【高校数学】今週の整数#2【連続する整数の積の扱い方】

[@ドドドドドラえもん]

「今週も一週間頑張りましょう」という言葉を聞くといつも不思議と頑張れる活力が湧いてくる…

[@空白-n2b]

最後の解答は n(n²-1)(n²+1)の形にすると、 (1)より、8の倍数、(2)より3の倍数が直ぐに言えて (i)n≡0 (mod 5)のとき nが5の倍数 (ii)それ以外 n²≡±1 (mod 5) より n²-1または、n²+1が5の倍数 より、5の倍数になる の方が少しスマート？

[@くるみ-r7d]

(ⅱ)がきれいだァ…

[@4486y]

(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)=n(n²-1)(n²-4)≡n(n²-1)(n²+1) mod５ でどう？

[@sh4skle546]

今年社会人になりましたが、久しぶりに数学に触れて楽しさを思い出しました。 受験の時、苦手な数学を克服できてよかったなと思います。

[@補給艦まみー]

高校数学は本格的にはやってきませんでしたが、この問題のサムネを見てノリと勢いでチャレンジしてみたくなったのでやってみました。 式変形は出来たのですが、連続する整数の積の法則性はこの動画で初めて知ったので、一つ知識として覚えれてよかったなと思います。 新しい問題楽しみにしています。

[@カトユキ-x5m]

サムネだけ見て証明し終わって満足してたけど、一応動画も見てみたらヨビノリさん全然違う解き方してて面白かったです！ (3)が(2)を完全に包含してた事から｢どうせ使うんでしょ｣って思いながらすぐに120を素因数分解しましたが、そういや120って5!でもありましたね！ そっちの解き方のが好きかもです(大問3番じゃなく1問だけ単体で出されてた場合特に)

[@カトユキ-x5m]

後から気付いたけど、(1)で使わんやった(n²+1)も偶数やけん2の要素最低4個入っとって240の倍数でもあるやん！ 証明しちゃえばなんてこたないけど、任意の奇数5乗して元の数引いたヤツが絶対240で割り切れるとかスゴいな…！

[@けい-r2g]

どっかでみたことあると思ったら、プラチカの15番だ！ ちゃんと授業として解説聞けてよかったです！

[@五作飯田]

青ちゃのmodのところにもありました

[@aqua4370]

大学受験の内容ですが､小学生でも十分に理解できる内容だということろが面白いですね｡

[@クッキー缶-g4t]

清麻呂のあのシーンがすぐ頭に浮かんだ！

[@くりーむぱん-n7p]

わかりやすくて面白かったですー！ 趣味の幅が広くてすごい

[@13dpg75]

（3）は5の倍数であることを示す方法（modを使う方法）で解きましたが、最初に紹介された解法も綺麗ですね

[@ミソスープ-b1e]

自分はこういう問題を見るとすぐ合同式を使ってしまいますが、今回みたいに文字で置いてみるとわかりやすかったのでこれから参考にしたいです

[@sab5893]

これは合同式の証明でやってることなので 本質としてはなんら変わらないですね（クソリプすみません）

[@maji_maji_mazzy]

(3)5!の考え方は思いつかなかった。私は、(1)(2)で3,8の倍数の証明から24の倍数になることが分かったので、５の倍数の証明をするために奇数の下１桁(1,3,5,7,9)に注目して、各々の場合で(n-1)n(n+1)(n^2+1)のどこかの項で5の倍数になることを証明して120の倍数であることを証明しました。穴があるかもしれませんが、書き込みたくなったので書かせてもらいました。もう現役ではないけれど、毎週楽しみにしています！

[@emikowarai3453]

かつて受験生だった頃、整数問題にはだいぶ苦しめられた記憶があります… 今はもう現役バリバリで数学を使うという立場ではありませんが、合間合間に見てあの頃の敵討ちができたらと思います(?)

