Жестокий интеграл из финала MIT integration bee 2024. 2 способа решения

В этом видео будем находить несобственный интеграл, который был в финале соревнований по интегрированию MIT integration bee в 2024 году. Предлагаю 2 разных способа решения: в 1-ом воспользуемся свойствами дигамма-функции, а во 2-ом - вычетами функции комплексной переменной.
00:00 Вступление
02:21 1-ый способ решения: через дигамма-функцию
12:37 2-ой способ решения: через вычеты ФКП
В этом видео разбор интеграла из финала 2023 года: • Интеграл из финала MIT...
Здесь 1-ое видео про дигамма-функцию: • Дигамма-функция. Часть...
Здесь 2-ое видео про дигамма-функцию: • Дигамма-функция. Часть...
Здесь найдены cos п/5 и sin п/10: • Найдём "золотые" косин...
Это старое видео, в котором на простом примере показано, как найти несобственный интеграл через вычеты (с выводом формулы): • Несобственный интеграл...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
регулярная поддержка: boosty.to/hmath

[@palermo5512]

Я как вопитанник детского сада, поражен простотой объяснения нахождения первообразной и вычисления интеграла

[@Nikita-fx]

Интегралы из MIT - это моя самая любимая тематика на канале, побольше бы таких на самом лучшем канале по данной тематике!

[@nikitakrivo456]

Я, как школьник, для которого интегрирование по частям - предел его возможностей, поражён красотой и тем, как глубока кроличья нора математики😅

[@luff2987]

повезло что в твоей школе дошли до интегралов, в большинстве их не изучают, от чего на 1 курсе нереально сложно

[@theworldofjokes]

​@@luff2987, мои одноклассники жалуются на учителя, потому что мы проходим интегралы, а их не будет на егэ

[@user-fe5xs6yg6e]

Мы в РГУ (сейчас ФЮУ) ТФКП и теорию вычетов проходили курсе на 4. Так что тут по сравнению со школой мозг должен быть уже изрядно сломан.

[@dtihert]

​@@luff2987повезло как раз тем, кому не впихивают кучу бредятины раньше, чем это нужно) Оставьте университетский курс студентам, а если интересно, изучайте САМОСТОЯТЕЛЬНО Учителю, да и детям, это вообще не упёрлось

[@user-vs4rz8po2s]

Интегрирование по частям в шкиле...? Я даже не знаю посочувствовать или наоборот порадоваться за вас

[@user-tm7su5td7v]

Благодарен за Ваше видео

[@user-dr2mz1sm8e]

Шикарно!

[@user-ts7ym8ct1y]

Учитывая, что Х^4+Х^3+Х^2+Х+1=(Х^2-2cos2π/5+1)(X^2-2cos4π/5+1) этот интеграл можно решать элементарными методами, разлагая исходную дробь на две и, решая полученные четыре элементарных интеграла получим ответ: I=π/√5(ctg(2π/5)-ctg(4π/5)), или I=π/(√5sin(π/5)). Поэтому это не так страшно, как кажется на первый взгляд. Естественно, что в радикалах будут громоздкие вычисления.

[@AlexeyEvpalov]

Круто! До решения через вычеты на комплексной плоскости, ещё можно догадаться, если с этим сталкивался, Но использовать Дигамма- функцию, даже представить трудно. Великолепное, серьёзное видео. Спасибо.

[@rajvo1]

Чад комплексный анализ Вёрджин реальный анализ

[@ftorum19]

Лучший канал по данной тематике😁

[@igorratnik2357]

Спасибо! Давно увлекался математикой. Просто было интересно, для души.

[@KPECHET_]

Меня хватило на 6 миеут, потом я совсем связь с реальностью потерял))) я даже не понял, как это видео мне предложили, я ж дискриминант с трудом помню со школы) но я честно старался вникнуть

[@Hmath]

у ютьюба странные алгоритмы :) мне тоже непонятно почему он предлагает один из самых сложных интегралов с моего канала, а не наоборот что-нибудь попроще :)

[@KPECHET_]

@@Hmath ну зато всё равно это было интересно) мозгами великовозрастного восьмиклассника пытаться уследить за ходом решения, пытаясь цепляться за знакомые символы)) я, кстати, всё же досмотрел) совсем ничего не понял, но досмотрел, не знаю зачем)))))))

[@wehg602n]

@@KPECHET_ не переживай, кроме автора здесь тоже никто ничего не понял)

[@HunSim]

Как мне нравится, когда в конце комплексное число "вдруг" превращается в действительное.

[@n_eros]

Математик ЖЁСТКО про интеграл

[@user-yl2vh5zp9d]

Когда-то я любые интегралы как орешки щелкал, а теперь смотрю и щелкаю только клювом ((

[@robsting5408]

Ну, на плоскости-то можно вспомнить. Все таки формулу геометрической прогрессии многие помнят. Остальное по вычетам, главное не ошибиться в алгебре. Но за 5 минут я бы его не вычислил😪

[@yarrdd2589]

Спасибо что я не один😂

[@user-ow1df5wb7r]

Первое решение понял и проследил, вторую часть нет. Спасибо что все промежуточные действия подробно показываете, не пропуская. Для меня представление на единичное окружности, не стало наглядным. Хотелось бы представление в виде функции, до и после интегрирования. Представление функции х квадрат плюс один в мнимых числах в видео вертдайдер, вызвало у меня самые глубокие впечатления и через 20-ть лет я понял для чего это всё нужно, это было озарение.

