Extremwertaufgaben - Maximaler Flächeninhalt Rechteck unter Funktion

Extremwertaufgaben Rechteck maximaler Flächeninhalt unter e Funktion
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man mit der 1. Ableitung und 2. Ableitung den Extremwert der Fläche berechnen kann. Wir lösen die Extremwertaufgabe, indem wir das Maximum (Hochpunkt) der Funktion des Flächeninhalts bestimmen. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Extremwertaufgaben Rechteck
4:01 Formel Flächeninhalt Rechteck
7:12 1. Ableitung e Funktion
11:42 2. Ableitung e Funktion
14:11 Extremwert berechnen
15:30 Hochpunkt 2. Ableitung
16:56 Bis zum nächsten Video :)
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[@CoderboyPB]

Liebe Susanne, habe heute erst wieder gehört, dass tausende Lehrer fehlen. Ich hatte in meiner Schulzeit selber die besten Mathelehrer, aber DU wärest eine Bereicherung für jede Schule, die noch Mathelehrer braucht.

[@clauslange9724]

So ähnliche Aufgaben habe ich vor 53 oder 54 Jahren in der Schule rechnen dürfen. Der Rechengang ist mir im Gedächtnis geblieben. Nur die Ableitung der e-Funktion war nicht mehr bekannt. Diese Videos finde ich sehr interessant, ich sehe gut, was noch vorhanden ist bzw. vergessen wurde.

[@sabineschweizer3966]

Ging mir exakt gleich...nur war das Abi vor 40 Jahren

[@nothingisreal6345]

Didaktisch sehr gut dargestellt. Es werden alle Schritte explizit hergeleitet. Bei jedem Schritt wird erst die allgemeine Regel wiederholt, dann angewendet und die Zwischenschritte aufgeschrieben. Die Mathematik ist keine Magie sondern immer nur die logische Anwendung von Regeln und damit eigentlich denkbar einfach. Man fragt sich nur warum unsere Regierungen nicht einfach den gesamten Mathematik Stoff (bis Abitur) einmalig in solche Videos packt, dazu ein Lernportal entwickelt mit dem man dann auch Übungsaufgaben und Kontrollaufgaben (Prüfung) durchführen kann. Das würde gerade schwächeren Schülern sehr helfen. Beliebig viele Wiederholungen. Die Geschwindigkeit bestimmt man selbst. Tatsächlicher Aufwand objektiv messbar - kein "Selbstbetrug" mehr. Lernen wann man will, soviel man will und mit eigener Geschwindigkeit. Selbst Lernen in der Gruppe ist heute online möglich.

[@markuslamm1072]

"Die Mathematik ist keine Magie sondern immer nur die logische Anwendung von Regeln und damit eigentlich denkbar einfach." Durch die Nötigung mathematisches Lexikonwissen auswendig können zu müssen in Verbindung mit mangelndem Praxisbezug kann eine derartige Mathematik leicht in Schikane und Zwangsneurose abgleiten. Beispielsweise konterkariert die Anwendung der sogenannten "Kettenregel" bereits den eigentlichen Lehrauftrag.

[@MattMorgasmo]

"Man fragt sich nur warum unsere Regierungen nicht einfach den gesamten Mathematik Stoff (bis Abitur) einmalig in solche Videos packt,..." Vielleicht, weil der Einäugige nur unter den Blinden der König ist?

[@ronaldnoll3247]

Mach weiter so liebe Susanne ... Ich bin schon 65 und schaue sehr gerne deine Videos

[@patrickdematosribeiro1845]

Super erklärt! Wenn man für die zweite Ableitung keinen Taschenrechner hat, kann man sich auch überlegen, dass die e-Funktion immer positiv ist und daher nur das Vorzeichen von (0,28*5-2,8) relevant ist.

[@Knueller99]

Ich freue mich immer über deine Videos. Langsam sitzen auch die Regeln beim Ableiten wieder.

[@jorgschmidt5300]

13:50 - Super Video - Als ehemaliger Hauptschüler sind das natürlich alles böhmische Dörfer für mich. Aber (-0,2) x 1,4 kann dann mit dem Taschenrechner gerechnet werden. Da musste ich dann lachen.

