Жестокий интеграл из финала MIT integration bee 2024. 2 способа решения

[@palermo5512]

Я как вопитанник детского сада, поражен простотой объяснения нахождения первообразной и вычисления интеграла

[@Serghey_83]

😂😂😂

[@Nikita-fx]

Интегралы из MIT - это моя самая любимая тематика на канале, побольше бы таких на самом лучшем канале по данной тематике!

[@rajvo1]

Чад комплексный анализ Вёрджин реальный анализ

[@AlexeyEvpalov]

Круто! До решения через вычеты на комплексной плоскости, ещё можно догадаться, если с этим сталкивался, Но использовать Дигамма- функцию, даже представить трудно. Великолепное, серьёзное видео. Спасибо.

[@ftorum19]

Лучший канал по данной тематике😁

[@nikitakrivo456]

Я, как школьник, для которого интегрирование по частям - предел его возможностей, поражён красотой и тем, как глубока кроличья нора математики😅

[@luff2987]

повезло что в твоей школе дошли до интегралов, в большинстве их не изучают, от чего на 1 курсе нереально сложно

[@BarbieKen7]

​@@luff2987, мои одноклассники жалуются на учителя, потому что мы проходим интегралы, а их не будет на егэ

[@АлександрКузнецов-д6п6г]

Мы в РГУ (сейчас ФЮУ) ТФКП и теорию вычетов проходили курсе на 4. Так что тут по сравнению со школой мозг должен быть уже изрядно сломан.

[@dtihert]

​@@luff2987повезло как раз тем, кому не впихивают кучу бредятины раньше, чем это нужно) Оставьте университетский курс студентам, а если интересно, изучайте САМОСТОЯТЕЛЬНО Учителю, да и детям, это вообще не упёрлось

[@Владилен-й3ч]

Интегрирование по частям в шкиле...? Я даже не знаю посочувствовать или наоборот порадоваться за вас

[@МиколаДзядук]

Учитывая, что Х^4+Х^3+Х^2+Х+1=(Х^2-2cos2π/5+1)(X^2-2cos4π/5+1) этот интеграл можно решать элементарными методами, разлагая исходную дробь на две и, решая полученные четыре элементарных интеграла получим ответ: I=π/√5(ctg(2π/5)-ctg(4π/5)), или I=π/(√5sin(π/5)). Поэтому это не так страшно, как кажется на первый взгляд. Естественно, что в радикалах будут громоздкие вычисления.

[@schism46]

2:51 Этот шаг можно выполнить без всяких тыканий в палец небом, если преобразовать многочлен в знаменателе как сумму 5 членов геометрической прогрессии.

[@Hmath]

так это не "тыканье в небо", а именно то, откуда эта формула для геометрической прогрессии и берется :)

[@HunSim]

Как мне нравится, когда в конце комплексное число "вдруг" превращается в действительное.

[@Kvintanin]

Математик ЖЁСТКО про интеграл

[@НиколайЧуприк-ъ4с]

Американские вузы почему-то традиционно обходят стороной ТФКП в учебной программе, поэтому для них это "жестокий интеграл из финала", а для российских студентов - упражнение на вычеты.

[@maslajj]

Когда-то, в универе от препода услышал:" производную найти каждый сможет, по правилам, а вот интегралы решать это искусство" мне сейчас 32 и я понимаю насколько можно углубиться

[@Risu0chan]

J'ai tout compris et je ne parle pas un mot de russe. Les maths sont une langue universelle. ♥

[@zhenshuang]

hero

[@АлександрМорозов-л1г]

Шикарно!

[@МаркАврелий-э2г]

Когда-то я любые интегралы как орешки щелкал, а теперь смотрю и щелкаю только клювом ((

[@robsting5408]

Ну, на плоскости-то можно вспомнить. Все таки формулу геометрической прогрессии многие помнят. Остальное по вычетам, главное не ошибиться в алгебре. Но за 5 минут я бы его не вычислил😪

[@yarrdd2589]

Спасибо что я не один😂

[@KPECHET_]

Меня хватило на 6 миеут, потом я совсем связь с реальностью потерял))) я даже не понял, как это видео мне предложили, я ж дискриминант с трудом помню со школы) но я честно старался вникнуть

[@Hmath]

у ютьюба странные алгоритмы :) мне тоже непонятно почему он предлагает один из самых сложных интегралов с моего канала, а не наоборот что-нибудь попроще :)

[@KPECHET_]

@@Hmath ну зато всё равно это было интересно) мозгами великовозрастного восьмиклассника пытаться уследить за ходом решения, пытаясь цепляться за знакомые символы)) я, кстати, всё же досмотрел) совсем ничего не понял, но досмотрел, не знаю зачем)))))))

[@wehg602n]

@@KPECHET_ не переживай, кроме автора здесь тоже никто ничего не понял)

[@alexnikola7520]

жесть какая... не ну бОльшую половину я понял... но догадаться самому и вывести решение за 5 мин!!! хотел бы я посмотреть на этого парня... ну и автограф взять

[@sergeymayorov8677]

Если целыми днями тренироваться вычислять разные интегралы, то наверно можно надрачиться.