[@Risu0chan]

J'ai tout compris et je ne parle pas un mot de russe. Les maths sont une langue universelle. ♥

[@zhenshuang]

hero

[@user-oi3iv7oo4z]

Американские вузы почему-то традиционно обходят стороной ТФКП в учебной программе, поэтому для них это "жестокий интеграл из финала", а для российских студентов - упражнение на вычеты.

[@mkostya]

Круто

[@LiValeZ]

Сразу вспомнил первые 2 курса универа :) Спасибо

[@alexnikola7520]

жесть какая... не ну бОльшую половину я понял... но догадаться самому и вывести решение за 5 мин!!! хотел бы я посмотреть на этого парня... ну и автограф взять

[@sergeymayorov8677]

Если целыми днями тренироваться вычислять разные интегралы, то наверно можно надрачиться.

[@reckless_r]

Разберите, пожалуйста, тот, что был с целыми частями, тоже из финала. Выглядит вообще монструозно

[@user-bf3ko7ts5e]

Ещё не посмотрел. Но для вычетов нам точно нужно найти корни, ЕМНИП.

[@schism46]

2:51 Этот шаг можно выполнить без всяких тыканий в палец небом, если преобразовать многочлен в знаменателе как сумму 5 членов геометрической прогрессии.

[@Hmath]

так это не "тыканье в небо", а именно то, откуда эта формула для геометрической прогрессии и берется :)

[@sagittariusa5032]

Красотаааа🤩 Но тут толька записывать решение будешь больше 5ти минут😀

[@Hmath]

там решение не нужно на соревнованиях, только ответ :)

[@user-ts7ym8ct1y]

​@@HmathЗнаменатель разлагается на два многочлена второй степени: Х^4+Х^3+Х^2+Х+1= (Х^2-2cos(2π/5)Х+1)(X^2-2cos(4π/5)X+1) Используя метод неопределенных коэффициентов и решая четыре табличных интеграла находим значение исходного интеграла π/(√5sin(π/5))

[@Jorick_73]

@@user-ts7ym8ct1y Мудиться с этими коэффииентами приходтся изрядно - поболе 5 минут - я попробовал

[@pompei2]

А можете раасказать про вычеты - как математики пришли к пониманию вычетов, ну и что такое вычеты

[@igorkozlov4918]

Вопросов не бывает в двух случаях - когда все понял, и когда ничего не понял. Я ничего не понял, но вопрос есть. И что, кто-то решил эту хе-ню за 5 минут?

[@user-gy4et2ew2f]

Да, некоторые любят настаивать на комплЕксном анализе Было очень приятно услышать такое ударение :)

[@Jorick_73]

А я заметил, что на таком варианте ударения настаивают обычно те, кому больше нечем заняться.

[@michoug09]

интеграл без границ Спасибо 🇫🇷 🇷🇺

[@barackobama2910]

Второй способ реалистичен, и по молодости я бы его в олимпиадные 5 мин загнал, сейчас точно нет. Если у вас 5 минут то растет вероятность арифметической ошибки. Которая зависит от того, буянят ли ночью ваши соседи по общаге. Поэтому у нас не было таких олимпиад. И рпчему этот интеграл жестокий? Такое на контрольной по ТФКП могли бы вполне дать, правда там все 20 минут на него были бы. Ну и ответ с синусом бы засчитали. Но через спецфункции ... это для теоретиков старой закалки.

[@vikivanov5612]

Да, сложность только в скорости. Например, найти трюк с быстрым вычислением производной для вычета. А если медленно, то задачка без интриги.

[@Hmath]

кстати, интересно то, что уже несколько разборов появилось этого интеграла на других англоязычных каналах и везде, где мне попадалось, использовали дигамма-функцию (или сразу непосредственно формулу, которая вытекает из свойств дигамма-функции), а не вычеты. Так что видимо от традиций зависит: где-то наоборот про комплексный анализ меньше знают, чем про специальные функции.

[@barackobama2910]

@@vikivanov5612 Ну богатый янки живет в приличном кампусе, ночью спит, голова свежая, да еще чашка кофе для стимуляции. А вы попробуйте ночью поспать 4 часа и утром поесть того дерьма что дают в советской столовой а потом за 5 минут без права на ошибку. Я уже многократно говорил, что математику возненавидел именно из-за этого. Ну и советскую власть тоже.

[@stasessiya]

дать такое на контрольное по тфкп - студенту очевидно, что надо использовать вычеты, потому что это блин тфкп)) в обычных ситуациях рациональную функцию пытаются разлагать на простые дроби

[@vikivanov5612]

@@stasessiya многочлен 4-й степени можно разложить на 2 многочлена второй степени (и что дальше делать?), или на 4 первой с комплексными корнями. Сложновато получится.