[@robertpietschmann8287]

Hallo Susanne! Tolles Beispiel, vor allem die Vorgehensweise hast du sehr anschaulich erläutert!

[@Paartherapeut]

danke. eine schöne erinnerung. ich habe kurven diskussionen geliebt. und merke ich liebe sie immernoch

[@guntherlohmann1613]

Susannes größtes Talent in der Matheumgebung ist wie gut sie erklären kann (natürlich hat sie fraglos noch mehr musikalisches Talent ... ).

[@krachenford9594]

Wunderbar erklärt❤

[@derduuude4695]

Danke, hat mir sehr geholfen 👍

[@meteoshark4648]

Und bei den PV Anlagen überall auf den Dächern und Anlagen ist der Mpp von maßgeblicher Relevanz. ( Maximum power point ) Ist genau dasselbe nur praktisch angewandt.

[@phaeno-fabi]

So eine Aufgabe hier im Kanal wäre toll, wenn der Praxisbezug hergestellt wird. Aktueller könnte es nicht sein.

[@ralfr.189]

Schön gemacht!!!!

[@Dominique.Charmoille]

sehr gut erklärt!

[@MathemaTrick]

Danke dir!

[@ralfurban8165]

Meine erste Intention war, die Funktion f um 1 nach unten zu verschieben. Das würde den konstanten Faktor 1 von vornherein wegfallen lassen. Letztendlich ist deine Herleitung der Maximierungsfunktion genau auf das hinausgelaufen.

[@markusgro-bolting6542]

Extremwertaufgaben - meine Lieblingsaufgaben... 🙈

[@johannmeier6707]

Da die gegebene Funktion monoton ist und in beiden Grenzfällen (s -> 0 und s -> unendlich) R(s) gegen 0 geht, muss das einzige Extremum implizit ein Maximum sein. Es reicht hier somit auch die erste Ableitung (in dieser konkreten Beispielaufgabe, für ganz allgemeine Funktionen natürlich nicht) und genannte Begründung.

[@jaysen3889]

Es geht nicht um die gezeichnete Funktion sondern um die Flächenfunktion R(s) und diese ist nicht monoton, da sie einen Wendepunkt hat (zweite Term von der 2 Ableitung kann null werden). Deswegen sind deine Überlegungen nicht ganz korrekt, zumindest nicht wenn man das beweisen muss.

[@unknownidentity2846]

@@jaysen3889 Man kann das Argument aber leicht reparieren. Es gilt, wie von Johann Meier richtig angegeben, dass R(s) gegen 0 geht für s -> 0 und s -> unendlich. Da außerdem R(s) > 0 für s > 0 gilt und es nur einen Extremwert gibt, muss es sich um ein Maximum handeln.

[@dodomein]

Super erklärt. Ich hänge immer wieder zwischendurch und wenn du den Sachverhalt erklärst denke ich mir: Stimmt ja, ist doch eigentlich ganz klar. 🙈😂

[@coco88736]

Extremwertaufgaben sind sehr nützlich für die Praxis, wenn es um den minimalen oder maximalen Materialeinsatz geht.

[@dornbirn1000]

Weiter so

[@porkonfork2021]

👍👍👍

[@supremoau65erkontrolle13]

🔥🔥🔥

[@BeniyMrsCool]

I always had troubles with these graphs at school! I had a good teacher, but still it wasn't easy 😅

[@profihandwerker4828]

Ab der 7. Minute wurde es für mich zu kompliziert. Über diese Aufgabe muss ich noch sehr lange nachdenken und muss deshalb dieses Lern-Video mir öfters anschauen!

[@markuslamm1072]

"Ab der 7. Minute wurde es für mich zu kompliziert." Ab der 7. Minute wird es für uns alle zu kompliziert, weil die Gehirngerechtigkeit verlassen wird. Der Stoff bedarf einer anderen Darstellung, so daß die Parameter dazu nicht gepaukt werden müssen.

