福田のおもしろ数学378〜ある漸化式で定められる数列の最初の2025項が正で2026番目が初めて負になることが可能かどうかの検証

[@坂本有史]

講義の解法は気づきませんでした勉強になります。問題の趣旨から離れますがanの一般項を求めてみました。当初分数形式の漸化式を解くやり方で進めたところ、特性方程式の解にiが出てしまい挫折しかかりましたが強引にiを含む漸化式で解いているうちに（結論だけですが）　　　　　　an=(1+tan(nθ+φ)/2)/(1-tan((nθ+φ))/2)(またはan=cos(nθ+φ)/(1-sin(nθ+φ))が導けました。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(ただしcosθ=(1-c^2)/(1+c^2),sinθ=2c/(1+c^2),cosφ=2a0/((a0)^2+1),siinφ=((a0)^2-1)/((a0)^2+1)(例外条件等省略））　→（回り道ですがこの式からも今回の問題は解けます。iを含む漸化式は意外と面白いことに気づきました）

[@うっちゃん-e8e]

An₊1₌(An₊C)/(1₋AnC)よりAn₊1(1₋AnC)₌An₊Cより展開してCで割ると An₊1×An₋An₊1/C₊An/c₊1₌0　① ①より(An₊1₋1/C)(An₊1/C)₌₋1₋1/C^2₌₋(C^2₊1)/C^2　　② ②よりAn₊1₌1/C₋(C^2₊1)/C^2(An₊1/C）　　③ An₊1CのときA2024CよりA2023₌C₊α(α>0)とおく。 A2024₌1/C₋(C^2₊1)/C^2(C₊α₊1/C)₌1/C^2{C₋(C^2₊1)/(C₊α₊1/C)} ₌1/C^2{(C^2₊Cα₊1₋C^2₋1)/(C₊α₊1/C)}₌1/C^2(Cα/(C₊α₊1/C)}

[@みふゆもあ]

こりゃ正接の加法定理とか考えなくてもできるってわかった😊 y=x, y=(-x-c)/(cx-1)=-(1/c)-[1+(1/c²)]/[x-(1/c)]. 解けない漸化式で表される数列の極限を考える問題と同じように、この2つのグラフで漸化式を表現するとき、下の双曲線の漸近線とa(0)の値次第でa(2024)からa(2025)に移るときに正→負のジャンプが起こるような数列の定義が可能だから（グラフを考えてみてちょうだい）。 でも残念なことに動画のような説明ができる能力が私にはないのでした〜😓