【高校数学】今週の整数#5【素数となる整数の探し方】

[@eggmanx100]

いやあすばらしい。参考書の模範解答を見ても一体どうやったらそんな解法を思いつくんだよ、という疑問がいつも残ったが、ヨビノリ氏や鈴木貫太郎氏のKZbinではそこをきちんと教えてくれる。今の若者が羨ましい。

[@数吉すーきち先生中学数学]

たくみさんと言えば積分だけど、整数の問題での発想の解説がほんとに分かりやすいです！！！

[@天ノ川きらら-k1c]

おっしゃる通り左衛門ですねー♪

[@数吉すーきち先生中学数学]

@@天ノ川きらら-k1c マジでいいですよね☺️

[@2718e]

具体的な実験ってほんと大事なんだなー　整数問題得意にしたい！！

[@YouTubeAIYAIYAI]

備忘録‘’70G【 *因数分解不可 → 実験が第1歩* 】 n＝ 1, 2, 3, 4 に対して それぞれ、 (与式)＝ 3, 3, 3･5, 3･15 ( ⇢常に 3の倍数 !? ) 〖 *mod3 の合同式を用いると* 〗 任意の整数 n は、 n☰ 0, 1, －1 ･･･① で表せる。 n³－7n＋9 ☰ n³－n ☰ n・( n－1 )・( n＋1 ) ･･･② ①の いずれの場合も、 ②☰ 0 ( *3の倍数* ) だから 条件より、 n³－7n＋9＝ *3* ( ∈素数 ) とおくことができる。 ⇔ ( n－1 )( n－2 )( n＋3 )＝ 0 ∴ n＝ 1, 2, －3 ■

[@no_darts_no_life]

完璧にできました。 整数問題を解くときは必ず実験する習慣をつけたいと思います。

[@HT-cc2mo]

いつもクオリティの高い動画をありがとうございます。 単発ですが受け取ってください！

[@user-rd3vj6bn6v]

@@hiroo125 いいね

[@sorisite88]

わぁ！ありがとうございます😂😂

[@shinchangreen36]

同じ考えですが3の倍数は連続3整数から 与式＝(n-1)n(n+1)-6n+9になって3の倍数と言えます。 僕は合同式習っていないのでこっちです。

[@mh_club]

私も学生時代、合同式を習わなかったので、modの部分の別解コメントはありがたいです！

[@この欄日本語に出来んのかよ]

1対1にのってたやつ

[@水野直樹-t8m]

ｎ＝１か２なら与式＝３となり素数となるので、与式を(ｎ－1)（ｎー２）で割ると、ｎが１，２、－３以外なら与式は３の倍数（ｎがー４以下なら負の数）となる式に展開できました。８０を超えての挑戦ですが、元気づけられました。

[@mojiyan5360]

８０を超えての挑戦、すばらしいです。私ももうすぐ７０歳です。先輩、お互い頑張りましょう。

[@水野直樹-t8m]

@@mojiyan5360 さん返信ありがとうございます。

[@いまひろ09]

初見で解いて見た。 n^3-7n+9をmod3で考えると、 n=0、1、2に対して 0-0+9=9≡0(mod3) 1-7+9=3≡0(mod3) 8-14+9=3≡0(mod3) より、予式はすべての整数について3で割り切れる。 よって予式が素数となるのは3のみであり、 n^3-7n+9=3 すなわち n^3-7n+6=0を満たすnを求めれば良い。 n=1および2は上式を満たすから、n-1、n-2で因数分解出来て、(n-1)(n-2)(n+3)=0となる。 よって、n=1、2、-3のとき、n^3-7n+9=3となり 題意を満たす

[@Cz752nd]

憑かれて帰ってきてるじゃないですか

[@nununununununununun]

あなたの左に黒い影が見える、、、、()

[@hicsalta0]

ずっと呪われてたのかと思った

[@amagaeru27]

疲れてるだけかもしれませんね

[@ツナピコ-t8v]

@@hicsalta0 いえ、書き忘れられた積分定数の霊が見えます

[@mi_mi__.]