[@lifej352]

Огромное вам спасибо за лучшее объяснения

[@barackobama2910]

Второй способ реалистичен, и по молодости я бы его в олимпиадные 5 мин загнал, сейчас точно нет. Если у вас 5 минут то растет вероятность арифметической ошибки. Которая зависит от того, буянят ли ночью ваши соседи по общаге. Поэтому у нас не было таких олимпиад. И рпчему этот интеграл жестокий? Такое на контрольной по ТФКП могли бы вполне дать, правда там все 20 минут на него были бы. Ну и ответ с синусом бы засчитали. Но через спецфункции ... это для теоретиков старой закалки.

[@vikivanov5612]

Да, сложность только в скорости. Например, найти трюк с быстрым вычислением производной для вычета. А если медленно, то задачка без интриги.

[@Hmath]

кстати, интересно то, что уже несколько разборов появилось этого интеграла на других англоязычных каналах и везде, где мне попадалось, использовали дигамма-функцию (или сразу непосредственно формулу, которая вытекает из свойств дигамма-функции), а не вычеты. Так что видимо от традиций зависит: где-то наоборот про комплексный анализ меньше знают, чем про специальные функции.

[@barackobama2910]

@@vikivanov5612 Ну богатый янки живет в приличном кампусе, ночью спит, голова свежая, да еще чашка кофе для стимуляции. А вы попробуйте ночью поспать 4 часа и утром поесть того дерьма что дают в советской столовой а потом за 5 минут без права на ошибку. Я уже многократно говорил, что математику возненавидел именно из-за этого. Ну и советскую власть тоже.

[@stasessiya]

дать такое на контрольное по тфкп - студенту очевидно, что надо использовать вычеты, потому что это блин тфкп)) в обычных ситуациях рациональную функцию пытаются разлагать на простые дроби

[@vikivanov5612]

@@stasessiya многочлен 4-й степени можно разложить на 2 многочлена второй степени (и что дальше делать?), или на 4 первой с комплексными корнями. Сложновато получится.

[@igorratnik2357]

Спасибо! Давно увлекался математикой. Просто было интересно, для души.

[@igorkozlov4918]

Вопросов не бывает в двух случаях - когда все понял, и когда ничего не понял. Я ничего не понял, но вопрос есть. И что, кто-то решил эту хе-ню за 5 минут?

[@vladosk-lv6kp]

Как говорил мой декан - обед у вас кОмплексный, а анализ комплЕксный)

[@Олег-к8т7ф]

Благодарен за Ваше видео

[@michoug09]

интеграл без границ Спасибо 🇫🇷 🇷🇺

[@ИванИванов-р6ф7н]

Да, некоторые любят настаивать на комплЕксном анализе Было очень приятно услышать такое ударение :)

[@Jorick_73]

А я заметил, что на таком варианте ударения настаивают обычно те, кому больше нечем заняться.

[@АлексейКулак-ж8з]

Первое решение понял и проследил, вторую часть нет. Спасибо что все промежуточные действия подробно показываете, не пропуская. Для меня представление на единичное окружности, не стало наглядным. Хотелось бы представление в виде функции, до и после интегрирования. Представление функции х квадрат плюс один в мнимых числах в видео вертдайдер, вызвало у меня самые глубокие впечатления и через 20-ть лет я понял для чего это всё нужно, это было озарение.

[@Hobbitangle]

18:10 Обратил внимание на забавное упрощение при вычислении вычетов по корням уравнения z^5 =1 Выражение (z-1)/5z⁴=(z-1)•z/5z^5= (z-1)•z/5 Затем, второй корень уравнения равен квадрату первого, т.е. сумма вычетов будет (z -z²+z²-z⁴)/5=(z-z⁴)/5=(z-1/z)/5 Опять же потому что z^5=1 А теперь уже подставляем значение z=exp(i2π/5) и получаем ответ 4π/5•sin 2π/5

[@sagittariusa5032]

Красотаааа🤩 Но тут толька записывать решение будешь больше 5ти минут😀

[@Hmath]

там решение не нужно на соревнованиях, только ответ :)

[@МиколаДзядук]

​@@HmathЗнаменатель разлагается на два многочлена второй степени: Х^4+Х^3+Х^2+Х+1= (Х^2-2cos(2π/5)Х+1)(X^2-2cos(4π/5)X+1) Используя метод неопределенных коэффициентов и решая четыре табличных интеграла находим значение исходного интеграла π/(√5sin(π/5))