[@YY-dl8dg]

(2)で、 連続する３数の積であることから６の倍数であることも示せるのに 敢えて問題文が３の倍数に限定してある( 5:22 )のは、(3)を解くヒントになってたんですね。最初気づきませんでした。 7:45 の式変形からわかるように、n が奇数でなくても ５の倍数にはなりますね。 細かいですが 10:10 から書いた式で、120の倍数になる理由は厳密には「３×５×８=120」じゃなくて「３，５，８の最小公倍数=120」ですね。 例えば「４の倍数かつ６の倍数である」からいえるのは24の倍数ではなく12の倍数です。

[@ゆうまん-n9c]

｢(1)より…｣の伏線回収感好き

[@kk-fz9gv]

たくみさんの高校数学ほんと好き

[@peppe2735]

こんにちは、今週もありがとうございます。 パスラボの整数全パターンにあったので難なく解けました。 来週も楽しみです

[@おかゆチャンネル-q8x]

青チャでやったとこだ！改めてヨビノリさんの解説で復習して定着率2倍ですね！ 【訂正】 青チャでは合同式を使う例題として出題されているので、正確にはこの動画は100%復習に当たるとは言えませんでした、、、

[@kt-bp9yg]

修正が真面目で好き。 1:1にも同じ問題があった気がするー。

[@seika_beginner_4888]

整数問題嫌いだったけどこの問題で好きになった、ありがとう

[@相方みみみ]

自由度の高い良問ですね。好きです。

[@みゃーぽこぱんつ]

ちょうどココ、今日の授業でやったところだったので、マジでタイミング良すぎでした！！！ コレ見て復習します！ ありがとうございます😆✌️

[@ふせ-x2v]

ヨビノリさんもガッシュ見てたんですね！親近感湧きました☺

[@suzumeyokozuna]

三問目は、奇数nの一の位が3, 7のとき以外は (n-1)n(n+1)が常に2, 2, 3, 5を（n-1かn+1に5の倍数がくるから） (n^2+1)が2を素因数に含むので120の倍数です なので3, 7の場合で(n^2+1)が5の倍数か判定すればいいですが、 一の位は一定なので9+1＝10、で5の倍数を含むことがわかるので 因数分解の式の時点で120の倍数を含むことが分かりますね たくみさんの解法はなるほどと思いました

[@だいすけ-b4r]

ほんとに関係ないところにコメントしてごめんなさい。先に謝っておきます。今高校物理を必要としている大学生です。力学の前半の授業見終わって他のやつどんなんかなー思って見ようとしたら、電磁気の範囲無くて泣きそうです。どうか動画化お願いします。

[@Mr-eh8rq]

わかる

[@とまと-o7w]

わかる

[@ailurophile9909]

厳しいことを言うと、電磁気学が分からずに理系の大学にいること自体がおかしいんですよ。自習して補完できないレベルで大学にいること自体がね。無理することないから、電磁気学の履修の必要のない学部に学部変更したら良いんじゃないですか。

[@user-ht1ez9ss4y]

@@ailurophile9909 教養科目で物理やる大学いっぱいあるよ

[@腑抜け-v6n]

@@ailurophile9909 人を貶める時以外に快感を得られてなさそう

[@hiros.i.s_3943]

後半の説明、解法の提示が上手い....これも人の思考の過程に寄り添っている。これこそ「分かりやすい」というもの。聞いていて。

[@aquawaddledee]

整数問題って気持ちいいなぁ

[@ゆっくりしたい星人-k6r]

⑶はフェルマーの小定理を使って5の倍数であるということを言うこともできますね

[@早稲田大学医学部-k2s]

(1)たくみさんと同じ (2)以下3を法としてnを以下のように定める。 　n≡0のとき→0-0＝0より適切 　n≡1のとき→1-1＝0より適切 　n≡-1のとき(答案に書く時は２って書く）→-1₊1＝0より適切 (3) 与式はn(n^2 -1)(n^2 ₊1)と変形できる 　　ここでn^2 -1は８の倍数であり、またn^5 - n は３の倍数であることが（1)、(2)よりいえるので与式が５の倍数であることが　　　　 　　いえればよい。 　　n≡0、n≡±1、n≡±2、のときも(2)のとき同様に計算して適切であるといえる。 　　よってn^5 - 1 は３の倍数且つ８の倍数且つ５の倍数であるといえたので題意を満たした。

[@キラ-v8n]

(1)(2)の伏線回収感がすごい

[@nanashinohanako]