ちょうど今日質問した問題だ！！！！たくみさん説明わかりやすすぎる最高🫠

[@trk-wz2hv]

青木先生の真髄で見たことある問題で、すごい思い出に残ってる問題の１つ

[@masaitoh3145]

すっごい理論立ててわかりやすい！

[@サファイア-v1w]

この問題の別解として帰納法で「n=1のとき、3になる、n=kのとき3で割り切れると仮定したとき、n=k+1,k-1のときも3で割り切れる」という解き方も出来ます。 帰納法はやっぱ便利やな

[@くりーむぱん-n7p]

スマートに解き明かされていって謎解きみたいに面白かったです 祟りが解けてまた面白いボケが浮かぶの待ってますー

[@BB-ng2sx]

n^3-7n+9=(n^3-7n+6)+3=(n-1)(n-3)(n+2)+3 剰余系で考えると前半部分は常に3の倍数となり、かつ3の倍数で素数は3のみ よってn=-2,1,3 って解いたけどよくよく考えたらやってること同じだった、

[@だいら-w9u]

途中の因数分解が当たり前のようにやってたけど自分の中で当たり前じゃなかったからなんか感動した

[@瀬賀高尾]

京大の整数問題なのでとりあえずmod3を試すのが良いと思います！

[@hakodate_tokyo_channel]

鮮やか❗

[@KK-pr4lv]

これちょうど自分が受験したときの問題でした〜 6問見渡して、この第二問は一瞬で解けるやん！って思ったけど、因数分解って発想が全くなくて、 3の倍数になること示して、3つ答え見つけて、単調性からそれ以外にないって感じで示したけど結局25分もかけちゃいましたww

[@スタ演]

せっかく実験してn=1,2のときに3になることが分かっているので、いきなり(n-1)(n-2)で括ってしまいたいですね 小さいことですが、数学の素養を磨く上で大切なことだと思います

[@スタ演]

加えて、mod3ではn^3とnは合同という事実も記憶に留めておく価値はあると思います

[@user-dg4fj6vk9s]

まあ受験生にとっては組み立て除法が一番速くて楽で馴染み深いので、n-1で割ってから2次式の因数分解の方が楽ではあります 最初に「nに1を代入すると左辺が0になる」を見つける段階は実験を思い出してサボりたいところです

[@スタ演]

@@user-dg4fj6vk9s 実験と与式の形から(n-1)(n-2)(n-α)となるのが分かる以上、定数項と合うようにαを決める方が流石に楽で早いでしょう また、皆が組み立て除法に馴染みがある訳ではありません そしてサボる件は自分が元のコメントで既に指摘していますが

[@user-dg4fj6vk9s]

@@スタ演 なるほど定数項で判断すれば一瞬ですね 受験数学から離れて長いので思いつきませんでした(てっきり筆算で与式をn²-3n+2で割るものとばかり) そういえば3次関数のグラフの接線関係でよく使っていた記憶があるので、ここで紹介しておくと応用がききますね 後半のサボる件については言葉足らずでしたが、「確かにn-1を因数にもつということを見つけるフェーズはサボりたいところですが」という感じで、元コメを部分的に肯定する意味合いで書いたつもりです

[@ひろ-n3d]

今日授業でやってて？？？ってなったけどわかりました MODが省略されていたのでわからなかったんですけどスッキリしました ありがとうございます😊

[@萱沼美加]

modというのを知らなかったのですが、6n -9は3の倍数だからそれを与式から引いても残りが3の倍数である事を証明できれば良いという事ですね。n -1.n.n＋1は連続する３つの整数だから、必ず3の倍数が１つ含まれてれいる。なので与式は3の倍数。そこから解けはいいですね。

[@tttx5576]

