Infinitesimi , "o piccolo " e ordine degli infinitesimi .Teoria ed esempi .

Breve introduzione al concetto di infinitesimo e confronto fra gli stessi .Si è accennato anche agli infinitesimi equivalenti che permettono di risolvere limiti notevoli molto complessi .Non poteva mancare il concetto di "o piccolo" molto utilizzato nel presente contesto .
Tali concetti risultano anche utili per stabilire la sommabilità di un integrale improprio , senza calcolare l'integrale stesso .
Per la comprensione di questa mini lezione è necessario aver chiaro il concetto di limite e la conoscenza dei limiti notevoli .
#salvoromeo #infinitesimi

[@D1820LB]

Spiegazione perfetta prof. Chiarissimo. Se tutti spiegassero come lei, molti studenti si recherebbero con maggior volontà a scuola. Grazie

[@flaviogiorno8456]

Spiegazione molto chiara

[@sono_io5223]

Concordo sul fatto che il professor Salvo Romeo sia eccelso nelle sue spiegazioni, ma ahimé la bravura di un prof non basta: io a scuola ci lavoro, attualmente nel sostegno, pertanto passo in aula con la stessa classe un gran numero di ore a settimana, avendo l'opportunità di osservarne l'atteggiamento con più docenti, ed è assolutamente FALSO che se un prof è valido l'alunno di conseguenza lo segue. Ci sono alunni e alunni: elementi volenterosi, ed elementi che non hanno voglia di fare un... nulla, che a scuola se stanno parcheggiati 5 o 6 ore e che se ne strafregano della lezione, indifferentemente dalla materia (disturbando anzi chi ha voglia di imparare qualcosa). Smettiamola una volta per tutte con questo mito del "prof bravo in grado di modificare l'atteggiamento degli studenti". Non funziona quasi mai così, ma al contrario dipende quasi sempre solo ed esclusivamente dalla voglia che uno ha di lavorare. I ciucci nascono ciucci e ciucci rimangono.

[@salvomont6467]

Le volevo fare i complimenti per la sua bravura a spiegare concetti per niente banali, Le chiedo se potrebbe fare una lezione sulla parte principale e ordine di infinitesimo

[@salvoromeo]

Buonasera Salvo , presto ci sarà una lezione su tale tematica . La ringrazio per il suo gradimento verso i miei contenuti

[@matteogianelli3239]

Lei è semplicemente un grande, fino a poco tempo fa avevo un casino abnorme nella mia testa riguardo a tutta la parte dei limiti, ma grazie ai suoi video ho fatto decisamente ordine nella mia testa. La ringrazio mi sta aiutando enormemente per l'esame che affronterò di analisi 1.

[@salvoromeo]

Buongiorno Matteo , sono molto lieto che stia trovando un buon punto di riferimento nei miei video . È doveroso dire sempre che la didattica principale è quella fatta in aula .Le videolezioni su KZbin devono essere solo complementari . Buonacpermanenza nel mio canale e grazie per la fiducia .

[@francescociampi-zz3ln]

Scusi professore, se io voglio calcolare la parte principale della mia funzione ∛(8x+x^2) noto che dovrei fare pp=x^(1/3)*L (dove 1/3 è l'ordine di infinitesimo calcolato). Dove pp=parte principale. Ma L=∞ per cui tale prodotto è impossibile, quindi come faccio a calcolare la parte principale dell'infinitesimo assegnato?

[@sergiorolando3079]

Molto chiaro, però c'è un ERRORE GRAVE nell'ultimo esempio: gli infinitesimi equivalenti si possono sostituire nei PRODOTTI e nei RAPPORTI, ma NON in somme e differenze. Altrimenti, se ad esempio sostituisco sin x con x nel lim per x->0 di (x-sinx)/x^3 trovo 0/x^3, che tende a 0, mentre il limite di (x-sinx)/x^3 per x->0 vale 1/6.

[@salvoromeo]

Buongiorno Sergio grazie per l'osservazione . In generale va bene che per somme//differenze si potrebbero avere problemi , ma nel caso in questione è possibile fare la sostituzione degli infinitesimi (trincando al primo ordine) poiché si tratta di un limite che è possibile trattarlo con i semplici limiti notevoli . Il caso che ha riportato Lei (molto interessante ) ovviamente non funziona in quanto sia x che sen(x) per x->0 sono infinitesimi dello stesso ordine e per giunta si annullano facendo risultate quel "falso " zero che giustamente ha riportato Lei al numeratore .Dico "falso " poiché sappiamo che dietro quello zero si nascondono infinitesimi di ordine superiori . L'ultimo esempio è stato fatto per gli utenti che si limitano solo (in base al loro corso di studi ) a considerare i limiti notevoli in cui va bene arrestare tutto al aprono ordine e dare una diversa strategia di risoluzione .Quindi ad esempio un limite (x->0) del tipo [ e^x-e^(-x) ]/x che in generale viene fatto applicando il limite notevole standard può benissimo essere fatto con la sostituzione degli infinitesimi senza trovare sgradite sorprese di quel famoso "falso" zero accennato sopra . Per i casi più delicati a cui si riferisce Lei nell'esempio (x-sen(x) ) ne ho parlato in un video a parte . Comunque ho capito il senso della sua osservazione e ha fatto benissimo a postarla .Le critiche costruttive ed educate (come questa ) sono Le benvenute 🙂 Grazie e Le auguro buona giornata

[@antonioconcas4056]

Grazie professore, questa lezione mi ha chiarito la domanda che le avevo fatto.

