Extremwertaufgabe Zylinder in der Kugel 1

Dieser Videoclip befasst sich mit dem Thema „Extremwertaufgabe“. In eine Kugel soll ein Zylinder mit maximalem Volumen eingefügt werden.
Zylinder mit maximalem Volumen
Bei einer Extremwertaufgabe geht es immer darum, einen Extremwert zu finden. Das ist entweder ein maximaler Wert oder eben ein minimaler. Zuerst wird eine sogenannte Zielfunktion aufgestellt. Dazu ist die Frage wichtig: „Was soll maximiert oder minimiert werden?“. Dann brauchen wir eine sogenannte Hilfsfunktion (oder auch „Nebenbedingung“). Mit Hilfe dieser Hilfsfunktion wird es uns dann möglich, die Fragestellung zu lösen…
Aufgabenstellung
In eine Kugel mit dem Radius R=1 ist ein Zylinder mit maximalem Volumen einzubauen. Bestimmen Sie Radius r und Höhe h des Zylinders.
Die Aufteilung der Videoclips:
Zylinder in der Kugel (1): Aufstellen der Zielfunktion und der Hilfsfunktion
Zylinder in der Kugel (2): Finden des Extremwerts - Teil 1
Zylinder in der Kugel (3): Finden des Extremwerts - Teil 2
Zylinder in der Kugel (4): Extremwert auf Maximum überprüfen
Vorgehensweise bei einer Extremwertaufgabe:
1.) Überlegen, WAS maximiert/minimiert werden soll
2.) Zielfunktion aufstellen (also die Funktion für das, was maximiert/minimiert werden soll)
3.) Nebenbedingung finden/aufstellen
4.) Nebenbedingung so umstellen, dass eine unbekannte Größe auf der linken Seite, der Rest auf der rechten Seite steht
5.) Jetzt kann diese unbekannte Größe in der Zielfunktion ersetzt werden (nun haben wir eine Zielfunktion mit nur einer unbekannten Größe)
6.) Diese neue Zielfunktion ableiten und die Ableitung gleich 0 setzen (Extremwert finden)
7.) Der gefundene Wert / die gefundenen Werte kann/können sowohl Maximum als auch Minimum sein. Also: Zweite Ableitung
8.) In die zweite Ableitung den gefundenen Wert / die gefundenen Werte einsetzen und Ergebnis interpretieren:
Wenn die zweite Ableitung an der Extremstelle negativ ist, ist es ein Maximum, wenn sie positiv ist, dann ein Minimum.
9.) Wir haben ja noch immer die Zeile, in der eine unbekannte Größe auf der linken Seite steht. Diese Variable können wir jetzt durch den gefundenen Wert berechnen.
10.) Gefundenen Extremwert in die Ausgangsgleichung einsetzen, um den y-Wert zu erhalten (wenn es in der Aufgabe gefragt ist.
Weitere Lernvideos zu dieser Aufgabe (Zylinder in der Kugel 2,3,4) findest DU hier:
mathehilfe24.de...
Viel Erfolg wünscht das
Team von Mathehilfe24.de

[@yasin040190]

Sehr verständlich erklärt👍

[@alishaquli586]

Sie sind tatsächlich toll. ❤❤❤❤👌

[@Shant15]

Vielen Dank

[@bennojojojojo3897]

Danke!

[@niconesterow3608]

Ich liebe Sie

[@nucki222]

Kann man auch das r^2 einsetzen um h zu errechnen? Es würde die Wurzel ersparen und somit die Berechnung um ein Vielfaches vereinfachen.

[@Esra.Elbasan]

In unseren alten Fachabi Prüfungen (12.Klasse Bos) sind immer Zwischenergebnisse vom Volumen gegeben. Heißt das, dass ich dann einfach mit dem Zwischenergebnis die Ableitung und alles machen kann? ohne Ziel und Hilfsfunktion? ( und deine Videos sind sehr sehr sehr gut du erklärst es langsam was perfekt ist! man versteht alles! :)

[@mathehilfe24]

Hallo Esra, vielen Dank für das Feedback. Das freut uns sehr! Die Zwischenergebnisse sind immer angegeben, damit Du weiter rechnen kannst, falls Du es bis dahin nicht geschafft haben solltest, um zumindest einen Teil der Punkte zu bekommen. Ich würde an Deiner Stelle aber immer zumindest versuchen, möglichst viel an Rechnung hinzuschreiben, denn auch darauf bekommst Du ja schon Punkte.

[@Offiziellermax]

1,5 fache Geschwindigkeit muss regeln...

[@hcgreier6037]

Warum in aller Welt sollte man hier nach h umstellen?? Man bekommt einen hässlichen Wurzelausdruck, bei dem man auch noch beim Ableiten aufpassen muss. Bei 17:37 steht da ja schon ein r^2, nach dem man umformen und in die Zielfunktion einsetzen könnte....Ansonsten finde ich das Beispiel sehr gut erklärt 😎

[@mathehilfe24]

Ja, völlig richtig. Darauf hätte ich auch liebe reingehen sollen. Danke für den Hinweis.