist die beste.

[@magdaliebtmathe]

@@moritzvonlicht2322 😘

[@baureihe218freak2]

Das sollte noch einfacher gehen: 4^x ist doch das Gleiche wie 2^x * 2^x, und 8^x ist das Gleiche wie 2^x * 2^x * 2^x. Also kann man rechnen (Klammern nur für bessere Lesbarkeit): 2* (2^x * 2^x * 2^x) + (2^x * 2^x) = 2^x --> 2 * (2^x * 2^x) + 2^x = 1 --> 2* (2^x * 2^x) + 2^x - 1 = 0. Quadratische Gleichung --> 2^x muss 0,5 oder -1 sein. Muss positiv sein, also 0,5. Also gilt 2^x = 0,5 --> x = -1.

[@magdaliebtmathe]

Hey! Schick!! Ist ein Schrittchen leichter, tatsächlich - da wird 2^x substituiert anstatt wie bei mir (1/2)^x. I like!!! ❤️😍

[@goldfing5898]

1:30 Warum nicht gleich zu Beginn die Substitution t = 2^x anwenden? (Ich benutze lieber t als u als neue Variable). Das ist einfacher als (1/2)^x zu sustitutieren, da weniger Bruchrechnung: 2 * 8^x + 4^x = 2^x Jetzt schreibt man als Zweierpotenzen: 2 * (2*2*2)^x + (2*2)^x = 2^x und wendet die Potenzgesetze an: 2 * 2^x * 2^x * 2^x + 2^x * 2^x = 2^x und ersetzt 2^x durch t: 2 * t*t*t + t*t = t also 2t^3 + t^2 = t also 2t^3 + t^2 - t = 0 Diese kubische Gleichung hat eine Lösung t = 0, die aber hier irrelevant ist, da 2^x = 0 keine Lösung hat (die Exponentialfunktion verläuft ja immer oberhalb der x-Achse, also ist 2^x > 0 für alle t aus R). Also kann man t ausklammern oder hier auch einfach durch t teilen: 2t^2 + t - 1 = 0 Diese quadratische Gleichung hat die beiden Lösungen t = +1/2 und t = -1 Die Lösung t = -1 macht wiederum keinen Sinn, da 2^x = -1 keine Lösung hat, siehe oben. Also kommt nur t = +1/2 in Frage und es ergibt sich: 2^x = 1/2 2^x = 2^(-1) x = -1 als einzige Lösung.

[@eisikater1584]

Yippiyeah! Ich kam auf die Lösung durch ausprobieren. Als Hobbyprogrammierer habe ich naturgemäß viel mit dem Binärsystem zu tun. Zuerst habe ich es mit quadrieren versucht, da wurden die Zahlen zu Monstern, aber auf den zweiten Blick dachte ich mir, das kann nur -1 sein. Irgendwann war ich dann bei 2 * 8^(-1) = (2^2)^(-1) Da nur der Exponent gefragt war, war's das. Zur Beweisführung habe ich dann weitergerechnet und kam auf 1/2 = 1/2, muss daher stimmen.

[@magdaliebtmathe]

Yayyy! Sehr gut gemacht, kleine Nachteule! 💕

[@eisikater1584]

@@magdaliebtmathe Naja, wenn du nicht gerade auf der anderen Seite des Planeten bist, bist du auch eine Nachteule. Übrigens, das mit dem Beweis durch 1/2 = 1/2 nehme ich zurück, zwei Achtel sind immer noch ein Viertel.

[@magdaliebtmathe]

@@eisikater1584 Ich hab schon immer wenig Schlaf gebraucht 😇.

[@eisikater1584]

@@magdaliebtmathe Na, und ich habe meine berufliche Karriere in 'ner Disco begonnen. Was glaubst du, wie froh ich bin, dass ich als Freiberufler jetzt meine Arbeitszeit frei wählen kann. Herrlich, wenn man mal richtig was machen kann, ohne dass ein Telefon bimmelt. Da schaffst du das Pensum von acht Stunden in vier und schaust nebenbei noch Mathe-Videos. Die Jahre, die ich als Festangestellter täglich tagsüber im Büro verbringen musste, waren die Hölle. Und ich nenne mich nicht umsonst Eisi Kater: Katzen sind nachtaktiv.