[@salvoromeo]

Perfetto Antonio .Riallancciandoci alla discussione di un altro mio video sarebbe stato molto triste applicare Hopital a questi limiti .Si sarebbe perso tutto il concetto di infinitesimo e la risoluzione sarebbe stata meccanica .Per me non è importante arrivare al risultato corretto ma è anche importante come arrivare al risultato corretto .

[@zarath69]

Bella lezione Salvo tutto molto molto chiaro! Grazie per questo bel video.

[@salvoromeo]

Grazie Paolo , è un piacere che sia stata utile .

[@riccardomastellone8035]

Bella x il prof

[@francescociampi-zz3ln]

Scusi prof. Due infinitesimi non simultanei (cioè con due punti di accumulazione diversi) non possono essere inseriti come rapporto nell'argomento di un unico limite perché ci sono appunto due x0 e pertanto i due infinitesimi non simultanei non sono confrontabili. Questo perchè nell'argomento di un limite specifico va considerato un solo x0. È giusto oppure no? Grazie

[@salvoromeo]

Buonasera Francesco .Non si possono confrontare due infinitesimi simultanei .Non avrebbe alcun significato .

[@ilkov]

Grazie per il video, un buon ripasso. Non capisco come mai nell'ultimissimo esempio non viene 2.

[@salvoromeo]

Buonasera ilkov , viene 1 poichè I termini dominanti (sia al numeratore che al denominatore ) sono entrambi x , e quindi x/x =1

[@ilkov]

@@salvoromeo chiaro! Grazie mille!

[@francescacanonico5220]

Salve, che libro mi consiglia per esercizi di analisi 1?

[@antoniocalatabiano7798]

Ma per x che tende a + infinito, è lo stesso? Intendo dire: se f(x) al numeratore è di ordine di infinitesimo maggiore di g(x) al denominatore, tende a 0 o cambia il risultato?

[@salvoromeo]

Per il concetto di "infinito " le cose cambiano anche se I ragionamenti rimangono analoghi . Basta disegnare I grafici delle funzioni . Mi riferisco ai casi "infinito/infinito " ovviamente .

[@antoniocalatabiano7798]

@@salvoromeo Ho capito grazie. Quindi si può concludere che comunque all'infinito, consideri infinitesimo di ordine superiore la funzione che si "annulla" più velocemente, mi può confermare?

[@giovannipassalacqua3261]

Ho qualche perplessità sull’ultimo passaggio…

[@salvoromeo]

Buonasera Giovanni , mi dica esattamente il minuto/secondo e cercherò di visionare tale punto e discuterne insieme .

[@johnpas3339]

@@salvoromeo buongiorno prof e complimenti per le sue lezioni che seguo con piacere. Il mio dubbio è se in presenza di somme si può ricorrere agli infinitesi equivalenti oppure agli infiniti equivalenti a seconda del limite richiesto. Pensavo che tale procedura valesse solo per moltiplicazioni e divisioni. Grazie per l'attenzione.

[@salvoromeo]

@@johnpas3339 Se si tratta del rapporto di due infinitesimi (polinomiali ) sia al numeratore che al denominatore vanno considerati solo i termini con l'esponente inferiore per poter fare (gli altri vanno trascurati ) per poter fare il confronto finale tra numeratore e denominatore . Se si tratta di un rapporto tra "infiniti " (caso polinomiali per semplicità ) al contrario si devono considerare i termini con esponente maggiore e trascurati gli altri .Dopo si esegue il confronto finale tra numeratore e denominatore . Quindi se x-> 0 e la funzione è (x³+5x²+7x) /(x⁴+4x³) , in questo caso si deve considerare il rapporto (7x)/(4x³) che rappresentano gli infinitesimi non trascurabili (rispetto gli altri ) quindi confrontando numeratore e denominatore il limite diverge positivamente .

[@giovannipassalacqua3261]

@@salvoromeo grazie, è ciò che faccio nella pratica didattica anche se non posso esplicitamente parlare di equivalenza asintotica ma di stesso comportamento. Colgo l’occasione per chiederle se ha già fatto una lezione sui punti di discontinuità di una funzione, visto che riscontro differenze tra i libri di testo scolastici ( che vi fanno rientrare anche i punti in cui f non è definita) e quelli universitari ( la cui tendenza prevalente è l’esame dei soli punti di definizione). Personalmente sono rimasto legato all’impostazione del Cecconi-Stampacchia.