[@ruslankinzibaev4480]

А нам на первом семинаре по тфкп как доп задание на дом предложили найти все корни многочлена вида x^n+x^(n-1)+...1=0 в комплексных числах. А потом когда прошли применение тфкп для интегралов нам и предложили похожий интеграл) удивительно, но почти вся группа на втором курсе сделала и то и то доп задание)

[@user-le1oc9js4h]

Вроде как, после приведения к интегралу от 0 до 1 можно дробь 1/(1-t^10) разложить в геометрическую прогрессию, и тогда задача сведется к интегрированию полиномов, правда получившиеся ряды могут быть сложнее, чем изначальный интеграл)

[@dtihert]

Когда увидел, сразу подумал о тропинке через поле уомплексных чисел)

[@mavzolej]

А тут, интересно, нельзя что-то сделать фейнмановским методом с дифференцированием по параметру? 🤔

[@user-qp1vj4os9k]

Можно было сразу догадаться что здесь речь идет о т.н. золотом сечении. Интегрирование повышает степень многочлена на единицу (диференцирование наоборот понижает на ту же самую 1). А раз так , то пояляется правильный пятиугольник,лежащий на боку и смотрящий вправо исходя из начальных условий. Кроме едидицы имеются две пары комплексно сопряженных корней, которые и дают нам известный результат.

[@timurnasyrov3335]

Студенты середины первого курса:ПОКИНУЛ(-а) ЧАТ

[@santashmyakus8516]

У вас ТФКП и Мат Физики просто ещё не было. Считать интегралы через особые точки и комплексную плоскость это стандартный приём.

[@user-dl8kq4eu6h]

Очень интересное видео, про нестандартный способ взятия интеграла, но хотелось бы поинтересоваться, где такому можно научиться (я про 1 способ), т.к. в стандартной литературе по математическому и функциональному анализу я таких приемов не видел, кто нибудь может посоветовать книгу где есть подобное?

[@Hmath]

Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции Там есть про дигамма-функцию. Это не лучшая книга, с которой можно начинать :) там все очень коротко, типа справочника. Я бы сам не прочь узнать про какие-нибудь книги, может кто-нибудь напишет :)

[@user-dl8kq4eu6h]

Спасибо, учту, не думаю, что могу сам что посоветовать, т.к. учусь только на 2 на физфаке)

[@GrimmUIG]

У нас на университетской олимпиаде была задача: Жгут длиной 1км. Левый конец жгута закреплен. В один момент с левого конца жгута начинает ползти червяк со скоростью 1 см/с, а другой конец начинают растягивать со скоростью 1 км/с. Вопрос, доползет ли червяк до правого конца жгута?

[@Hobbitangle]

Мда. За 5 минут я б такую задачку на соревнованиях не решил бы. Хотя сразу бы пошел по направлению второго метода, т.е. через вычеты в верхней комплексной полуплоскости. Играться с дигамма функцией, как по мне, тут лишнее. А вычеты в самый раз, в особенности используя преобразование знаменаля к виду 1-z^5 Спасибо. Кстати на канале '505 Math' есть этот же пример из MIT Bee в англоязычном варианте.

[@fd17bbd46]

охренеть

[@b33blebrox]

кОмплексные бывают обеды, а те некоторые, которые настаивают на комплЕксных, абсолютно правы)

[@Hmath]

тогда и обеды комплЕксные, почему же нет?

[@georgzikoff4986]

@@Hmath комплЕксный обед состоит из двух частей, за одну ты заплатил ( мнимая часть) и другую ты получил - ( действительная часть)

[@Hmath]

:) думаю, вы исходите из того, что слово комплЕксный - это какое-то абсолютно другое слово :) А на самом деле это то же самое, только с вывернутым ударением :) даже тут уже это же в комментариях обсуждали, можете почитать.

[@b33blebrox]

@@Hmath Есть профессиональный язык, а есть простонародный. Давайте скатимся в "инженерА", "одноАтомный газ", "теория вероятности". Я предпочитаю, чтобы ученые оставались учеными

[@huhtykto6903]

вот это приключения, боялся что перейдем на n-мерное пространства

[@barackobama2910]

И еще. Комплексные корни знаменателя автор вычислил очень быстро. Это раскладывает знаменатель на произведение скобок. Которое быстро и на автомате раскладывает дробь на 8 простых (занимает примерно 2 минуты в возрасте 60 лет, в молодости секунд 40 наверное). Так как все тут на автомате, то в реальных олимпиадных условиях это может быть и бестрее вычетов. Да, чуть громоздче, но много проще , все на автомате, ограничивает только скоростью руки что пишет формулу, типичный "интеграл на спичку", ничего жестокого. На "олимпиадном озверине" половина вычислений в уме, риск ошибки, но в 5 минут загоняется.

[@gurza7052]

никогда не думал, что мне будет так интересно слушать различные математические расчёты, осталось научиться самому так же круто считать😁

[@user-zn6fo9hs3g]

Интересно сколько бы ее решило на ЕГЭ? Если без вариантов ответа? Там конечно больше чем 5 минут и метод достаточно придумать всего один, но все равно вряд ли больше половины справилось.