[@utedalheimer1742]

❤️❤️

[@chrisneumann11235]

Vielen Dank für das schöne Video. Könntest du bitte mal ein Video zu verschobenen Symmetrien von Funktionsgraphen machen? Würde meinen Schülern hierzu gern eine Hilfestellung geben. Gibt aber noch kein schönes Video zu dem Thema. LG

[@der_basic]

Das hätte ich damals in der 11. Klasse gut gebrauchen können. Ich war damals 1 Woche krank und habe komplett die Einführung in das Thema verpasst und nur 9pkt in der Klausur. Später dann gab es nochmal eine Aufgabe in einer Klausur und hatte 12 statt den 15pkt, da mir die Extremwertaufgabe fehlte und ich damals recht aufgeschmissen war, wie man genau vorgeht. Heute mit den Kenntnissen aus den Vorlesungen an der Uni, wäre das kein Problem gewesen

[@anisbouchoucha5663]

zu aller erst möchte ich mich gerne bedanken für all das was du machst wirklich Hut ab. ich komme direkt zur frage : wenn bei der Aufgabe (s = 5) ist wäre das nicht sinnvoller einfach mal auch für s in die Ableitung einzusetzen dann hätten wir nicht so große zahlen verstehst du was ich meine ? Wenn ich falsch liege dann verbessere mich bitte. Ich denke man könnte sich halt mehr aufwand ersparen. und der für R(s) Maximal bekommt man 12,85 raus Liebe Grüße

[@kaltaron1284]

Koennte man fuer s=0 den Punkt als Rechteck mit Flaeche 0 betrachten oder wuerde das etwas von der Definition eines Rechtecks verletzen?

[@ArKa_47]

Naja, du hättest dann eine Fläche von 0, mit einer Breite von 0 und einer Höhe von 7 . Bei s=0 hast du nur ein einfachen Strich von y=1 bis y=8 (bei x=0) Ich sehe erstmal keine Verletzung im Allgemeinen. 0 ist eine legitime Zahl die hier keine Probleme macht. Natürlich unabhängig der Aufgabe, die alle zahlen

[@kaltaron1284]

@@ArKa_47 Stimmt, es ist eine Linie kein Punkt. AEndert aber nicht viel. Ich habe spontan nichts gefunden, dass die Eckpunkte des Rechtecks ungleich sein muessen. Damit waere das einfach nur ein Spezielfall. Wobei wie ist der Winkel zwischen identischen Punkten definiert? Vermutlich nicht als 90 Grad. Dann waere es natuerlich kein Rechteck.

[@unknownidentity2846]

Man kann sich die Behandlung der zweiten Ableitung durch scharfes Hinsehen etwas erleichtern. Der erste Summand u'v bei der zweiten Ableitung R''(s) entspricht exakt -0,2*R'(s). Da zur Bestimmung der Extremwerte die erste Ableitung ohnehin gleich 0 gesetzt werden muss, ist bei der Überprüfung der zweiten Ableitung nur noch der zweite Term relevant, der offensichtlich stets negativ sein muss.

[@bertsupersmith]

Darf ich um eine Ergänzung bitten (aus der Praxis)? Die Funktion ist linear fallend. Gesucht ist weiterhin das größtmögliche Rechteck, allerdings soll das Rechteck ein Seitenverhältnis von 16:9 haben. Damit kann man errechnen wie groß der Größtmögliche Bildschirm unter einer Dachschräge passt. Ich wäre dankbar.

[@Cad4rn]

A=y*x und y=-(9/16)mx+b (hier deine Dachhöhe und deine Dachschräge bzw Dachsteigung halt einsetzen) Dann einsetzen und ableiten und A'=0 setzen. Also -(8/9)mx+b=0 und das ergibt dann x= (b*8)/(m*9), für y dann ganz oben einsetzen und prüfen ob es wirklich passt (müsste es eigentlich weil die breite zu Höhe ja schon gegeben ist). Keine Garantie auf Richtigkeit ;)

[@gerrykan3437]