自分は 与式=n(n^2-7)+9で、9が3の倍数だからn(n^2-7)が3の倍数ならば与式は3の倍数になる あとはkを整数としてn=3k-1,3k,3k+1で場合分けして示す 3次関数のグラフからn^2>7/3で単調増加だから素数は現れない、みたいな取っ掛かりでした (で、3の倍数のうち3だけは素数であることを忘れてしまっていた)

[@あるふぁ-d4e]

投稿お疲れ様です

[@いまひろ09]

もう一つ、modを使わない解法を思いついた。 n^3-7n+9=n^3-n-6n+9 =n(n^2-1)+3(3-2n) =n(n+1)(n-1)+3(3-2n) ここで、第1項の連続する3個の整数のいずれかは3の倍数であるから、第1項、第2項ともに3で割り切れるので、予式は3で割り切れることが示された。

[@颯-n1x]

modで考えたくない人は、整式を3で割る余りを考える時に全ての整数をその倍数になるのかならないのかで場合分けして3で割った時の余りを調べるといいと思います 今回ならn=3k,3k+1,3k-1 で全ての整数nを表して、条件式のnに代入して、3で割った時のあまりを調べると、全ての自然数nについて３の倍数になることを示せます

[@チャーシューメン-z3q]

これみたら簡単だけど本番だと何から手をつければいいか分かんなくなるんだろうな。だからこそ実験が大事なんだろうけど

[@ankisupport]

実験は素晴らしい 実験が重要だという科学の認識はガリレオガリレイから始まってますね

[@でーこ]

こういうの見ると、とりあえず微分しようって思ってしまうから ドツボにはまりそうだ

[@user-ww4wr1eo7p]

とっても明解かつ明快。面白かったです。合同式、勉強します。

[@hiroyukinagamachi6114]

n=1のときとn=2のときがどちらも与式=3になったので「(与式-3)の因数分解+3」の形に式変形できそう。 与式=(n-1)(n-2)(n+3)+3 (n-1)(n-2)(n+3)は必ず3の倍数になるから与式も3の倍数。これが素数になるのは3になる場合のみ。 3になるのは(n-1)(n-2)(n+3)=0のときのみ。 よってn=-3,1,2 と解きました。

[@イダリット]

その式変形にちょっと考えちゃった。 与式=n^3-n-6n+9 =(n-1)n(n+1)-3(2n-3)でどう？

[@hiroyukinagamachi6114]

@@イダリット nに適当な数を入れてみて実験したときに、n=1のときとn=2のときがどちらも与式=3になった、というところを手掛かりにして、 与式-3ならn=1のときとn=2のときに0になるから、(n-1)と(n-2)を因数分解に使う形で式変形できるという発想で進めたのでこの形になりました。 (n-1)n(n+1)-3(2n-3)の形の式変形は私には思いつけませんでしたね…。

[@YY-dl8dg]

具体的な数を入れて実験するのって、一見手探りで無計画な感じがあって個人的に苦手なんですが、 問題によっては、文字計算のままであれこれ考えるよりも速く解答方針見つけられたりするんですよね。

[@reiru921]

合同式の中で因数分解して気持ちよく倍数なの示せるの、気持ちがいい問題だな〜

[@かっぺん吉田]

nが自然数に限定した問題なら解いたことありましたが、まさか整数全体verでもこんなシンプルな解法があったとは・・・！

[@m.d2833]

今回の中間テストで整数問題(素数)出たんですけど、具体的な数で実験したら閃いて解けました...🥺🥺🥺 たくみぱんまんありがとう。

[@ゆっくりしたい星人-k6r]

n³-7n=n(n²-7)になって京大大好きな3の平方剰余に持ち込める

[@NatsumeItsuki]

これの初見、n=3k,3k±1で場合分けして3の倍数であること示せたけど普通にこの解法でよかったわ

[@カンチ-y3b]

すさまじく分かりやすい。。。

[@chemistrybyahighschoolstud4767]

なるほど... 具体的な実験ですね… 勉強になりました！

[@藤堂でで助]