[@magdaliebtmathe]

@@eisikater1584 Verstehe! 🤣🤣😻 Und die freie Zeiteinteilung als Selbständiger ist wirklich supercool! Wobei ich echt aufpassen muss, dass ich es mit dem selbst und ständig nicht zu ernst nehme…. 🤣🙈

[@baureihe218freak2]

Deine Themen sind super, aber du könntest noch eine Idee prüfen: Unter "Community" nur das Intro oder auch noch weniger (etwa nur ein Bild mit der Aufgabenstellung und mit Text) hochladen, und dann 1-2 Tage später unter "Videos" das Video mit der Lösung. Dann kannst du sehen, dass die Kommentatoren nicht einfach nur deine Lösung angeschaut haben, sondern tatsächlich selbst daraufgekommen sind.

[@magdaliebtmathe]

Heyyy! Super Idee! Hab ich auch schon überlegt! Hatte aber bisher noch nicht die Zeit um mir ein hübsches Design für diese Communityposts auszudenken…. 🙃 Mal sehen, wann ich das schaffe. Im Moment hier auf dem schaukelnden Boot vor Anker ist es schon eine echte Herausforderung „nur ein Video pro Tag“ zu posten. 🙈 Hab ja aus finanziellen Gründen noch Nachhilfeschüler und einen Tag Schule und diverse kleine Projekte, die ich „nebenher“ mache 🤣. Da schaffe ich es gerade zeitlich einfach nicht mit den Communityposts 😭. Wenn der Kanal mal so groß sein sollte, dass man einigermaßen davon leben kann - spätestens dann mach ich das mal 💕.

[@baureihe218freak2]

@@magdaliebtmathe Klar, Videos machen kostet mehr Zeit, als man denken mag. Am einfachsten wäre es denke ich, das gleiche Video mit der Lösung auch unter Community zu posten, allerdings nur den ersten Teil, also ohne Lösung. Oder einfach die beiden Videos mit "Aufgabe" und "Lösung" benennen und beide in "Videos".

[@magdaliebtmathe]

@@baureihe218freak2 Hmmm, dann müsste ich aber immer zwei einzelne Videos aufnehmen. Ich hatte eher daran gedacht, so ähnlich wie Susanne von Mathematrick, ausgewählte Aufgaben als Bild in die Community zu posten, bevor die Lösung dann am nächsten Tag kommt. Könnte ich heute mal testen, ohne schickes Design, was meinst du? 🦊

[@magdaliebtmathe]

Hab's gerade mal gemacht für morgen, die Aufgabe aus dem Video ist in der Community. FÜR DICH! ❤ Sagst du mir im Gegenzug, wie du im echten Leben heißt? 😬😬😬

[@magdaliebtmathe]

Hab deine Antwort gelöscht 🤣😅. Sonst ist das Video morgen ja sinnlos. Oder nicht?

[@jasmin9763]

Du erklärst super gut, allerdings hab ich nicht ganz verstanden, wieso man, wenn man "u" gefunden hat, dennoch nochmal den log auf u und das was u ist (das in Klammer) anwenden muss? Weil man hat u ja? :D Auf den Schritt wäre ich nicht gekommen.

[@magdaliebtmathe]

Heyyy Jasmin! Das ist die Resubstitution! Das u wollte man ja ursprünglich gar nicht berechnen, sondern das x! Das u ist also nur eine Art „Hilfsvariable“: Wenn man u ausgerechnet hat, kann man das x daraus berechnen. 🦊 Macht es jetzt mehr Sinn für dich? 🙃

[@bernhardmorck7358]

2*1/8+1/4=1/2 oder auch 2*8^(-1)+4^(-1)=2^(-1). Man darf einfach nie vergessen das Exponenten auch negativ sein können.