[@Jorick_73]

@@МиколаДзядук Мудиться с этими коэффииентами приходтся изрядно - поболе 5 минут - я попробовал

[@ВалерийГайнанов-и5г]

Вроде как, после приведения к интегралу от 0 до 1 можно дробь 1/(1-t^10) разложить в геометрическую прогрессию, и тогда задача сведется к интегрированию полиномов, правда получившиеся ряды могут быть сложнее, чем изначальный интеграл)

[@MrViktor755]

на 4.18 была замена х на (-х), на 4.28 обьеденяем 2 интеграла с равными пределами, далее при приведении к общему знаменателю, мы почему то начинаем считать х с левой стороны равным х справой стороны и перемножаем их по свойству степеней, но это разные переменные, которые не равны друг другу, и ранее доказательств их равенства приведено не было, если бы мы х заменили не на (-х), а на переменную "в", то при приведении дроби к общему знаменятел получили бы в числителе: 2+b+b(x^5)-x^5+b^5-x-x(b^5) в знаменателе: (1-b^5)(1-x^5), при обратной замене у нас получается в знаменателе (1-x^5)(1-x^5) - т.е. квадрат разности = 1-2(x^5)+x^10, а в числителе: 2-x+x^6-x^5-x^5-x+x^6 при упрощении получаем 2(1-x-x^5+x^6). т.е. совем другие значения числителей и знаменателя, следовательно первый способ решен неправильно, потому что он базируется на тезисе что в части подинтегрального выражения х замененый на (-х) почему то остается равным х, что не было доказано.

[@Hmath]

неверных способов здесь нет. разберитесь со свойствами интегралов на каких-нибудь простых примерах. возьмите, например, интеграл от х с пределами от 0 до 1 и попробуйте проделать аналогичные преобразования (разбить на 2 интеграла, сделать в каждом разные замены), при этом на каждом действии вычисляя для себя значение интеграла, чтобы убедиться что всё работает и нет никаких "разных х"

[@b33blebrox]

кОмплексные бывают обеды, а те некоторые, которые настаивают на комплЕксных, абсолютно правы)

[@Hmath]

тогда и обеды комплЕксные, почему же нет?

[@georgzikoff4986]

@@Hmath комплЕксный обед состоит из двух частей, за одну ты заплатил ( мнимая часть) и другую ты получил - ( действительная часть)

[@Hmath]

:) думаю, вы исходите из того, что слово комплЕксный - это какое-то абсолютно другое слово :) А на самом деле это то же самое, только с вывернутым ударением :) даже тут уже это же в комментариях обсуждали, можете почитать.

[@b33blebrox]

@@Hmath Есть профессиональный язык, а есть простонародный. Давайте скатимся в "инженерА", "одноАтомный газ", "теория вероятности". Я предпочитаю, чтобы ученые оставались учеными

[@ВикторКонтуров]

​@@b33blebroxА что не так с одноАтомным газом?

[@The_Earth_One]

А нам на первом семинаре по тфкп как доп задание на дом предложили найти все корни многочлена вида x^n+x^(n-1)+...1=0 в комплексных числах. А потом когда прошли применение тфкп для интегралов нам и предложили похожий интеграл) удивительно, но почти вся группа на втором курсе сделала и то и то доп задание)

[@pompei2]

А можете раасказать про вычеты - как математики пришли к пониманию вычетов, ну и что такое вычеты

[@viktor-kolyadenko]

Ещё не посмотрел. Но для вычетов нам точно нужно найти корни, ЕМНИП.

[@Petro-c8m]

Можно было сразу догадаться что здесь речь идет о т.н. золотом сечении. Интегрирование повышает степень многочлена на единицу (диференцирование наоборот понижает на ту же самую 1). А раз так , то пояляется правильный пятиугольник,лежащий на боку и смотрящий вправо исходя из начальных условий. Кроме едидицы имеются две пары комплексно сопряженных корней, которые и дают нам известный результат.

[@ntgazetnajautka]

Студенты середины первого курса:ПОКИНУЛ(-а) ЧАТ

[@santashmyakus8516]

У вас ТФКП и Мат Физики просто ещё не было. Считать интегралы через особые точки и комплексную плоскость это стандартный приём.

[@АртёмЗахаров-р8т]

Очень интересное видео, про нестандартный способ взятия интеграла, но хотелось бы поинтересоваться, где такому можно научиться (я про 1 способ), т.к. в стандартной литературе по математическому и функциональному анализу я таких приемов не видел, кто нибудь может посоветовать книгу где есть подобное?