参考書だと急にmod3を法として〜って始まるからこの動画ガチ助かる

[@user-vj5he7mr8f]

@@coconutton mod3が無理ならmod5ですね

[@lrwmasa]

著名な数学者も、こうやって定理を発見していったんだろうな、と思わせてくれる答えまでの道筋の解説。

[@rarara4429]

今高校数学の範囲にmodって入ってるのかな？ 自分が受験生の時は高校でやらなかったので、問題集で初めて見たけど使えることが前提のような解答で困惑した 当時は参考書とかでもmodには触れられていなかった記憶があり、本当に問題集の中でのみ常識になっていた記憶

[@spitz-neko8823]

俺が受験生だった頃は整数論が苦手で若干スルーしたまんま大学入ったから、心に引っ掛かってたまに整数論の解説見ちゃうんだよな。 -1,0,1のいずれでも≡0→3の倍数の部分で何で？？て思ったけど3連続の数字で≡0だからか言えるのか。学びが多い良問だ

[@rererererererererererere]

受験終わったから数学見る必要ないけどなんか見ちゃう

[@TomboSensei]

割った余りで分類するパターンは基本ですね 同じパターンでもうちょい難しい問題も作れます　基本大事

[@ヒノキヒノキ]

あの日以来って、…うまい！

[@deri1012]

いやーわかりやすい！ありがとうございます！

[@大学入試数学対策すとろひ]

ほんとですね、、、確実に取り憑かれてるようです（笑）

[@nari-hira9676]

3の倍数検証、帰納法ではダメなのですか？

[@ルミネファロン]

まさかの時間にアップ

[@it6491]

定数項が9なことから、素数になりうるのは3だけかな？という予想はつくかもですね

[@石塔シボリ大好きニャンちゅう]

面白かった！

[@shiratakijellyfish]

n=1を代入する実験で計算ミスして答えが2になったので詰みました

[@subaru360S]

数学って面白い！

[@アルミ缶の上にあるみかんニダ]

ヨビノリっておもんない話するけど、実はオチがない話をして受験に落ちないようにしてくれてるのではって最近思い始めた

[@mylife_6011]

これ帰納法とかで解いてもいいんですか？

[@marakasu3]

気持ちいいなぁ

[@ぽにし]

5以上の素数は6n ±1表せるので与式とつなぐ 微分して極大極小の位置関係からこの時整数解なし よって与式は2 3になる そこから解を導くというやり方はどうでしょうか

[@ヒスイダイケンキV]

月曜の朝更新だからか、今週の〜シリーズのヨビノリ先生はいっそうハツラツとして見える

[@山川-w5s]

良いボケが浮かばない分、良い動画が撮れているじゃないですか。。

[@mathseeker2718]

少し実験して、あれ3の倍数になるな。mod3を確認すると必ず0になるな、ということで、=3をnについて解けば良い。 簡単ですが、経験してないと手も足も出ずに終わる可能性もありますね。

[@あい-k6w2p]

帰納法はだめですか？

[@fujifuji4420]

おもしろいね！

[@ichicko]

やっぱりmodって大事ですね、、、

[@yuukiri4637]

modを知らない人でも分かる様に書きました。 nを整数とする。 (n^3-7n+9)÷3=(1/3)(n^3-7n)+3で、 (n^3-7n)=(n-7)n(n+7)の部分についてはn-7,n,n+7のどれかは（n±7はn±3×2に±１加えた数なため）必ず３で割り切れるため(n^3-7n)は３の倍数になる。 したがって(n^3-7n+9)は３の倍数。あとはこの関数が３になる方程式を解く。

[@Dashi_no_moto]

高校の時のテストで、答えは全問合ってたのに途中式ないからバツにされて、それがきっかけで数学嫌いになって、文系で生きてきたけど、 数学は答えを出すまでの道筋にこそ、その人の解釈とか、スキルが現れるから、それも含め楽しめたら良かったのになぁ、としみじみ思ふ。 コメント欄みたら色んな導き方が合って面白い😊