(n+1)^5 - (n+1) = n^5 + 5*n^4 + 10*n^3 + 10*n^2 + 5*n + 1 - (n+1) = (n^5 - n) + 5 (n^4 + 2*n^3 + 2*n^2 + n) で数学的帰納法から 5 の倍数であることは示せるので、(1)(2)と合わせて120の倍数、でいい気がします。連続するn個の自然数の積はnの倍数であるというのは確かに重要なポイントですが、脳死で数学的帰納法にするのも重要な手段かなと。

[@h.m.277]

金色のガッシュ!!2始まりましたね。

[@めろン]

微積と整数って楽しいというより、気持ちいい。

[@國木田-o1l]

青チャートかなんかでこの問題みたことある

[@wakame9209]

高2だけど初めてこういう難関大の問題を完答できた気がする。まあこれがものすごく簡単な部類かもしれないしそもそも改題かもしれないけど

[@yunyunTube]

(1)より n^5-n=n(n^2-1)(n^2+1) は8の倍数 (2)より n^5-n は3の倍数 n^5-n≡0(mod5) なので n^5-n は5の倍数 3の倍数であり8の倍数であり5の倍数であるので n^5-n は120の倍数

[@yunyunTube]

なんなら合同式の乗算表だけで (1) nは奇数の時 n^2-1≡0(mod8) (2) n^5-n≡0(mod3) (3) n^5-n≡0(mod5) を導き出すのでもよい。

[@颯-n1x]

nは奇数だからn＋2としても一般性を失わないので　(n-1)n(n＋1)(n^2＋1)のnに代入すると(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n^2＋4n＋5)となり、5の倍数を証明できます

[@かず-i8f8h]

俺もガッシュベルのあの話好きです😂

[@notb5159]

昔は整数問題なんて高校じゃ習わなかったけど今は習うようになってるんだろうか……まぁ面白いからいいんだけど、何も知らないのと系統立てて習ったのとでは使える武器が違いすぎるから授業でも取り上げてほしいところ 整数問題って数学というよりパズル的な側面が強いイメージ

[@はにかみ-q6p]

n^5-nが240の倍数であることを証明せよ。フォーカスゴールドで見ましたね！！ 自分自身、数Aがとても苦手なので今週の整数で整数単元だけは少し好きになれそうです笑

[@peneudon]

240の倍数なら追加でnとn^2+1の偶奇が一致しないことを言えばいいね！

[@バーソロミューくま-p6e]

ブラケット記法について説明してください

[@ぬぬざき]

たくみさんスカッシュやってるの！？びっくり！

[@akihirosaito9775]

n^5 - n = n (n^4 - 1) が 5 の倍数であることを示すためにはフェルマーの小定理を使っても良さそう。

[@aomazerebell89]

今年から高校生なので助かります！

[@ああ-o9u3l]

たくみの生存を確認！ 材料力学の動画観たいです。

[@4416guild-PMDSky]

いつかペル方程式出てこないかなあ

[@wish.t2473]

互いに素であることも大事

[@mitocondorion7898]

(3)で120の倍数を言うとき、3,5,8は互いに素なことは記述するべきですかね。

[@おぽちゅ-m3u]

@@mitocondorion7898 無いと減点対象な気がします

[@magnum18cm52]

最初の雑談、ただの物理好きな人で笑う

[@man-g5n]

最後の5の倍数については考え方としてはmodですね

[@se--ya]

もしよろしければ、 今週の○○シリーズ、整数を選んだ理由を動画で教えてください。

[@mitocondorion7898]

今週もありがとうございます！！

[@いろはす-y3k]

余りを使った分類ならmodでもできそうですね。 類題で 任意の自然数nに対して n^5-nは30で割りきれることを示せ。 (琉球大)もあります。

[@tonnura_12]

スカッシュでもボール役なんですね！

[@furusatonotkokyou]

(1)で、こういう回答の仕方もアリなんでしょうか？ n^2-1 = (n+1)(n-1) nは奇数なので、n+1とn-1はどちらも偶数で、かつ隣り合った偶数である 偶数は4の倍数とそうでないものが交互に並んでいるので、4の倍数×2の倍数となり、8の倍数となる

