Funzione inversa .Verifica analitica senza disegnare il grafico .

Funzione inversa e verifica analitica senza disegnare il grafico .
Nelle scorse lezioni abbiamo visto il concetto di funzione iniettiva e surgettiva evidenziando alcuni esempi significativi .
Con la presente lezione si definisce il concetto di funzione inversa e illustreremo tramite esempi come verificare se una funzione è invertibile in tutto il suo insieme di definizione o meno .Come vedremo dagli esempi una funzione può non essere invertibile in tutto il suo insieme di definizione ma lo è in una determinata restrizione .
Nei casi in cui una funzione è invertibile vuol dire che esiste la funzione inversa esprimibile secondo una data legge .Tuttavia non è detto che sia possibile ricavare tale legge a livello analitico , pertanto ci accontenteremo solo della sua esistenza .
Come dichiaro nel video , una volta che lo studente è in grado di disegnare il grafico della lezione , riconoscerà immediatamente se una funzione è invertibile o meno o in tutto il suo dominio naturale o in una data restrizione (intervallo o unione di intervalli ) .

[@roccoantoniosanza6376]

Il discorso e' stato molto chiaro nonostante la complessita' dei passaggi specialmente nell'ultimo esercizio in cui bisogna avere speciali intuizioni ...utile comunque nel capire che anche non conoscendo il grafico di una funzione si puo' lo stesso sapere se e' invertibile.......sempre utile avere uno strumento in piu...!!!!

[@salvoromeo]

Buongiorno Rocco .In effetti quando si è in grado di graficare una funzione , è molto semplice capire se in tutto il suo insieme di definizione o in una restrizione la funzione è invertibile .Qui ho voluto partire dalle basi selezionando alcuni casi particolari e trattabili analiticamente . Buona giornata 😊 .

[@girogio1585]

Salve professore, ma non dovremmo dimostrare anche la suriettività prima di dire che è invertibile?

[@danielegiunchi9741]

credo che faccia solo l'iniettivita' perche' ti "offre" gli insiemi di arrivo garantendoti che sono l'immagine (in pratica la suriettivita' ti farebbe cercare se ci sono elementi che non sono l'immagine ma lui ti dice di non preoccuparti che l'insieme di arrivo e' l'immagine). Essendo l'immagine i suoi elementi vengono sicuramente "mappati" dalla funzione per almeno un valore del dominio, quindi a te basta verificare che sia iniettiva.

[@ciccio3113]

non ho capito i passaggi al minuto 29 (a^4-2a^3...) da dove escono?

[@pietrobellosi8194]

come facciamo ad essere sicuri che le funzioni sono suriettive?

[@salvoromeo]

Si disegna il grafico della funzione e si proiettano i punti dello stesso sull'asse delle ordinate .L'insieme ottenuto dalla proiezione è il codominio Y e la funzione definita in X a valori in Y è certamente surgettiva . Ad esempio il codominio di x² é [0,+Infinito[ quindi la funzione definita in R a valori [0,+infinito [ è suriettiva . Ma la stessa funzione x² definita in R a valori in R non è suriettiva come spiegato in una precedente lezione .

[@WWld]

Chiarissimo, grazie