Факториально-степенное сравнение ▶ №260 (Блок - интересные задачи)

Разбор интересной задачи.
Соц. сети: taplink.cc/pbvmaths
Запись на занятия и методички: t.me/PBVmaths_bot
Задачи присылайте через кнопку "Связаться" в группе ВК или на почту [e-mail]
По вопросам рекламы и сотрудничества: [e-mail]
Дзен : dzen.ru/id/642fb122d2ecc06176...
Rutube : rutube.ru/channel/30743103/
Поддержать канал: new.donatepay.ru/@1131362
Бусти: boosty.to/pbvmaths

[@sibedir]

Я нашёл решение, которое гораздо проще этого. Но оно не верное (

[@fluzter228]

Жиза

[@premixplayer1762]

Гений

[@MrBarthuk]

Это решается в уме и другим способом.

[@nilla-ya]

Тогда это не решение😂😂😂

[@-time677]

​@@MrBarthuk да? Ну и как же тогда, если ты такой умный?

[@Moon-nh2np]

Хорошее видео, быстро и понятно объяснили, спасибо, буду ждать еще.

[@PBVmaths]

Пожалуйста! Рад, что вам понравилось!

[@POJILOY_GeY]

Решил довольно просто. В уме взял вместо 2024 цифру 2, потом 3, потом 4 ,потом 5 и увидел, что левая часть всегда больше правой

[@debikk4204]

Чтобы такое решение зачли, нужно завернуть это в мат. индукцию, увы 😔

[@dtihert]

Осталось доказать, что это будет продолжаться всегда

[@RENGOKUFF-jl2tx]

Правильно я так тоже делал

[@sabagametactics381]

Браво очень красиво

[@slavafomin52]

Хоть 2024 фактуриал или степени не крути, как не крути никто не вернет 2007!

[@romank.6813]

Берем формулу Стирлинга и логарифм. В формуле Стирлинга выкидываем корень из два-пи-эн нафиг, он погоды не делает. Получаем слева 2024*log((2024/e)^2), а справа 2024*log(2024). Ну и (2024/е)^2 сильно больше, чем 2024. Левая часть с факториалом победила.

[@user-jp8jl5mg3v]

Как же он использует асимптотику для констант

[@excentrisitet7922]

Так-то оно так, но решение получается совсем не школьное, а тут - и восьмиклассник может до такого решения дойти.

[@dubvascl5840]

Формула Стирлинга это асимптотическая оценка, но не точный результат, так что просто так неизвестно насколько близко к приближению находится настоящий результат при фиксированном значении n

[@anon_commentator]

Боже, я надеюсь, решение этой задачи формулой Стирлинга - это такая пост-мета-ирония? Прошу, скажите что да

[@user-jp8jl5mg3v]

@@anon_commentator да

[@monstergvg]

питон очень спас) import math num1 = math.factorial(2024)**2 num2 = 2024**2024 if num1 > num2: print("факториал больше") elif num1 < num2: print("факториал меньше") else: print("они равны") ответ: факториал больше

[@user-zm4oy8hr4g]

Урааа Новые задачки

[@stanleyconnor6898]

Изящно🎉

[@Mibai_27]

Зделал почти так же . Круто

[@sprellefn3079]

Опачки, задача с отборочного Ломоносова, прикольно

[@PlatonAltei]

Интересно

[@DanielFrog]

Интересно!

[@PBVmaths]

Спасибо!

[@dmitrygurban8635]

Строго говоря, Ваше решение следует строго обосновать. Для этого пары необходимо сравнить с 2024, т.е. для n от 1 до 2024 необходимо проверить 2024 v n*(2025-n); 2024 v 2025*n - n^2; n^2 - 2025*n +2024 v 0; (n-1)*(n-2024) v 0 Отсюда видно, что для 12024^2024.

[@Snuryus]

Не нужны такие сложности. Одно из чисел в паре всегда больше 1012, а второе большее или равно 2. Их произведение всегда больше 2024

[@user-hs9sf2xe3u]

wow, it was supper , thanks a lot

[@kai_zer_ru]

Новая локация😊 давно не было видео 😊

[@PBVmaths]

Да, ремонт, переезд, куча дел было))

[@kai_zer_ru]

@@PBVmaths ремонт дело долгое, знакомо 😁

[@Vimble]

Красавчик

[@osafsharifzoda3224]

я в таких вопросах на экзамене сразу беру 2024!2 (к примеру) так как вопроса бы не было если бы ответ был бы другим вариантом. вопрос с подвохом. Знаю логика тупая но работает.