[@寝ぼけたたまねぎ]

それを式にすると2k・2(k+1)=4k(k+1)になってるから同じ考えだね

[@佐藤光太朗-j8y]

グローバルマーチにもありましたね

[@tata_tatata_555]

n個の連続する整数の積はnの階乗の倍数になっているか知らなかったんですが、 nの階乗に含まれている任意の整数に対して、 その倍数がn個の連続する整数の中に少なくとも一つ含まれているため という理解で大丈夫ですかね

[@akihirosaito9775]

連続するn個の整数の積がnの階乗の倍数になっていることの証明は manabitimes.jp/math/589 にあります。

[@Cafe_AllRight]

おはようございmath！ 整数…美しい

[@ファイロン]

整数楽しいわあ

[@y.m.2894]

7:50 この形にするっていうのは思いつかなかった

[@醜いアヒルの子-p7f]

5の倍数である証明が思いつかなかった、、覚えておこう

[@バランスボー]

たのしぃ〜！

[@スカラベ]

俺は帰納法で解くのが好きだったなぁ

[@山川-w5s]

まさかヨビノリさんが私より年下だったとは！！！

[@U青斗]

質問です！ 連続する5つの整数の積が5!の倍数になる、とはいうのはすべての奇数nについていうことは難しいのではないでしょうか？あまり納得がいってないです。 例えば、(3)の(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)はn=1のとき0。確かに0は120の倍数ですけれども、、

[@空白-n2b]

(3)の5の倍数であることの別解使っていいかは微妙 n⁵-n=n(n⁴-1) と式変形ができる。 (i)n≡0(mod 5) のとき、nが5の倍数なので、5の倍数 (ii) n≡!0(mod5) ※!は否定の意味 n⁴≡1(mod5) n⁴-1≡0(mod5) より、5の倍数

[@ronin_yura]

理系プラチカで見たぞこの問題

[@松迅]

受験数学とは関係ないのですが、共鳴構造式（大学化学）の解説をお願いします！

[@user-oy7hz5dx5j]

明らかに(1)(2)が誘導になってるからそれを利用しました

[@shinchangreen36]

なんか貫太郎さんのところで見た気がするなあ。

[@gun6725]

最後の(3)の5の倍数であることの証明って、式変形後の第1項と第2項の両方に5の因数が含まれてるから、その時点で示したことになったりするのかな？解答に使えるかわからない。

[@sugaruisland6387]

整数#1も#2も興味深く拝見しました。引き続きよろしくお願いします。シャープを使ったらハッシュタグになってしまいましたが、クリックしても表示されるものしかないので、申し訳ないとしか....。

[@kaosozen]

前回の今週の積分ではお世話になりました。今回の今週の整数は、全編で何回くらいのご予定でしょうか？

[@tareo_othello]

自分は別解でした。 階乗の解き方も覚えておこ…

[@chachamaru0909]

最初の茶番飛ばしたい用です() 1:00 (自分はちゃんと飛ばさず見ましたよ！！)

[@squandered3589]

(i)を解くとき (n-1)(n+1)は（nは奇数より）連続する二つの偶数なので 片方は4の倍数だから積は8の倍数、で終わらせてしまったけど ここも証明かかなきゃだめかしら

[@総会長]

明日、高2の愚息にチャレンジさせます‼️

[@遥未來]

おっと、良く見たら「今週の」シリーズだった。先週のが#1だったとは気づいていなかった。

[@euler5074]

河野玄斗さんの徹底基礎講座でやったやつだ！

[@sin3-3sin4sin6]

これマジで過去問練習してた時感動した

[@oreno_ryoute_ha_kikanjyuu]

あなたの事見かける度にちょっと違う3倍角に苦しめられてます

[@GilAka3rd]

この問題ってn=1の時はどうするんだろ？問題として定義してるからn≠1とすでに決めてるんだろうか。

[@IamReaa]

0は任意の数の倍数です

[@小浜駿]

k=0，したがってn=1のとき，n^2-1は0となりますが，0も8の倍数という認識でいいのでしょうか。あるいは，0は整数でないとか1は奇数でないといった前提があるのでしょうか。馬鹿な質問ですみません。