Da die untere Seite der Viereck auf y=1 liegt, heißt es, daß die Funktion auf f(x) = 7exp(-0,2x) vereinfacht werden kann. Damit wird der Punkt x=s gesucht, sodass xf(x) (die Viereck infrage) die maximale Flache hat. Lass σ(x) = xf(x) = x exp(-0,2 x) Die 1. Ableitung lautet σ'(x) = f(x) + xf'(x) = exp(-0,2x) - 0.2x exp(-0.2x) Nach Faktorisierung gibt σ'(x) = (1-0,2x) exp(-0,2x) Der Punkt x=s liegt auf σ'(s) = 0, wobei 2 Lösungen gefunden werden können: 1) exp(-0,2s) = 0 (s = Unendlich), oder 2) 1-0,2s = 0 (s = 5). Visuell wird es erkennt, dass s=5 die maximale Flache gibt, welche (5) exp(-1) = 5/e Einheiten ist. (s = Unendlich gibt eine Null-Flache lt. l'Hôpitalsregel). Die Verifizierung mit der 2. Ableitung, ob σ(s) der Maximum oder Minimum ist, obwohl systematisch, ist nur notwendig, wenn mehere lokale Extrempunkten vorhanden sind. In diesem fall ist die Lösung s=5 sehr eindeutig, dass sie der Maximum ist.

[@THyperon]

Hat sie doch gemacht... die Überprüfung mit der zweiten Ableitung ist halt der Vollständigkeit halber, weil genau das Weglassen Punktabzug in Klausuren gibt.

[@gerrykan3437]

@@THyperon Sie haben Recht, aber mein Punkt ist nur, daß es bereits ausreichend ist, die Sache mit der 2. Ableitung aufmerkdam zu machen, ohne sie explizit zu berechnen, da die Funktion kontinuell auf- bzw. absteigend ist und die Fläche an s=5 unbedingt maximal sein soll. Vergessen Sie nicht: Es gibt noch weitere Fragen in der Prüfung und man muss die Zeit optimal benutzen!

[@RupaManohara]

hä?... kapier garnix. Was sind denn die zugrunde liegenden Fakten und Gedanken für diesen Jungletrip???

[@kajdronm.8887]

Muss man wirklich die 2. Ableitung ausrechnen? Es reicht doch zu zeigen, dass die 1. Ableitung vor ihrer Nullstelle positiv und nach ihrer Nullstelle negativ ist.

[@SuperSamsn]

stimmt. Der Vorzeichenwechsel ist sogar das bessere Kriterium, da die zweite Ableitung nur hinreichende aber nicht notwendige Bedingung ist. Ein bekanntes Beispiel ist f(x) = x^4. Das ist im Schaitelpunkt ein Klarer Tiefpunkt aber die zweite Ableitung f''(x)=12x^2 ist halt an der stelle x=0 immer noch 0. Der Vorzeichenwechsel von f'(x) funktioniert aber immer.

[@tobbert3383]

@@SuperSamsn Das Kriterium mit der zweiten Ableitung scheitert auch bei allen Funktionen, die nur einmal differenzierbar sind und davon gibt's ganz schön viele. Abgesehen davon macht es auch noch mehr Arbeit und ist bei komplizierteren Funktionen auch noch ziemlich fehleranfällig. Dass dieses Kriterium überhaupt gelehrt wird, ist doch eigentlich reiner Selbstzweck.

[@angeladerzweite3635]

Gibt keine besseren Aufgaben als Extremwertaufgaben

[@lexx4067]

Warum konnte ich dich nicht als meine Mathelehrerin haben? Vllt hätte es dann für mehr als 4 Punkte gereicht 😂

[@MathemaTrick]

Vielleicht klappt’s ja im nächsten Leben mit uns beiden! 😜

[@alexanderweigand6758]

Hätte man da nicht eine Formel holen können die man ohne viel Übung ableiten kann ohne in der Formelsammlung.nachzuschlagen.

[@fron3107]

"von diesem Rechteck" = "dieses Rechtecks"

[@alexanderweigand6758]

15:40 Eigentlich ist es mit Hilfe der Grafik schon bewiesen dass es ein Maximum sein muss. Hmmm müsste bei s=0 nicht ein Minimum sein? Mal nachdenken.

[@brianoconner7645]

How?

[@brianoconner7645]

s>0

[@alexanderweigand6758]

@@brianoconner7645 Ignoriere das mal. Das ist nur eine Definition. Ich denke bei s=0 ist die Fläche zwar Null aber trotzdem kein Minimum. Weil die Fläche bei der Formel ein negatives Vorzeichen bekommt. Ich habe mir die Formel aber noch nicht angesehen. Ich denke nur es müsste so sein.

[@brianoconner7645]

@@alexanderweigand6758 negative Flächeninhalte, jetzt wird’s spannend.