[@obezino6129]

Поставил в начале на паузу и один в один также решил

[@megatylen]

отличная задачка, можно усложнить до числа 2031, но так даже интереснее

[@bnorla]

Я нашла решение проще и ответ, в целом, правильный

[@user-lo9nk4xm5t]

не знаю, в чем проблема посчитать?

[@user-mo6ve6bm2q]

Намнрго проще сравнить маленькие натуральные числа например 4!^2и 4^4 что больше

[@mihail_sergeev]

Все на много проще. Взять маленькие числа, тройку, например, и просто посчитать, на больших числах будет то же самое.

[@PBVmaths]

Не всегда в математике работает так)

[@gorleghado2938]

советую эту же задачу в общем виде решить (n!)^2>=(n)^n для n>=2

[@suprimee7520]

Способ, показанный в видео, для натуральных n>=2: Что такое число (n!)^2? Для этого нужно вспомнить основное его свойство: n! = n * (n-1)! Возведя обе части уравнения в квадрат, то получим: (n!)^2 = n^2 * ((n-1)!)^2 Если продолжать процесс вплоть до ((n-(n-1))!)^2, то дробь будет такой: n^2 * (n-1)^2 * (n-2)^2 * (n-3)^2 * ... * 9 * 4 * 1. Теперь можно применить способ из видео: 1(n^2)*4(n-1)^2*9(n-2)^2*...*((n/2)-1)^2(n/2)^2 и каждый множитель сравнить с n^2 (для того, чтобы было одинаковое кол-во множителей для удобного сравнения), вот приведу пару примеров: 4(n-1)^2 > n^2 4(n-1)^2 = 4(n^2-n+1) = 4(n^2)-4n+4 3(n^2) - 4n + 4 > 0 9(n-2)^2 > n^2 9(n-2)^2 = 9(n^2-4n+4) = 9(n^2)-36n+36 8(n^2) - 36n + 36 > 0 Таким образом каждый такой множитель (n!)^2 будет больше множителей n^n, тем самым и само число (n!)^2 будет больше n^n. Только есть исключение в числе 2, так как (2!)^2 и 2^2 равны между собой. Ну вроде понятно объяснил

[@user-dl3wt3iz9u]

Не нужно заморачиваться. Если мы перейдём к пределу на бесконечности, и возьмём предел их соотношения, то выясним, что факториал возрастает быстрее любой степенной или показательной функции Потому смело можно ставить знак больше

[@-wx-78-]

Не знаю проще ли, короче ли: после извлечения корня поделим обе части на 1012!·2024¹⁰¹², слева будет 1013⁄2024·1014⁄2024·1015⁄2024·…·2024⁄2024, а справа 1⁄1·1⁄2·1⁄3·…·1⁄1012. Если сопоставить последний сомножитель слева первому справа, предпоследний - второму и так далее, станет очевидно что соответствующий левый сомножитель не меньше правого; а если отбросить равную первую пару - строго больше. Значит левая часть больше, откуда 2024! > 2024¹⁰¹² и (2024!)² > 2024²⁰²⁴. В принципе это было понятно с самого начала, если вспомнить что ln(n!) ~ n·ln(n)−n согласно формуле Стирлинга; то есть после логарифмирования слева примерно 2·2024·(ln(2024)−1), а справа 2024·ln(2024), что навскидку раза в два меньше: log₁₀2 ≈ 0.3 ⇒ log₁₀2024 ≈ 3.3 ln 10 ≈ 2.3 ⇒ ln(2024) = ln(10)·log₁₀2024 ≈ 2.3·3.3 = 7.59 2·2024·6.59 > 2024·7.59 ⇐ 2·6.59 > 7.59. P.S. А №259 только я не видел?

[@merero7416]

Да только ты

[@Khekmatiyar]

После видео чему равен 52! Ответ понятен и без вычислений

[@Snuryus]

Кстати это неравенство, в общем виде, часто используется как аксиома. n!^2 >= n^n >= n! >= n (равно только для n = 1 и 2, в остальных случаях строго больше) При решении неравенств со степенями и факториалом можно просто свести к одному из этих случаев и дальше не расписывать.