[@sanpavlovich9726]

Я честно говоря так и не понял сути этого соревнования. Начинал смотреть финал 2023 года, первые три задачи ни один участник так и не решил. Ведущий зачастую говорил, что даже если бы писанина в ответе участников была верной, он бы все равно не мог её зачесть. Да и в целом кажется, что 5 минут на такого монстра - это очень мало. Плюс все равно никто толком и не справляется за такое короткое время. Спасибо за разбор!

[@alexandermorozov2248]

Нужно быть очень натасканным, чтобы сдавать такие экзамены 👍

[@smelf1422]

спасибо за ваши замечательные видео... могу ли я узнать, какое программное обеспечение вы используете для своих видео...

[@Hmath]

Сначала формулы в MathType, потом создаю картинки для каждого кадра в Photoshop, а потом все соединяю в видеоредакторе (в любом можно делать простые анимации, я с самого начала использовал простой movavi и привык уже) и записываю звук.

[@smelf1422]

Большое спасибо ; у тебя очень хорошая работа....

[@Hmath]

хорошая работа должна приносить хоть какой-то доход, а этой даже на еду не получается заработать, хаха :)

[@dcas7806]

Почему из окончательного диапазона интегрирования пропали точки 0 и 1?

[@Hobbitangle]

18:10 Обратил внимание на забавное упрощение при вычислении вычетов по корням уравнения z^5 =1 Выражение (z-1)/5z⁴=(z-1)•z/5z^5= (z-1)•z/5 Затем, второй корень уравнения равен квадрату первого, т.е. сумма вычетов будет (z -z²+z²-z⁴)/5=(z-z⁴)/5=(z-1/z)/5 Опять же потому что z^5=1 А теперь уже подставляем значение z=exp(i2π/5) и получаем ответ 4π/5•sin 2π/5

[@romangav747]

Жесть жестяная, почему я это делал 25 лет назад, а теперь я в ужасе

[@MrViktor755]

на 4.18 была замена х на (-х), на 4.28 обьеденяем 2 интеграла с равными пределами, далее при приведении к общему знаменателю, мы почему то начинаем считать х с левой стороны равным х справой стороны и перемножаем их по свойству степеней, но это разные переменные, которые не равны друг другу, и ранее доказательств их равенства приведено не было, если бы мы х заменили не на (-х), а на переменную "в", то при приведении дроби к общему знаменятел получили бы в числителе: 2+b+b(x^5)-x^5+b^5-x-x(b^5) в знаменателе: (1-b^5)(1-x^5), при обратной замене у нас получается в знаменателе (1-x^5)(1-x^5) - т.е. квадрат разности = 1-2(x^5)+x^10, а в числителе: 2-x+x^6-x^5-x^5-x+x^6 при упрощении получаем 2(1-x-x^5+x^6). т.е. совем другие значения числителей и знаменателя, следовательно первый способ решен неправильно, потому что он базируется на тезисе что в части подинтегрального выражения х замененый на (-х) почему то остается равным х, что не было доказано.

[@Hmath]

неверных способов здесь нет. разберитесь со свойствами интегралов на каких-нибудь простых примерах. возьмите, например, интеграл от х с пределами от 0 до 1 и попробуйте проделать аналогичные преобразования (разбить на 2 интеграла, сделать в каждом разные замены), при этом на каждом действии вычисляя для себя значение интеграла, чтобы убедиться что всё работает и нет никаких "разных х"

[@learningmeansdoing]

Не совсем понял один момент. В одном интеграле заменяем x=t, в другом x=1/t. Но ведь это получаются разные t? Как мы их потом можем складывать в единый интеграл?

[@Hmath]

Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления (т. 2) - 2003 страница 148. замена переменной в интеграле. здесь уже 6 раз отвечал на этот же вопрос. можно просто почитать комментарии.

[@ansobo]

Время на задание 5 минут. Выполнено за 10, не положено!!!

[@aircube485]

Чет про вычеты жестко, не было такого в универе

[@Hmath]

значит скорее всего у вас целого курса не было в программе. Это же зависит от вуза.

[@candycat5293]

Разбиваем интеграл на сумму интегралоов. В одном меняем x на t, а в другом на 1/ t. И потом их складываем. Давно у меня в жизни были интегралы, в связи с чем и вопрос: а так можно?

[@evgenykuzmin443]

Привет! Было интересно. В 5-53 вы заменили x->t, а в 6-07 x-1/t, т.е. t1 = x, t2 = 1/x, а дальше вы их суммируете как будто t1 и есть t2, это как?