[@Hmath]

Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции Там есть про дигамма-функцию. Это не лучшая книга, с которой можно начинать :) там все очень коротко, типа справочника. Я бы сам не прочь узнать про какие-нибудь книги, может кто-нибудь напишет :)

[@АртёмЗахаров-р8т]

Спасибо, учту, не думаю, что могу сам что посоветовать, т.к. учусь только на 2 на физфаке)

[@LiValeZ]

Сразу вспомнил первые 2 курса универа :) Спасибо

[@slavinojunepri7648]

Good stuff

[@ansobo]

Время на задание 5 минут. Выполнено за 10, не положено!!!

[@barackobama2910]

И еще. Комплексные корни знаменателя автор вычислил очень быстро. Это раскладывает знаменатель на произведение скобок. Которое быстро и на автомате раскладывает дробь на 8 простых (занимает примерно 2 минуты в возрасте 60 лет, в молодости секунд 40 наверное). Так как все тут на автомате, то в реальных олимпиадных условиях это может быть и бестрее вычетов. Да, чуть громоздче, но много проще , все на автомате, ограничивает только скоростью руки что пишет формулу, типичный "интеграл на спичку", ничего жестокого. На "олимпиадном озверине" половина вычислений в уме, риск ошибки, но в 5 минут загоняется.

[@sanpavlovich9726]

Я честно говоря так и не понял сути этого соревнования. Начинал смотреть финал 2023 года, первые три задачи ни один участник так и не решил. Ведущий зачастую говорил, что даже если бы писанина в ответе участников была верной, он бы все равно не мог её зачесть. Да и в целом кажется, что 5 минут на такого монстра - это очень мало. Плюс все равно никто толком и не справляется за такое короткое время. Спасибо за разбор!

[@КотовВадим-ж1я]

Что такое интеграл? По определению интэграс сумма. Суммирование бесконечно малых?

[@GrimmUIG]

У нас на университетской олимпиаде была задача: Жгут длиной 1км. Левый конец жгута закреплен. В один момент с левого конца жгута начинает ползти червяк со скоростью 1 см/с, а другой конец начинают растягивать со скоростью 1 км/с. Вопрос, доползет ли червяк до правого конца жгута?

[@ddr364]

Объяснените кто-нибудь 7:54 как мы можем их объединить, если в первом интеграле t=x, а во втором t=1/x

[@Hmath]

под этим видео не так много комментариев. и даже тут я уже 2 раза отвечал на такой же вопрос. Странно, что никого не смущает, когда чуть раньше я делаю точно так же, только не ввожу новую переменную, а просто в одном интеграле x-> -x, а во втором ничего такого не делаю, а потом их объединяю в один. Без чтения книги по мат.анализу тут видимо не обойтись. У вас есть стойкое убеждение, что определенный интеграл хранит в себе историю всех сделанных в нем замен, но это не так. После того, как замена сделана, получившийся интеграл связан с предыдущим только тем, что они равны одному и тому же числу и всё. вот попробую на числах объяснить: 2+3=5 теперь запишу 2=4/2 - это же верное равенство теперь запишу 3=6/2 - тоже верное равенство но при этом число 2 не знает о том, что в этот же момент делается с числом 3, которое стояло рядом. получится: 4/2+6/2 - это всё еще равно 5 :) при этом 2 действия были отдельно и независимо сделаны с каждым слагаемым в сумме а теперь обратно объединяю: 4/2+6/2 = (4+6)/2 - так тоже можно сделать и в итоге, результат опять не меняется.

[@santashmyakus8516]

Переменная интегрирования это просто переменная интегрирования, какими буквами её не обозначай. Обозначьте x за y, 1/x за g и объедините интегралы в интеграл по переменной z. Для определённых интегралов одной области Sw(x)dx+Se(1/x)d(1/x)=Sw(y)dy+Se(g)dg=S(w(z)+e(z))dz=Sf(k)dk=...=С

[@denscore1196]

7:49, у нас же t-шки двух интегралов это разные «функции» , разве мы можем их складывать?

[@ВильнурАхмедьянов-о2р]

Как раз нельзя складывать тк, для каждого имеется "свой" t. То что он сложил можно считать ответ неверный

[@Hmath]

разберитесь сначала, как делается замена в определенном интеграле, а потом будете считать что-либо "неверным". Ответ, кстати, можно проверить в разных местах кроме того, что тут ещё и 2мя способами решено. И я на этот вопрос уже 4 раза отвечал здесь в комментариях. Кому было интересно, тот уже потратил полминуты и нашел ответ. У вас абсолютно неверное представление о замене переменной. Вы считаете, что где-то внутри интеграла хранится история сделанных в нем замен, а её там нет

[@candycat5293]

Разбиваем интеграл на сумму интегралоов. В одном меняем x на t, а в другом на 1/ t. И потом их складываем. Давно у меня в жизни были интегралы, в связи с чем и вопрос: а так можно?