[@大東亜共榮圏]

表情がプロ

[@お茶だ-o5w]

質問なんですけど、この問題を解くにあたっての理想解答時間は何分ほどでしょうか？

[@お茶だ-o5w]

@@BBLSSUS mod3を使わずに帰納法で解いたので30分もかかってしまいました、、、

[@Double_O-ss9pf]

本番なら遅くても20分程度で済ませたいですね 6問150分はペース配分がかなり大変なのであまりかけるわけにはいかないですし

[@リアエミ-u6v]

(与式)=n(n-2)(n+2)-3(n-3) これはnが偶数と奇数のいずれの場合でも3の倍数になることを示せる。以下、ヨビノリさん同様、(与式)=3の方程式を解いていく。

[@1862_sasata]

まだmodまで言ってませんが、丁寧に説明して下さったので面白かったです！

[@pleasant5268]

京大あるある 素数問題mod.3で上手くいきがち

[@うぬぬ-s1u]

これ、n^3-7nがnで括れるからnは3の倍数ではない→n=3k±1からテキトーに展開したら絶対3の倍数になっていけたんだが …と思ったらn=-3ありました。

[@fika1471]

おはようございます！ 整数から逃げ続けている自分に今週の整数はありがたい企画です リクエストなのですが、変分とはなんぞや、という動画を気が向いたら作ってくれると嬉しいです

[@yyz6162]

卒業して数十年経ってから、数学が面白く感じるなんて…

[@Yasutake-ty3ut]

わかりすぎるw

[@nafudes_74]

こういう難しい大学の素数が絡んだ整数問題は3の倍数をもってきがちだよね 阪大も証明問題であった気がする

[@dobdobd]

mod3で解けたあああああ

[@Tis1sk]

整数問題ってサクサク解けると面白いんだけどな 現実そんな甘くないわけで、上手くスタートダッシュ決められないとズルズル引きずっちゃうんだよね そして時間が無くなるっていう

[@とんこつ-p6z]

お疲れ様です。いつも楽しく勉強させて頂いております。一つお願いがあるのですが、掛け算でなにかに0をかけると0になるっていうのが簡単なようでちゃんと意味をわかってなく理解できないです。 お忙しいとは思いますがよかったらお時間がある時動画にしてもらえませんか？

[@ybk1940]

0の定義から、何に0を足しても元と変わらないので 0=0+0 両辺にaをかけると 0×a = (0+0)×a 分配法則より 0×a = 0×a + 0×a -(0×a)を両辺に足すと、0×a + {-(0×a)}=0 より 0 = 0×a + 0 = 0×a よって0に何をかけても0になる

[@たかちゃん-y8g]

全然わからないと、頭真っ白になりそうなところ、素数3になる事を突き止めるところがすごい！modを使うところになると指導が無いとわからないけど、京都大学ハードル高い。数の捉え方が見えてきた。ありがとうございます😊！

[@Yuyo1984]

mod3で瞬殺やった、、、 いやまさかなって思ってやったら出来ちゃった。 京大がmod3好きなのはほんまなんやなー。

[@Yuyo1984]

動画見て、式変形からの連続する形に持ってくのは凄い、、、ってなった。 綺麗な解法見ると感動しますね！

[@ゆーら]

京大×素数=mod3定期

[@yuiaoren_agar]

=3にする理由が、なんとなくでしかわからないのでだれか説明してほしいです…。 追記:すみません、自分で解決しました

[@肉まん太郎]

はえ〜すっごい

[@athr1419]

実験して3の倍数になることにさえ気がつけばあとは秒殺ですね〜

[@そう云えば何か忘れたかも]

整数問題のシリーズ ・１つ前の問題 → kzbin.info/www/bejne/gWq6nWqpqq6ae6c ・次の問題 → kzbin.info/www/bejne/kIDbqYqPlLKbeZo 合同式 ・① → kzbin.info/www/bejne/bHSyeKCLh8eld9k ・② → kzbin.info/www/bejne/pYiuqKetg9CpiKs