[@Hmath]

если у определенных интегралов одинаковые пределы интегрирования, то сумма интегралов равна интегралу от суммы функций - свойство интеграла. Интеграл не зависит от того, какой буквой переменную в нем обозначить. Не понятно откуда берется убеждение, что 2 интеграла нельзя сложить, что у них какие-то "разные" переменные. Вроде в любой книге первое, о чем написано - это как делается замена переменной. Интеграл до замены связан с интегралом после замены только тем, что они равны одному и тому же числу, а букву для переменной можно любую выбрать. Ещё до этого места в видео я делал замену и просто x заменил на (-х) не вводя новой буквы для переменной. Странно, что это место вопросов не вызывает, хотя делается то же самое, что и дальше. И только здесь я уже 5 или 6ой раз отвечаю на этот вопрос. Можно ниже комментарии прочитать

[@user-gv8kz9jp3u]

я не понял, почему x заменили на t, а потом x заменили на 1/t и все сложили

[@ivanvorobiov9753]

Уверен, что все решившие студенты пользовались вторым способом, он по силе любому кто проходил тфкп, а вот первый действительно просто невозможно придумать за 5 минут

[@ivan_mustafaev]

Вы этот многочлен не разложите на множители, поскольку оно не имеет корней, если приравнять к нулю. Возможно получится на квадратные многочлены разложить.

[@Hmath]

ну если вы досмотрели видео, то могли заметить, что корни у него есть :) и 4 штуки, как и у любого многочлена 4-ой степени, только все они комплексные :) А так, конечно, его можно разложить только на квадратные многочлены с действительными коэффициентами. Но и в этом вполне помогут комплексные корни, если знать как их использовать

[@ivan_mustafaev]

​@@Hmath да, забыл уточнить, что оно не имеет действительных корней.

[@bezobrazie7607]

Пять мину-у-ут, Пять мину-у-ут, Разобраться, если строго, Даже в эти пять минут Можно сделать очень много! ....шел второй час решенич 😅😂😂😂😂

[@wehg602n]

после слов "дигамма" и "вычеты ФКП" захотелось посмотреть что-то попроще, т.к. из похожего я знаю только "диаграмма" и "вычет НДФЛ"🤣

[@slmarqol]

Gosto muito dos russos. Estudei em livro de cálculo de autor russo

[@pyromanglad1136]

Очень сложно, ниче не понятно, но автор красава

[@ddr364]

Объяснените кто-нибудь 7:54 как мы можем их объединить, если в первом интеграле t=x, а во втором t=1/x

[@Hmath]

под этим видео не так много комментариев. и даже тут я уже 2 раза отвечал на такой же вопрос. Странно, что никого не смущает, когда чуть раньше я делаю точно так же, только не ввожу новую переменную, а просто в одном интеграле x-> -x, а во втором ничего такого не делаю, а потом их объединяю в один. Без чтения книги по мат.анализу тут видимо не обойтись. У вас есть стойкое убеждение, что определенный интеграл хранит в себе историю всех сделанных в нем замен, но это не так. После того, как замена сделана, получившийся интеграл связан с предыдущим только тем, что они равны одному и тому же числу и всё. вот попробую на числах объяснить: 2+3=5 теперь запишу 2=4/2 - это же верное равенство теперь запишу 3=6/2 - тоже верное равенство но при этом число 2 не знает о том, что в этот же момент делается с числом 3, которое стояло рядом. получится: 4/2+6/2 - это всё еще равно 5 :) при этом 2 действия были отдельно и независимо сделаны с каждым слагаемым в сумме а теперь обратно объединяю: 4/2+6/2 = (4+6)/2 - так тоже можно сделать и в итоге, результат опять не меняется.

[@santashmyakus8516]

Переменная интегрирования это просто переменная интегрирования, какими буквами её не обозначай. Обозначьте x за y, 1/x за g и объедините интегралы в интеграл по переменной z. Для определённых интегралов одной области Sw(x)dx+Se(1/x)d(1/x)=Sw(y)dy+Se(g)dg=S(w(z)+e(z))dz=Sf(k)dk=...=С

[@user-nf7wx8bz7m]

Как же режут ухо эти "комплЕксные числа".

[@grigorybazhul]

Поясните, почему нужно брать корни комплексного многочлена только в верхней полуплоскости?

[@Hmath]

Это старое видео, в котором на простом примере показано, как найти несобственный интеграл через вычеты (с выводом формулы): kzbin.info/www/bejne/aYmmgXqcq8l6j8U

[@robsting5408]

Интеграл вдоль прямой можно представить как разность интеграла по замкнутому контуру и интеграла по полуокружности бесконечного радиуса. Контур можно замкнуть и в нижней полуплоскости, тогда нужно взять вычеты внизу.

[@grigorybazhul]

@@robsting5408 спасибо, уже разобрался:)

[@Nikolai.Nidvorai]

Я как человек с гуманитарным образованием всерьёз обеспокоен, не приведут ли ваши эксперименты к коллапсу волновой функции или образованию чёрной дыры

[@GamDevRus]

только если это будет мнимая ЧД

[@denscore1196]

7:49, у нас же t-шки двух интегралов это разные «функции» , разве мы можем их складывать?

[@user-id8uj2gu9d]

Как раз нельзя складывать тк, для каждого имеется "свой" t. То что он сложил можно считать ответ неверный

[@Hmath]

разберитесь сначала, как делается замена в определенном интеграле, а потом будете считать что-либо "неверным". Ответ, кстати, можно проверить в разных местах кроме того, что тут ещё и 2мя способами решено. И я на этот вопрос уже 4 раза отвечал здесь в комментариях. Кому было интересно, тот уже потратил полминуты и нашел ответ. У вас абсолютно неверное представление о замене переменной. Вы считаете, что где-то внутри интеграла хранится история сделанных в нем замен, а её там нет

[@dr1n]

В условии же от -бескончености до +бесконечности как мы перешли от 0 до 1?