[@Archik4]

И такое нужно за 5 минут решить. Я не уверен, что ответ успел бы переписать за это время. Если это делать мелом на доске.

[@ivanvorobiov9753]

Уверен, что все решившие студенты пользовались вторым способом, он по силе любому кто проходил тфкп, а вот первый действительно просто невозможно придумать за 5 минут

[@mavzolej]

А тут, интересно, нельзя что-то сделать фейнмановским методом с дифференцированием по параметру? 🤔

[@m_stifeev]

Показал бы еще как участники самого конкурса решали этот интеграл.

[@Hmath]

я при этом не присутствовал :) В прошлом году выкладывали на ютьюб такие видео, в этом году не находил.

[@m_stifeev]

@@Hmath эх жаль. Я где-то видел записи на ютубе этих конкурсов, но, видимо, они не всегда выкладываются в таком случае.

[@Hmath]

да, я сам хотел посмотреть :) может еще будет.

[@Hmath]

выложили видео с соревнований: kzbin.info/www/bejne/mqrJfYB-fNODiJI ничего они не решили толком :) одно задание из 5 основных и еще одно задание из дополнительных :)

[@m_stifeev]

@@Hmath ну, не все владеют секретным оружием в виде гамма-функций.

[@dtihert]

Когда увидел, сразу подумал о тропинке через поле уомплексных чисел)

[@Nikolai.Nidvorai]

Я как человек с гуманитарным образованием всерьёз обеспокоен, не приведут ли ваши эксперименты к коллапсу волновой функции или образованию чёрной дыры

[@GamDevRus]

только если это будет мнимая ЧД

[@startstop24]

Ну и как там в Массачусетсе ? Решили ?

[@Hmath]

не знаю, в этом году не выложили трансляцию с соревнований. Тоже интересно было. Может ещё выложат :)

[@sluge1]

Что б такое решить за 5 минут надо монстром быть

[@Hobbitangle]

Мда. За 5 минут я б такую задачку на соревнованиях не решил бы. Хотя сразу бы пошел по направлению второго метода, т.е. через вычеты в верхней комплексной полуплоскости. Играться с дигамма функцией, как по мне, тут лишнее. А вычеты в самый раз, в особенности используя преобразование знаменаля к виду 1-z^5 Спасибо. Кстати на канале '505 Math' есть этот же пример из MIT Bee в англоязычном варианте.

[@mkostya]

Круто

[@polymfrom]

Как же режут ухо эти "комплЕксные числа".

[@huhtykto6903]

вот это приключения, боялся что перейдем на n-мерное пространства

[@AlekseyIV]

5:54 как мы заменяем х на t в 1 случае, а далее заменяем х на 1/t, если t это одно и то же число и мы в будущем сведем эти t к одному интегралу, но это же разные t или я что-то не понимаю 😢

[@Arxpetro]

У меня такой же вопрос

[@Hmath]

почитайте про замену переменной в определенном интеграле и посмотрите видео попроще. вот это, например: kzbin.info/www/bejne/nZDbd4t8d899ras

[@AlekseyIV]

​@@Hmathспасибо, всё понял😊

[@learningmeansdoing]

Не совсем понял один момент. В одном интеграле заменяем x=t, в другом x=1/t. Но ведь это получаются разные t? Как мы их потом можем складывать в единый интеграл?

[@Hmath]

Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления (т. 2) - 2003 страница 148. замена переменной в интеграле. здесь уже 6 раз отвечал на этот же вопрос. можно просто почитать комментарии.

[@ivan_577]

Вы этот многочлен не разложите на множители, поскольку оно не имеет корней, если приравнять к нулю. Возможно получится на квадратные многочлены разложить.

[@Hmath]

ну если вы досмотрели видео, то могли заметить, что корни у него есть :) и 4 штуки, как и у любого многочлена 4-ой степени, только все они комплексные :) А так, конечно, его можно разложить только на квадратные многочлены с действительными коэффициентами. Но и в этом вполне помогут комплексные корни, если знать как их использовать

[@ivan_577]

​@@Hmath да, забыл уточнить, что оно не имеет действительных корней.

[@romangav747]

Жесть жестяная, почему я это делал 25 лет назад, а теперь я в ужасе

[@ИванЛеонов-о3в]

Не хочу хвастаться , но я смог это решить через вычеты

[@ДмитрийНестерович-м4т]

я не понял, почему x заменили на t, а потом x заменили на 1/t и все сложили

[@СергейКузюбердин]

Все замены надо проверить, а это уже далеко не 5 минут.

[@alexandermorozov2248]

Нужно быть очень натасканным, чтобы сдавать такие экзамены 👍

[@smelf1422]

спасибо за ваши замечательные видео... могу ли я узнать, какое программное обеспечение вы используете для своих видео...