[@user-dg4fj6vk9s]

0も8の倍数ですよー

[@user-dg4fj6vk9s]

補足しておくと、「8の倍数」というのは8×(整数)の形で表現することが可能な数のことです 0=8×0より0は8×(整数)の形で表せることになり、8の倍数です 0は無論整数ですし、1も奇数ですのでそこは安心してください

[@小浜駿]

@@user-dg4fj6vk9s ご回答いただきありがとうございます。すっきりしました。

[@さななる-z3n]

@@user-dg4fj6vk9s FF外から失礼します。0が8の倍数ということは0はどの数字の倍数であるということですか？

[@user-dg4fj6vk9s]

@@さななる-z3n そうです

[@zyurikozyuriko2811]

青チャ、プラチカ、じゅうもん、一対一にものってた

[@はは-l2r7n]

あおちゃ、プラチカ、じゅうもん、一対一全部やってるのは変態すぎる、、、

[@dahlia_osaka_japan1128]

珍しく高校受験かと思った。

[@study_math]

まだ簡単なレベルの問題を扱っているようですが、どの程度まで難しいものを扱うのでしょうかね？🙂

[@user-tr7ih5kt4m]

某vieta jumping初出問題くらいがレベル5で出そう

[@超りょーちん]

ｎが1の場合はどういう風に考えるのですか？

[@田村カフカ-u9x]

数学の素人です。 変な質問してたらすいません。 （1）はｎ=1の時は考慮しなくてもいいのですか？

[@user-gv7kn3qv2u]

8×0だから8の倍数だよ

[@nomadkyoto5431]

n^2+1.... (n^2-4)+5 の変形 気づかなかった😔 キレイやね😯

[@水野直樹-t8m]

(3)はｎ・ｎ＋１＝（ｎー２）・（ｎ＋２）＋５とするのがミソでしょうか。昔取った杵柄の諺を思い出します。

[@おぽちゅ-m3u]

3.5.8がそれぞれ互いに素であること言った方がいい気がします。

[@user-uk6mh9he7d]

*やっぱり整数楽しい( ᐛ )و*

[@user-togepi]

-それな！！-

[@いーだ-y3w]

この問題パスラボでもみた

[@syuncube]

連続積大好き人間

[@いか-q6d4x]

一般に連続するn個の整数の積はn!の倍数であるという定理がありますが、 ここではそれを認めて使っているのでしょうか。 証明は不要でしょうか。

[@大藤時萬]

n mod 10の、条件わけでゴリ押したから証明はできたけど負けた気分

[@匿名-h4q5r]

簡単な良問

[@かっぺん吉田]

私はmodを使って解きましたが、学校によっては合同式の法則とかを証明しないと使えなかったりするのかな？

[@ひいきにみゐる-w5j]

n5乗－nが5の倍数であることを示す方法について、法を5とすればn=1、2、3、4のときそれぞれ、0、30≡0、240≡0、1020≡0、3120≡0と、余りがすべて0になることから5の倍数であるっていうのが簡単と思った。

[@Alpha-m4q]

うろ覚えだけど、学校の先生に、連続n整数の積はnの倍数ってことは使えるけどn!の倍数ってことは使わないほうがいい…って感じのこと言われたような覚えがあって、うろ覚えすぎて定かじゃないんだけどn!の倍数ってことを自明として扱っていいのかわからない

[@akihirosaito9775]

確かに、私も、連続n整数の積が n! の倍数であることは自明でない気がします。 ちなみにですが、その証明は manabitimes.jp/math/589 にあります。

[@nazo_no_message]

連続n整数の積がnの倍数って言えるなら、n-1,n-2,…,2のときをそれぞれ考えれば、即n!の倍数とわかるよ。 そもそも連続n整数の積がnの倍数って言えないなら後者も言えないだろうけど…。

[@ks-ij8sc]

「nを奇数とする」を読まずに解こうとした俺ってなんですか

[@瑞紀西川]

おはようございます。💃🕺🛀整数問題って、気持ち良いですね。⌚💍☺️😊😁😀🤗

[@たく-u5q]

理系プラチカにあった気がする