[@user-in5gm4xt7e]

Замену же делали

[@AlekseyIV]

5:54 как мы заменяем х на t в 1 случае, а далее заменяем х на 1/t, если t это одно и то же число и мы в будущем сведем эти t к одному интегралу, но это же разные t или я что-то не понимаю 😢

[@Arxpetro]

У меня такой же вопрос

[@Hmath]

почитайте про замену переменной в определенном интеграле и посмотрите видео попроще. вот это, например: kzbin.info/www/bejne/nZDbd4t8d899ras

[@AlekseyIV]

​@@Hmathспасибо, всё понял😊

[@voxclamantisinextermo]

Решил немного по-другому: представил выражение в знаменателе 1+x+x^2+x^3+x^4 = (1/x^2 + 1/x +1 + x +x^2)*x^2 = ((x+1/x)^2+(x+1/x)-1)*x^2 = ((x+1/x)-phi)*((x+1/x)+phi-1)*x^2 Потом разложил знаменатель : 1/(5^0.5) *(int(dx/(x^2*(x+1/x-phi)*((x+1/x)+phi-1)))) - int(dx/x^2((x+1/x)+phi-1)); Потом разложил опять на слагаемые дробь, в общем интегралы int(dx/x) сократились, осталось 2: int((x+(phi-1)/2)dx/((x+(phi-1)/2)+1 - (phi-1)^2/4)) и int((x+phi)dx/((x+phi/2)^2+1 - (phi)^2/4)) Эти уже взялись с помощью арктангенса: arctg(x+(phi-1)/2)*1/(1 - (phi-1)^2/4)^0.5 - arctg(x+(phi)*1/(1 - (phi)^2/4)^0.5 x from -inf to inf

[@sluge1]

Что б такое решить за 5 минут надо монстром быть

[@user-xs5bo4mb8j]

Не хочу хвастаться , но я смог это решить через вычеты

[@stifeev388]

Показал бы еще как участники самого конкурса решали этот интеграл.

[@Hmath]

я при этом не присутствовал :) В прошлом году выкладывали на ютьюб такие видео, в этом году не находил.

[@stifeev388]

@@Hmath эх жаль. Я где-то видел записи на ютубе этих конкурсов, но, видимо, они не всегда выкладываются в таком случае.

[@Hmath]

да, я сам хотел посмотреть :) может еще будет.

[@Hmath]

выложили видео с соревнований: kzbin.info/www/bejne/mqrJfYB-fNODiJI ничего они не решили толком :) одно задание из 5 основных и еще одно задание из дополнительных :)

[@stifeev388]

@@Hmath ну, не все владеют секретным оружием в виде гамма-функций.

[@alexanderivanenko9605]

Титанически

[@dimart5326]

3-й способ решения (тернистый путь финалиста MIT integration bee 2024) 1. Внедряем чип-приемник подкожно 2. Распологаем группу поддержки вооруженную системой компютерной алгебры для аналитических вычислений в зоне устойчивой связи системы передатчик-приемник 3. Получаем задание 4. Произносим заклинание: "Профессор, конечно, ЛОПУХ!.. но аппаратура приНЁМ!.." ... Profit

[@user-bo5wv6vh2p]

Ну и как там в Массачусетсе ? Решили ?

[@Hmath]

не знаю, в этом году не выложили трансляцию с соревнований. Тоже интересно было. Может ещё выложат :)

[@user-sw1tk5ro5q]

(Я сейчас в 9): Офигеть, я силен в матанализе, я могу интегрировать Моя самооценка после просмотра этого видео, понимая, как еще далеко копать:↘️↘️↘️↘️↘️↘️

[@user-fw9xs7sg1d]

Все замены надо проверить, а это уже далеко не 5 минут.

[@CmonEE]

И все это за 5 мин надо сделать?

[@user-nw7zg8kz2y]

Ничего не понял.... Но интересно....

[@alexweb1786]

не хрена не понял,но интересно!

[@noname-mi3ld]

Подскажите пожалуйста софт в котором делаете анимацию

[@Hmath]

всё вручную :) Сначала формулы в MathType, потом создаю картинки для каждого кадра в Photoshop, а потом все соединяю в видеоредакторе (в любом можно делать простые анимации, я с самого начала использовал простой movavi и привык уже) и записываю звук.