[@Hmath]

Сначала формулы в MathType, потом создаю картинки для каждого кадра в Photoshop, а потом все соединяю в видеоредакторе (в любом можно делать простые анимации, я с самого начала использовал простой movavi и привык уже) и записываю звук.

[@smelf1422]

Большое спасибо ; у тебя очень хорошая работа....

[@Hmath]

хорошая работа должна приносить хоть какой-то доход, а этой даже на еду не получается заработать, хаха :)

[@atomfleet7724]

@@Hmath Хобби скорее, которые всегда (почти) убыточные.

[@vdarasun]

ТФКП забылась, нужно повторить для себя. 🤕 Мальчик Олег, 58 лет.

[@bezobrazie7607]

Пять мину-у-ут, Пять мину-у-ут, Разобраться, если строго, Даже в эти пять минут Можно сделать очень много! ....шел второй час решенич 😅😂😂😂😂

[@voxclamantisinextermo]

Решил немного по-другому: представил выражение в знаменателе 1+x+x^2+x^3+x^4 = (1/x^2 + 1/x +1 + x +x^2)*x^2 = ((x+1/x)^2+(x+1/x)-1)*x^2 = ((x+1/x)-phi)*((x+1/x)+phi-1)*x^2 Потом разложил знаменатель : 1/(5^0.5) *(int(dx/(x^2*(x+1/x-phi)*((x+1/x)+phi-1)))) - int(dx/x^2((x+1/x)+phi-1)); Потом разложил опять на слагаемые дробь, в общем интегралы int(dx/x) сократились, осталось 2: int((x+(phi-1)/2)dx/((x+(phi-1)/2)+1 - (phi-1)^2/4)) и int((x+phi)dx/((x+phi/2)^2+1 - (phi)^2/4)) Эти уже взялись с помощью арктангенса: arctg(x+(phi-1)/2)*1/(1 - (phi-1)^2/4)^0.5 - arctg(x+(phi)*1/(1 - (phi)^2/4)^0.5 x from -inf to inf

[@wehg602n]

после слов "дигамма" и "вычеты ФКП" захотелось посмотреть что-то попроще, т.к. из похожего я знаю только "диаграмма" и "вычет НДФЛ"🤣

[@dcas7806]

Почему из окончательного диапазона интегрирования пропали точки 0 и 1?

[@wakawaka239]

x⁴+x³+x²+x+1=(x²+фx+1)(x²+(1-ф)x+1), под интегралом получим 1/(2ф-1)[(x+ф)/(x²+фx+1)-(x+1-ф)/(x²+(1-ф)x+1)]. Это уже через логарифмы и арктангенсы берется, но я сдался. 5 мин не хватило бы

[@Hmath]

да, даже если знать, что корни связаны с золотым сечением - все равно там огромные выражения получатся :)

[@nesta2793]

Почему на 7:47 у дробей одинаковые знаменатели, если в первой дроби мы просто заменили x на t, а во втором x = 1/t? Если уж и делать замену, то наверное другую букву подставлять надо

[@Hmath]

интегралы с разными буквами для переменной - всё равно одинаковые интегралы. если другой буквой обозначить переменную - значение интеграла от этого не изменится. я уже десяток раз отвечал тут в крмментариях

[@dr1n]

В условии же от -бескончености до +бесконечности как мы перешли от 0 до 1?

[@СтасНиколин-к1н]

Замену же делали

[@poizaz]

Товарищ полковник сказал нам на занятиях по тактике, что он использовал интеграл один раз в жизни: согнул проволку в виде интеграла чтобы достать пистолет из сортирной ямы.

[@swampfolk2526]

Нда. насколько же я забыл тфкп за 25 то лет.

[@БелАлекс]

Интересно сколько бы ее решило на ЕГЭ? Если без вариантов ответа? Там конечно больше чем 5 минут и метод достаточно придумать всего один, но все равно вряд ли больше половины справилось.

[@koktangri]

1% будь уверен, раз уж победители всемирной олимпиады не смогли решить его, то как его решит обычный школьник

[@noname-mi3ld]

Подскажите пожалуйста софт в котором делаете анимацию

[@Hmath]

всё вручную :) Сначала формулы в MathType, потом создаю картинки для каждого кадра в Photoshop, а потом все соединяю в видеоредакторе (в любом можно делать простые анимации, я с самого начала использовал простой movavi и привык уже) и записываю звук.

[@gurza7052]

никогда не думал, что мне будет так интересно слушать различные математические расчёты, осталось научиться самому так же круто считать😁

[@ВасилийКазаков-к7й]

Ничего не понял.... Но интересно....

[@ПетрПетр-д7л]

Я видимо единственный кто заметил, что это банально биноминальный коэффициент. Не, решение конечно красивое, но обычно эти вещи немного для другого используются.