[@study_math]

まだ簡単な部類ですね。難しい問題も扱うのかな？😆

[@user-ey9jw6gp5z]

すげぇ、

[@oxygen2354]

0:23 恒等写像

[@誰かの趣味部屋]

京大？整数？、まあとりあえずmod3でいってみよ！

[@Yuki_chem]

マジ俺高２でよかった 毎週整数問題解けるなんて最高

[@mercy5517]

微積を愛するってありますけど、もしかして高二で数三の微積やってる猛者ですか？

[@Yuki_chem]

@@mercy5517 恥ずかしながらまだ数2ができるだけです(´；ω；｀) どうせなら三角関数の微積もしたいですけど、三角関数とか指数対数を完全にすっ飛ばして1年の時にしてたのでそこを今してます。数3は9月スタート予定です()

[@mercy5517]

@@Yuki_chem まじで高二でその心がけはスゴすぎですよ笑僕とは大違い…笑僕なんて高二の頃なんてアホみたいにゲーム三昧でした笑数三ムズいけどめちゃめちゃ楽しいんで頑張ってください🔥

[@Yuki_chem]

@@mercy5517 ありがとうございます！ これからも微積を愛し続けます！()

[@焼鳥-r3y]

素数だからと脳死でmod6で解きましたが、京大整数はmod3が主流なんですね……

[@Cafe_AllRight]

そういえば、ボケをするときに背後に誰かいませんか？

[@ああ-f6l5t]

カルダノでごりおそうとしたけど挫折したｗ

[@mwan5448]

8:41 この部分ってn^3-7n+9の余りが連続する3つの整数だから、あまりが3の倍数になる。だから元の式も3の倍数になるではダメでしょうか？

[@スルメイカ-p3v]

この場合はmod 3で考えているため、(n-1)n(n+1)が連続する3つの整数である、とはすぐには言えなさそうな気がします。 n+1≡n+4 的な変形も出来そうですし。

[@user-dg4fj6vk9s]

そうですね n³-7n+9 = (n-1)n(n+1)-6n+9 (n-1)n(n+1)は連続3整数の積だから3の倍数 -6n+9は3の倍数 よって3の倍数だと示せます 結局本質的にはやってることはほぼ変わりませんね

[@user-dg4fj6vk9s]

@@スルメイカ-p3v (n-1)n(n+1)自体はそのまま連続3整数の積で扱っていいと思いますよ 合同式が主張しているのは「与式と(n-1)n(n+1)が3を法として合同である」ということであり、(n-1)n(n+1)の性質に介入することはできません (n-1)n(n+1)≡(n-1)n(n+4)という変形はできますが、これは「(連続3整数の積)と(ある非連続3整数の積)が3を法として合同である」ということを示しているだけで、合同式"の左辺"が連続3整数であることを否定しません 上の返信ではコメ主の意図を読み違えて回答しましたが、 (与式) ≡(n-1)n(n+1) ≡0(∵連続3整数の積は6の倍数) として証明することはできます

[@スルメイカ-p3v]

@@user-dg4fj6vk9s ありがとうございます。自分もn+4の変形を提案したところで、違和感を感じていたので、疑問が解消されました。勉強になります。

[@aquawaddledee]

良問すわ…

[@感嘆符-f2c]

積分より好き

[@jjwwpjmdajmdejgt]

これって京大数学の中でもかんたんなもんだいですか？

[@八百屋の菠薐草]

やや易～普通くらいですかね。 整数は実験してmodで処理したりするのは有名ですから人によっては簡単に感じるかと思いますが

[@jjwwpjmdajmdejgt]

@@八百屋の菠薐草 了解です

[@直人-n8k]

連続3整数だから6の倍数なので3の倍数でもあるの方がよくみるくね

[@mitotsudaira5]

高校の時、合同式とかmodとかよくわからず 2n,2n+1とかを代入してごり押してた記憶