[@wakawaka239]

x⁴+x³+x²+x+1=(x²+фx+1)(x²+(1-ф)x+1), под интегралом получим 1/(2ф-1)[(x+ф)/(x²+фx+1)-(x+1-ф)/(x²+(1-ф)x+1)]. Это уже через логарифмы и арктангенсы берется, но я сдался. 5 мин не хватило бы

[@Hmath]

да, даже если знать, что корни связаны с золотым сечением - все равно там огромные выражения получатся :)

[@igormatiushenko3673]

Доброго времени суток, может быть я глуп, но не въехал в замену переменных в первом интеграле заменили 'x' на 't', а во-втором 'x'='1/t'. Каким образом так? помогите разобраться)

[@Hmath]

почитайте про замену переменной в определенном интеграле и посмотрите примеры попроще. Определенный интеграл - это конкретное число и от всех преобразований требуется только одного, чтобы на каждом этапе это число не менялось. После того, как сделана замена, получился новый интеграл, но он равен предыдущему, как число. В нем не хранится никакой истории всех сделанных замен. Поэтому в видео одном интеграле отдельно делается одна замена, а в другом - другая. А потом они складываются опять же по свойству определенного интеграла.

[@igormatiushenko3673]

​@@Hmath, спасибо, осознал. Я рассматривал сумму интегралов как единое целое и соответственно замена переменной должна быть одна для обоих. Но получился новый интеграл, но он равен предыдущему, как число, в данном случае два. - благодарю за пояснение.

[@swampfolk2526]

Нда. насколько же я забыл тфкп за 25 то лет.

[@nesta2793]

Почему на 7:47 у дробей одинаковые знаменатели, если в первой дроби мы просто заменили x на t, а во втором x = 1/t? Если уж и делать замену, то наверное другую букву подставлять надо

[@Hmath]

интегралы с разными буквами для переменной - всё равно одинаковые интегралы. если другой буквой обозначить переменную - значение интеграла от этого не изменится. я уже десяток раз отвечал тут в крмментариях

[@igorsidorin3585]

Т.е. вот это надо бвор пешитьза 5-7 мин? No comments

[@user-fe5xs6yg6e]

Конечно, комплЕНксный. КОмплекс - это от комплекс, т.е. набор, состав. А комплЕксный - это от complexity - сложность. Конечно, в глубине у обоих этих слов этимология общая (как и у наших слов состав и сложение). Но именно если только на шаг назад от сегодняшнего дня она разная. Поэтому правильнее комплЕксный. комплЕксные числа = сложные числа.

[@Hmath]

complex numbers - ударение на 1-ый слог. Если уж вы ссылаетесь на complexity. В каких еще языках существует два "разных" слова "комплексный" с ударениями на разные слога, причем в зависимости от того к числам это относится или нет? Странно вообще настаивать на ударении, причем на таком, которое использует только некий маленький кружок, да и только с целью подчеркнуть свою "элитарность"

[@user-fe5xs6yg6e]

@@Hmath Вообще-то complex numbers - ударение на второй слог. Проверьте сами. И большинство как раз использует ударение на е. До сих пор я редко встречал людей, делающих ударение на первый слог, и эти люди были поверхностно знакомы с этими числами, или вообще откровенные фрики, например Катющик. Вы просто исключение какое-то! В принципе, говорят, хоть горшком назови, только в печь не сажай. но слух всё равно режет. Это примерно как когда говорят пи-аш вместо пэ-аш, как нас всегда учили.

[@Hmath]

Вообще-то complex numbers - ударение на первый слог. Проверьте сами. Если задаться целью, то можно найти вариант с ударением на второй слог, но странно отрицать, что большинство в английском ударение ставят на первый. Специально сейчас посмотрел в 5 разных словарях. вот пример: dictionary.cambridge.org/pronunciation/english/complex-number Если ваш круг ставит ударение на Е - это же не означает, что это единственный вариант, а все остальные - фрики. Есть, например, люди, которые во всех словах в русском языке в безударных слогах вместо О говорят А :) Тоже обычно считают, что это единственно правильный вариант, а за мкадом - фрики :) Думаю, что скоро уже и про это мне будут говорить: акцент не тот :) Я не против ударения на Е в слове комплексный, если такой вариант будет принят всеми как основной, но в русском уже есть более употребляемый вариант, а так произносят лишь для того, чтобы подчеркнуть свою принадлежность к некоторой профессиональной группе "математики" и только :) другой цели и смысла у этого варианта произношения никогда и не было.

[@user-fe5xs6yg6e]

@@Hmath Забавно. Я как раз сверялся по этой ссылке, что вы привели. Я слышу ударение на второй слог.

[@Hmath]

там даже написана транскрипция с ударением :) ударение на 2ой слог во французском языке: оттуда это и пришло в эпоху моды на французский язык.

[@almaska82]

Разве нельзя подынтегральную функцию разложить в сумму дробей многочленов?

[@Hmath]

можно. разложите! Напишите потом, что получилось при разложении

[@konstantinparchevsky2031]

Piece of a cake! x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+Ax+1)(x^2+Bx+1) equating the same power term's coefficients we get A=(1-sqrt(5))/2, B=(1+sqrt(5))/2. Now our integrand can be represented as a sum of two fractions 1/(x^4+x^3+x^2+x+1) = (Cx+D)/(x^2+Ax+1)+(Ex+F)/(x^2+Bx+1). Remember, A and B are known. To find C,D,E, and F, Bring this expression to the common denominator. In the numerator we have a polynomial in x. The numerator on the right hand side should be the same as the numerator on the left hand side (which is 1). Hence, coefficients at all powers of x should e 0. Free term should be 1. This gives us 4 equations for C,D,E,and F. Solving them, we get C=-1/sqrt(5) D=(sqrt(5)-1)/(2sqrt(5)) E=1/sqrt(5) F=(sqrt(5)+1)/(2sqrt(5)) Mission accomplished.