[@alexanderweigand6758]

@@brianoconner7645 Je nachdem Wenn du ein Delta x definiert um eine Seitenlänge eines Rechtecks zu beschreiben. Und Delta x ist X2 minus X1. So lange X2 größer ist als X1 kein Problem Dann ist Delta x immer positiv. So lange die andere Seitenlänge auch positiv ist, ist auch die Fläche die durch dieses Vektor-Produkt entsteht positiv. Wenn aber X1 größer ist als X2 dann wird dieses Delta x negativ. Und negative Zahl mit positiver multipliziert ergibt eine negative. Für die Fläche ändert sich nichts außer dem Vektor. Der geht genau in die entgegengesetzte Richtung. Das ist bestimmt auch der Grund für dieses s>0. Und natürlich gibt es ohne dieses s>0 im negativen keinen Extremwert. Der Betrag des Delta x wird immer größer. Und der y-Wert auch. Weil das "7e hoch (-0,2x)" zu einer immer größeren Zahl wird. Das negative x mit dem negativen Faktor 0,2 wird positiv und bei x=-unendlich zu plus unendlich. Plus unendlich multipliziert mit minus unendlich geht ziemlich deutlich in Richtung minus unendlich. Also einem Richtungsvektor der Fläche der ins negative geht.

[@Neidhard-von-Blaufels]

Moment mal. Beim vierten Eckpunkt des Rechteckes heißt es doch (0/f(s)) Aber bei x = 0 wäre f(s) doch 8. Ergibt dann zwar kein Rechteck, steht aber so da.

[@NikoTikku]

Da du auch hier für das "s" wieder 5 einsetzen musst, kommt das gezeigte Rechteck heraus

[@walter_kunz]

Naja, f(0) ist zwar 8, ist aber nicht gefragt, denn ist f(s) und s ist da immer noch 5, also f(5) ist hier einzusetzen.

[@CallindorCray]

x=0 ist nicht relevant, da s>0 vorgegeben wird.

[@marc.w.7692]

nä

[@marc.w.7692]

das verformt mein gehirn

[@MathemaTrick]

Tut mir leid 😅

[@marc.w.7692]

weils bis die lösung da steht 1dimensional zu denken ist... also seriell

[@marc.w.7692]

und so bezugslos im prinzip

[@marc.w.7692]

buhhh.... bin radfahren

[@jamielondon6436]

Sehr löblich, noch die hinreichende Bedingung zu zeigen, aber inhaltlich finde ich es tatsächlich hier nicht nötig. Da es sich um einen Flächeninhalt handelt, kann es nur positive Werte annehmen, das Minimum wäre Null. Wenn die erste Ableitung dann nur einen Kandidaten für einen Extremwert ausspuckt, muss es folgerichtig das Maximus sein. Wenn es einen zweiten gegeben hätte, könnte man diesen anhand der o. g. Bedingung ausschließen.

[@Lilly_bee05]

Schreibe übermorgen Mathe, kann nichts 🥲

[@markusschlegel1924]

Kann mir jemand erklären wo man im realen Leben diesen Quatsch wissen muss. Wo brauche ich das.??

[@andreapoppini3993]

Wirtschaft: Preisfindung: Gewinnmaximierung Für dich: du bist Wirt in der Kneipe. Wie hoch darf der Preis für die Maß Bier sein, ohne dass deine Gäste zu Hause bleiben.

[@nothingisreal6345]

Computer Programme sind voll damit. An allen möglichen Ecken und Enden. Als Ingenieur braucht man sowas ständig. Nur macht man es dann nicht mehr von Hand, sondern verwendet SW.

[@markusschlegel1924]

@@andreapoppini3993 Hallo danke für die Antwort. Für mich ist Mathe immer recht abstrakt. Ich muss immer Beispiele aus der Praxis sehen um es besser zu verstehen.

[@hans7831]

@@markusschlegel1924 sich immer einen Praxisbezug vorzustellen ist in der Tat furchtbar mühselig und hinderlich. Trennen Sie sich davon und der Rucksack ist fort.

[@thstein5592]

@@hans7831 Evtl. mühselig aber sicher nicht hinderlich.

[@divad1478]

Sorry aber 30 sekunden werbung vor einem lernvideo ist nicht angebracht.

[@MathemaTrick]

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