[@Hmath]

а можно подробнее, что именно "это"? интеграл? или что? и что такое "биноминальный коэффициент" я только знаю "биномиальный коэффициент", вы это имели в виду? ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82 я просто не представляю, как это связано с интегралом? интересно

[@ПетрПетр-д7л]

@@Hmath А извиняюсь, я имел ввиду биноминальный дифференциал.

[@Gbnvgftrd]

Этож как нужно понимать предмет чтобы вот это всё успеть за 5 минут и без ошибок? Колдунство не иначе

[@Hmath]

да там никто не решил в итоге :)

[@Gbnvgftrd]

А ну тогда ладно😂

[@alexweb1786]

не хрена не понял,но интересно!

[@almaska82]

Разве нельзя подынтегральную функцию разложить в сумму дробей многочленов?

[@Hmath]

можно. разложите! Напишите потом, что получилось при разложении

[@konstantinparchevsky2031]

Piece of a cake! x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+Ax+1)(x^2+Bx+1) equating the same power term's coefficients we get A=(1-sqrt(5))/2, B=(1+sqrt(5))/2. Now our integrand can be represented as a sum of two fractions 1/(x^4+x^3+x^2+x+1) = (Cx+D)/(x^2+Ax+1)+(Ex+F)/(x^2+Bx+1). Remember, A and B are known. To find C,D,E, and F, Bring this expression to the common denominator. In the numerator we have a polynomial in x. The numerator on the right hand side should be the same as the numerator on the left hand side (which is 1). Hence, coefficients at all powers of x should e 0. Free term should be 1. This gives us 4 equations for C,D,E,and F. Solving them, we get C=-1/sqrt(5) D=(sqrt(5)-1)/(2sqrt(5)) E=1/sqrt(5) F=(sqrt(5)+1)/(2sqrt(5)) Mission accomplished.

[@Jorick_73]

@@konstantinparchevsky2031 I doubt if it's possible to do in 5 minutes just using pen and hands. I tried to find C D E F this way and i gave up. Moreover from (x-exp(j2pi/5))*(x-exp(-2pi/5))=(x^2-2xcos(2pi/5)+1) it's not so obvious that 2cos(2pi/5)=(1+sqrt(5))/2.

[@evgenykuzmin443]

Привет! Было интересно. В 5-53 вы заменили x->t, а в 6-07 x-1/t, т.е. t1 = x, t2 = 1/x, а дальше вы их суммируете как будто t1 и есть t2, это как?

[@Hmath]

если у определенных интегралов одинаковые пределы интегрирования, то сумма интегралов равна интегралу от суммы функций - свойство интеграла. Интеграл не зависит от того, какой буквой переменную в нем обозначить. Не понятно откуда берется убеждение, что 2 интеграла нельзя сложить, что у них какие-то "разные" переменные. Вроде в любой книге первое, о чем написано - это как делается замена переменной. Интеграл до замены связан с интегралом после замены только тем, что они равны одному и тому же числу, а букву для переменной можно любую выбрать. Ещё до этого места в видео я делал замену и просто x заменил на (-х) не вводя новой буквы для переменной. Странно, что это место вопросов не вызывает, хотя делается то же самое, что и дальше. И только здесь я уже 5 или 6ой раз отвечаю на этот вопрос. Можно ниже комментарии прочитать

[@leobur25]

В решении с вычетами ошибка. Единицу, лежащую на действительной оси, нельзя просто так выкидывать. Надо её аккуратно обходить по полуокружности, считать соответствующий полувычет и доказывать, что он равен нулю. Иначе оценка не более троечки с плюсом.

[@Hmath]

в решении нет ошибки. Про какую "единицу" речь? x^4+x^3+x^2+x+1 - не имеет действительных корней. 5 минут про корни рассказываю и еще нарисовал все корни на комплексной плоскости, чтобы видно было. Пересмотрите внимательнее, если с первого раза непонятно.

[@АлександрКузнецов-д6п6г]

Конечно, комплЕНксный. КОмплекс - это от комплекс, т.е. набор, состав. А комплЕксный - это от complexity - сложность. Конечно, в глубине у обоих этих слов этимология общая (как и у наших слов состав и сложение). Но именно если только на шаг назад от сегодняшнего дня она разная. Поэтому правильнее комплЕксный. комплЕксные числа = сложные числа.

[@Hmath]

complex numbers - ударение на 1-ый слог. Если уж вы ссылаетесь на complexity. В каких еще языках существует два "разных" слова "комплексный" с ударениями на разные слога, причем в зависимости от того к числам это относится или нет? Странно вообще настаивать на ударении, причем на таком, которое использует только некий маленький кружок, да и только с целью подчеркнуть свою "элитарность"

[@АлександрКузнецов-д6п6г]

@@Hmath Вообще-то complex numbers - ударение на второй слог. Проверьте сами. И большинство как раз использует ударение на е. До сих пор я редко встречал людей, делающих ударение на первый слог, и эти люди были поверхностно знакомы с этими числами, или вообще откровенные фрики, например Катющик. Вы просто исключение какое-то! В принципе, говорят, хоть горшком назови, только в печь не сажай. но слух всё равно режет. Это примерно как когда говорят пи-аш вместо пэ-аш, как нас всегда учили.