[@magdaliebtmathe]

Genau!! Das verdrängt man so leicht! 😃😃

[@csu9242]

Man buchstabiert die Hochzahlen runter, kommt auf -1 und setzt diese dann in den Nenner. Den Rest macht man im Kopf, aber in der Penne macht mans mit Papier und Bleistift

[@cvb-bm5dg]

Ihr KZbin Kollege PreMath benutzt bei quadratischen Gleichungen statt der pq Formel wenn möglich gerne die Factoring by Grouping Methode. Im Falle von u^2-u-2=0 wäre das: u^2-2u+u-2=0; u(u-2)+1(u-2)=0; (u-2)(u+1)=0. Eine angenehme Methode, wenn man sich mal dran gewöhnt hat.

[@horstwerner4939]

Versuch doch mal die hier: 2^x=x^2 und hol dafür die LambertW-Funktion raus. Das wird relativ komplex mit Fallunterscheidungen, um die 3 reellen Lösungen zu ermitteln (von den komplexen mal ganz zu schweigen)

[@magdaliebtmathe]

Das steht tatsächlich auf der Verfilmliste für kommende Woche! 🤩🤩

[@Maenner_im_Keller]

Man könnte auch durch 2^x teilen, dann via Potenzgesetz die Exponenten umdrehen und die restlichen 2^x substituieren. Man erhält eine quadratische Gleichung, die man dann mit abc-Formel oder no fuss factoring lösen kann. PQ-Formel würde natürlich auch gehen, wenn man vorher noch durch die 2 teilt. Aber dafür gibt es ja abc. Wobei no fuss factoring mehr Spaß macht. 😉

[@opytmx]

Auf den ersten Blick müsste x = -1 sein, weil 2/8 + 1/4 = 1/2 ergibt. Wenn es allerdings noch mehr Lösungen gibt, sollte man vielleicht doch lieber schriftlich rechnen 🙂

[@magdaliebtmathe]

Supergut gesehen!! 😉

[@hans429]

"Mathematiker hassen diesen trick" hahaha

[@magdaliebtmathe]

Tun sie das? 😬 Ich nicht!

[@hans429]

@@magdaliebtmathe es heißt doch in den Werbungen immer xy hassen diesen trick...

[@norberthuber1747]

Man hätte doch von Anfang an 2^x substituieren können!? Die Umwandlung in die 1/2 Basis bringt eigentlich nichts.

[@magdaliebtmathe]

Ich hab den quadratischen Zusammenhang erst gesehen als ich den Basiswechsel gemacht hab 😃😅🙈. Sehr smart, dein Ansatz! 🦊

[@elektrolypiak9027]

der einzige Trick, der mir da einfällt, ist Taschenrechner :))

[@magdaliebtmathe]

😃😃😃 Das zählt nicht! 😂

[@Nikioko]

2 • 8^x + 4^x = 2^x = 2^(3x+1) + 2^(2x) = 2^x Bringt eine aber nicht weiter.

[@magdaliebtmathe]

Doch, tatsächlich schon! Bin auch nicht draufgekommen, aber schau mal in den Kommentaren 🙂.

[@gelbkehlchen]

Lösung: 2*8^x+4^x = 2^x ⟹ 2*2^(3x)+2^(2x) = 2^x |Ich setze z=2^x ⟹ 2*z³+z² = z |-z ⟹ 2*z³+z²-z = 0 |/2 ⟹ z³+z²/2-z/2 = 0 ⟹ z*(z²+z/2-1/2) = 0 ⟹ entweder z1 = 0 oder z²+z/2-1/2 = 0 |p-q-Formel ⟹ z2/3 = -1/4±√(1/16+1/2) = -1/4±√(9/16) = -1/4±3/4 ⟹ z2 = -1/4+3/4 = 1/2 und z3 = -1/4-3/4 = -1 ⟹ Resubstitution: 1.Fall: z1 = 0 ⟹ 2^x = 0 das ist nicht definiert. 2.Fall: z2 = 1/2 ⟹ 2^x = 1/2 |lb() ⟹ x = lb(1/2) = -1 3.Fall: z3 = -1 ⟹ 2^x = -1 das ist nicht definiert. Die einzige Lösung ist x = -1.

[@jbsmarklinmodellbahn1728]

Wie gut das sowas für mein Leben völlig irrelevant ist ;-)