Folgen: Bestimme den Grenzwert von (1+x/n)^n

[@gewinnste]

Kann man das nicht ohne l'Hopital beweisen, indem man einfach n durch k/x ersetzt?

[@algebraba2911]

Ja, man kann n durch k/x ersetzen, aber das verlagert den problematischen Term nur in den Exponenten. Nach Anwenden von exp(ln(a))=a, bekommt man wieder einen recht ähnlichen Ausdruck für den der naheliegenste Lösungsansatz l'Hopsital ist.

[@gewinnste]

@@algebraba2911 Sorry, ich meinte n=kx. Dann hat man (lim k-->∞(1+1/k)^k)^x und das ist e^x. Oder sollte das in einer Situation sein, in der lim n-->∞((1+1/n)^n)=e noch nicht bewiesen/bekannt ist?

[@algebraba2911]

@@gewinnste Ja, das kannst du natürlich machen, aber das setzt wie du sagst voraus, dass der Grenzwert von (1+1/n)^n bereits bekannt ist. Davon bin ich hier jetzt nicht ausgegangen.

[@gewinnste]

@@algebraba2911 Was war dann der Grund, meinen Kommentar gleich zweimal zu löschen?

[@algebraba2911]

@@gewinnste Sorry, ich weiß nicht, was du meinst. Abgesehen von Spam oder unangebrachten Kommentaren (Hate/Rassismus/etc) lösche ich nichts. Im Gegenteil beantworte ich sogar die meisten Rückfragen.

[@mikekopp6916]

Wie sieht das ganze denn bei (1- x/n)^n? Liebe Grüße aus Köln

[@algebraba2911]

Das funktioniert für -x vollkommen analog, d.h. alle Rechenschritte würden auch genauso mit -x statt x durchgehen. Da wir keine weiteren Anforderungen an x gestellt haben, könntest du sogar unmittelbar folgern, dass der Grenzwert e^(-x) lautet.

[@StepBaum]

Danke gutes Video ! Wie mache ich das aber zum Beispiel wenn ich x^n/e^x habe. Mit lim x → Unendl.. Sagen wir n ist definitiv 2000 als Vorgabe. Dann kann ich doch nicht 2000 mal ableiten um L'H anzuwenden?. Mir ist klar, dass beides gegen 0 geht, wenn ich Unendlich einsetze, aber versteh nicht, wie ich damit die Gleichung löse, da ableiten ja auch nicht viel bringt. Kannst du mir da weiterhelfen? Die genaue Aufgabenstellung ist: Bilde den Grenzwert von lim(x→Unendl.) (x^2021)/(e^x)

[@algebraba2911]

Doch das kannst du. Du musst die Ableitungen zwischendrin nicht präzise angeben. Aber du weißt, dass du für die 2021-te Anwendung von L'hospital a/e^x bekommst und dieses Wissen ist ausreichend, um dann als Grenzwert 0 zu folgern. Eventuell sollte man noch erwähnen, dass a konstant und positiv ist sowie dass alle vorigen Ableitungen des Zählers von der Form bx^k mit k und b >0 sind und deswegen jeweils L'hospital angewendet werden durfte.

[@StepBaum]

@@algebraba2911 Ah verstehe. Super vielen Dank für die Hilfe!

[@carlamio2813]

Windel weiß nicht schlimm genug für 🎉 Ik