[@purwic]

не очень верно говорить что доказанное ранее это аксиома

[@user-gg4tp2dd9o]

Помню эту задачу в школьной олимпиаде давали. Решил через двойную матиндукцию, но не помню какие преобразования делал. Единственное что помню вылез второй замечательный предел в степенной части

[@_S.D_]

Мои гуманитарные мозги не поняли ничего

[@PaulNargo]

Если есть возможность и желание- разберите, пожалуйста, решение УРЧП. Очень интересный раздел. В университете, к сожалению, прошёл мимо меня(((

[@PBVmaths]

Если честно, желания нет)))) Извините)))

[@user-vj8zx8qt9p]

Калькулятор в обоих случаях выдаёт ∞

[@-time677]

Это у тебя калькулятор слабенький. Нормальный даёт в (2024!)²=4,17350037E11629... , а в 2024²⁰²⁴=5,889365820E6691... .

[@mindcore2819]

почему через логарифмирование это не сделать? можно прологарифмировать две части, применить свойство логарифма что умножение в аргументе дает нам сумму логарифмов, а после применить арифметическую прогрессию

[@PBVmaths]

Интересная идея!

[@OutlawFall]

Я сразу понял (2024!)^2 > (2024)^2024 Для меня это показалось логичным и разница огромная. Потребовалось около 3 секунд с начала момента как я увидел, можно печеньку? (В голове я так и представил, как расписал автор видео, и понял, что оно больше в разы).

[@user-vs5kw3kr4q]

Извлекаем корень, потом берем логарифм по основнию 2. Справа получаем ln2(2024^1012)=1012*ln2(2024)ln2(2)+ln2(2)=2*ln2(2)=2*1. Для второй ln2(4)+ln2(5)+ln2(6)+ln2(7)>4*ln2(4)=4*2=8 получаем, что ln2(2024!)>2*ln2(2)+...+512*ln(512)+1000*ln2(1024)> >512*ln2(512)+1000*ln2(1024)=512*9+1000*10=55108=14608 Получаем, что ln2(2024!)>14608>11132>ln2(2024^1012), а значит (2024!)^2>2024^2024

[@user-es7jg3qi8j]

Очень тривиальная задача.

[@user-ym3vf9yc9j]

просто сходу же на факториал смотришь и все

[@gector333]

Не смотрел видео, он считаю, что правое число больше. 1) Сначала избавляемся от квадрата и у одного числа, и у другого. Ибо если число больше другого, то и корень от него будет больше, при условии, что это положительные числа, которые больше единицы, а тут это очевидно. 2) Остаются числа 2024! и 2024^1012. В первом случае это 2024 умножений всех чисел от 1 до 2024, во втором случае это 1012 умножений чисел 2024. 3) В первом случае умножений в два раза больше, поэтому попробуем сгруппировать числа для сравнения. 4) (1*2024) равно 2024, (2*2023) больше 2024, (3*2022) больше 2024 ... (1012*1013) больше 2024. И на всём этом числовом промежутке спаренные числа из первого выражения больше или равны числам из второго выражения. Следовательно первое выражение больше второго. И соответственно квадрат первого выражения больше квадрата второго.

[@SS_Serge]

Факториал очень быстро растёт

[@user-ei6rd7ei7x]

Достаточно сравнить 2024! с 2024^1012. 2024!=(1•2024)•(2•2023)•…•(1012•1013)>2024•2024•…•2024=2024^1012.

[@tinylith1603]

Показать, что первое произведение больше, можно представив 2024=2*1012 Первый множитель 2024*1=2024, все остальные можно представить в виде m*n, где 2

[@cheliksssssssssss]

я ответил факториал потому что да,и потому что квадрат

[@King-tt4yw]

Формула: (x!)(^2) > x(^x) Пример 1. (3!)(^2) ? 3(^3) = 36 > 27 Пример 2. (5!)(^2) ? 5(^5) = 14400 > 3125 (2024!)(^2) > 2024(^2024)

[@Really_good_3]

блин я думал будет примерно одинаково

[@shnyagagagarin570]

Зачем такие сложности 2024^2024 больше Представим 2024! Там цифры идут по порядку и умножаются Следовательно чисел там будет 2024 И 2024^2024 имеет 2024 числа Только в первом случае эти числа всегда меньше 2024, а во втором всегда равны 2024 Значит 2024^2024 больше

[@6eccJlaBHblu_y6JlIOgok]

Только в условии не 2024!, внимательнее надо быть

[@fhffhff]

2π•2024*(2024/е²)²⁰²⁴>1

[@VladimirSmirnov-il5mn]

А, где задачка №259?