[@Hmath]

Вообще-то complex numbers - ударение на первый слог. Проверьте сами. Если задаться целью, то можно найти вариант с ударением на второй слог, но странно отрицать, что большинство в английском ударение ставят на первый. Специально сейчас посмотрел в 5 разных словарях. вот пример: dictionary.cambridge.org/pronunciation/english/complex-number Если ваш круг ставит ударение на Е - это же не означает, что это единственный вариант, а все остальные - фрики. Есть, например, люди, которые во всех словах в русском языке в безударных слогах вместо О говорят А :) Тоже обычно считают, что это единственно правильный вариант, а за мкадом - фрики :) Думаю, что скоро уже и про это мне будут говорить: акцент не тот :) Я не против ударения на Е в слове комплексный, если такой вариант будет принят всеми как основной, но в русском уже есть более употребляемый вариант, а так произносят лишь для того, чтобы подчеркнуть свою принадлежность к некоторой профессиональной группе "математики" и только :) другой цели и смысла у этого варианта произношения никогда и не было.

[@АлександрКузнецов-д6п6г]

@@Hmath Забавно. Я как раз сверялся по этой ссылке, что вы привели. Я слышу ударение на второй слог.

[@Hmath]

там даже написана транскрипция с ударением :) ударение на 2ой слог во французском языке: оттуда это и пришло в эпоху моды на французский язык.

[@igorsidorin3585]

Т.е. вот это надо бвор пешитьза 5-7 мин? No comments

[@muroma3088]

Ещё некоторые говорят "пОлюсы", а некоторые -- "полюсА"

[@HunSim]

Отдельное спасибо за ударение в слове комплексный! А то замучили эти пуристы-франкофилы.

[@CmonEE]

И все это за 5 мин надо сделать?

[@slmarqol]

Gosto muito dos russos. Estudei em livro de cálculo de autor russo

[@fd17bbd46]

охренеть

[@grigorybazhul]

Поясните, почему нужно брать корни комплексного многочлена только в верхней полуплоскости?

[@Hmath]

Это старое видео, в котором на простом примере показано, как найти несобственный интеграл через вычеты (с выводом формулы): kzbin.info/www/bejne/aYmmgXqcq8l6j8U

[@robsting5408]

Интеграл вдоль прямой можно представить как разность интеграла по замкнутому контуру и интеграла по полуокружности бесконечного радиуса. Контур можно замкнуть и в нижней полуплоскости, тогда нужно взять вычеты внизу.

[@grigorybazhul]

@@robsting5408 спасибо, уже разобрался:)

[@Xjxtimvbhf-ujnjdmczrdjqyt]

Интеграл разбили на 2, в первом делаем замену... и объединяем??? Так ведь разные переменные теперь под интегралами - как их можно объединять?

[@robsting5408]

Можно еще раз переобозначить ;)

[@igormatiushenko3673]

Доброго времени суток, может быть я глуп, но не въехал в замену переменных в первом интеграле заменили 'x' на 't', а во-втором 'x'='1/t'. Каким образом так? помогите разобраться)

[@Hmath]

почитайте про замену переменной в определенном интеграле и посмотрите примеры попроще. Определенный интеграл - это конкретное число и от всех преобразований требуется только одного, чтобы на каждом этапе это число не менялось. После того, как сделана замена, получился новый интеграл, но он равен предыдущему, как число. В нем не хранится никакой истории всех сделанных замен. Поэтому в видео одном интеграле отдельно делается одна замена, а в другом - другая. А потом они складываются опять же по свойству определенного интеграла.

[@igormatiushenko3673]

​@@Hmath, спасибо, осознал. Я рассматривал сумму интегралов как единое целое и соответственно замена переменной должна быть одна для обоих. Но получился новый интеграл, но он равен предыдущему, как число, в данном случае два. - благодарю за пояснение.

[@dimart5326]

3-й способ решения (тернистый путь финалиста MIT integration bee 2024) 1. Внедряем чип-приемник подкожно 2. Распологаем группу поддержки вооруженную системой компютерной алгебры для аналитических вычислений в зоне устойчивой связи системы передатчик-приемник 3. Получаем задание 4. Произносим заклинание: "Профессор, конечно, ЛОПУХ!.. но аппаратура приНЁМ!.." ... Profit

[@alexanderivanenko9605]

Титанически