[@Jorick_73]

@@konstantinparchevsky2031 I doubt if it's possible to do in 5 minutes just using pen and hands. I tried to find C D E F this way and i gave up. Moreover from (x-exp(j2pi/5))*(x-exp(-2pi/5))=(x^2-2xcos(2pi/5)+1) it's not so obvious that 2cos(2pi/5)=(1+sqrt(5))/2.

[@alexnomad5509]

ООО.... смотрю как баран на ворота )))))))))) А было время, решал их достаточно неплохо.

[@user-mv2jh7ed4b]

Этож как нужно понимать предмет чтобы вот это всё успеть за 5 минут и без ошибок? Колдунство не иначе

[@Hmath]

да там никто не решил в итоге :)

[@user-mv2jh7ed4b]

А ну тогда ладно😂

[@user-se9nc4ri1z]

Я видимо единственный кто заметил, что это банально биноминальный коэффициент. Не, решение конечно красивое, но обычно эти вещи немного для другого используются.

[@Hmath]

а можно подробнее, что именно "это"? интеграл? или что? и что такое "биноминальный коэффициент" я только знаю "биномиальный коэффициент", вы это имели в виду? ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82 я просто не представляю, как это связано с интегралом? интересно

[@user-se9nc4ri1z]

@@Hmath А извиняюсь, я имел ввиду биноминальный дифференциал.

[@muroma3088]

Ещё некоторые говорят "пОлюсы", а некоторые -- "полюсА"

[@HunSim]

Отдельное спасибо за ударение в слове комплексный! А то замучили эти пуристы-франкофилы.

[@Xjxtimvbhf-ujnjdmczrdjqyt]

Интеграл разбили на 2, в первом делаем замену... и объединяем??? Так ведь разные переменные теперь под интегралами - как их можно объединять?

[@robsting5408]

Можно еще раз переобозначить ;)

[@andreybyl]

Именно что «комплЕксный анализ», потому что слово французское complex с ударением на Е, также как и понятие «клеточного комплЕкса» а не «кОмплекса» По известной поговорке математиков, кОмплексным бывает только обед

[@Hmath]

а почему французское слово? Почему не английское, например? Тогда бы ударение было на другой слог. В русском уже есть одно слово "комплексный" с ударением на первый слог, зачем нужно еще одно, которое означает то же самое, но с ударением на 2-ой слог? Почему с обедом одно ударение, а с числами другое? Во французском языке так же?

[@andreybyl]

@@Hmath так получилось, что многие термины и обозначения в анализе пришли из французского, те же вычеты, главное значение интеграла итд, что и не удивительно ибо в основном анализ был развит усилиями именно французских математиков, особенно коплЕксный анализ. Так что хотя бы из этих соображений корректнее говорить компЕксный, хотя строго формально можно говорить и так и так. Но попробуйте сказать кому-нибудь геометру «клеточный кОмплекс»)

[@Hmath]

это всё-таки пережиток былых времен. В 18 веке была мода на французские слова и вот эта "элитарность" математики: она была доступна только дворянскому сословию и именно для этого и сделали ударение на другой слог, чтобы отделить свой "кружок" от всех остальных. Какой еще смысл сейчас в этом? Я не против ударения на другой слог, но тогда давайте и обед тоже сделаем комплЕксным, зачем же разные ударения в одном и том же слове, в одном и том же языке? Ну или же есть другой вариант: каждый ставит ударение так, как ему ближе, и посмотрим какой в итоге вариант произношения выживет.

[@GregShyBoy]

@@Hmath > А почему французское слово? Российская школа математики наследует французской. Так, у нас десятичная запятая, а не десятичная точка. Мы пишем tg(x) и ctg(x) вместо tan(x) и cot(x). Пределы у интеграла пишем сверху, а не сбоку. Пережиток? Наверное. Зато гомогенненько :)

[@Hmath]

tan и cot сейчас и во Франции, и в Германии. А в 19 веке в немецких справочниках было tg и ctg. Так что это еще вопрос французская ли школа :) Эйлер же не француз :) А математику в России двигал 30 лет :)

[@l_mm_l]

Математика единственный язык на котором говорят и понимают лишь малая часть людей..

[@poizaz]

Товарищ полковник сказал нам на занятиях по тактике, что он использовал интеграл один раз в жизни: согнул проволку в виде интеграла чтобы достать пистолет из сортирной ямы.

[@Mapat2401]

ну как, НУ КАК такой простой и симметричный интеграл оказывается таким неберущимся

[@Hmath]

нее, ну первообразную тут всё-таки можно найти через элементарные функции :) Только там такое "приятное" выражение получается, что на экран бы не влезло, пришлось бы шрифт в 2 раза уменьшать :)