[@PBVmaths]

Пардон, видимо забыл про неё)

[@Integra4Gumengo]

Я не знаю, насколько короче или красивее, но вот как я решал бы: 2024! > 1*2*3*...*1012^1012 > 1*2*3*4*4*...*4*1012^1012 = 6 * (4 ^ 1009) * (1012^1012) = 6*(2^2018)*(1012^1012) > 6 * (2^1012) * (1012^1012) = 6* (2*1012)^1012 = 6 * (2024^1012) > 2024^1012

[@Integra4Gumengo]

Если что, здесь в каждом действии мы уменьшаем исходное выражение (1*2*3*...*2024), ограничивая все числа после какого-то в произведении (сначала после 1012, потом всё после 4 и до 1012). А дальше идут обычные действия со степенями. В таком доказательстве не нужно делить числа по парам или доказывать ещё какие то факты, чистая арифметика

[@user-bc6fk4qu4q]

А автор решает геометрические задачи? Есть одна, где нужна высокая точность и в задании высокая сложность.

[@PBVmaths]

Решает, присылайте!

[@user-gd8uv2sr6u]

Ого я гений! (Размышления до просмотра видео) : 4!² - неправильный(мой) квадрат факториала(2²*3²... n²) (4!)²- правильный Может (2024!)²= 1²*2²*3³...2024²? Нет, поскольку: (3!)²= 12²=144, но 2²*3²= 36, но ведь 36/3= 12? Проверю ещë раз 4? 4!²= 36*16=576, хммм что-то напоминает 576/4= 144((3!)²), так-с кажется понял(проверяю) 3!²/3= (2!)² Ага, значит (2024!)² = 2024!² * 2025 или 2025!²/ 2025 Ждите.. Пока что думаю дальше

[@pojuellavid]

Аффтар опустил важную вещь -- не привел доказательства , что каждое "парное" произведение слева неменьше 2024. Следовало бы написать n*(2025-n)-2024≥0

[@sergeykitov2760]

Извлечение корня лишнее действие, к тому же не работает для нечётных чисел. А такая задача явно подразумевает, что 2024 надо просто на n заменить.

[@VladimirSmirnov-il5mn]

Единомышленник!

[@funkymath5434]

не надо было корень брать

[@zanoza2015]

Как это может пригодиться в жизни? Кому это надо?

[@HedgehogGrandpa]

Я бы придрался к тому, что когда говорим, что каждая скобка из (1 * 2024) * (2 * 2023) * ... * (1012 * 1013) больше (кроме первой), чем 2024, то это не доказывается - вдруг в середина идут скобки, которые меньше, чем 2024. Но это больше придирка

[@dmitrygurban8635]

Я доказал это неравенство в основной ветке комментов. И на этот недостаток в решении автора указал. И это не придирка, а необходимость. Да, эти неравенства очевидны с житейской точки зрения. Но если мы докажем это математически - задача будет решена полностью.

[@TheAlaft]

"вдруг" не случится. Для натуральных чисел n и k всегда выполняется неравенство n*(n+k) >= (n-1)*(n+1+k)

[@HedgehogGrandpa]

@@TheAlaft я это понимаю. Поэтому и написал, что это больше придирка, так как этот факт легко доказуем. Но про монотонность выражений в скобках тоже ничего не было сказано

[@romank.6813]

Автор хочет задачек? Да пожалуйста! Доказать, что числитель дроби 1+1/2+1/3+1/4+...+1/100 делится на 101^2. Заместо 100 можно взять 2016, но тогда надо доказать делимость числителя на 2017^2.

[@PBVmaths]

А еще автор попросил присылать их на почту, если вы слушали)))

[@batawa]

Ну это теорема вольстенхольма)

[@SergeySvotin]

Отвратительное объяснение, корень брать не нужно, а нужно соазу разбить факториал в квадрате на произведения, + доказать для общего случая, что произведения в данном диапазоне больше 2024, а не просто заявить

[@QwDragon]

Корень можно было и не извлекать.

[@iljas275]

a zachem brat koren kvadratnij? mozo srazu takze dokazivat. No vi ne dokazali, chto kazdoe proizvedenie bolshe, chem 2024. Tut mozno primenit geometricheskij metod.

[@deusvult3792]

Это шутка? Здесь и без решения всё очевидно. Это всё равно что решать 2х2.