Genre et différentielles (Vers La Géométrie Algébrique -- Épisode IV)

Ceci est l'épisode IV de ma série "Vers la géométrie algébrique", les autres épisodes sont disponibles ici :
- Episode I -- Les courbes planes : • Les courbes planes (Ve...
- Episode II -- La géométrie projective : • La géométrie Projectiv...
- Episode III -- Les complexes entrent en scène : • Les complexes entrent ...
- Episode IV -- Genre et différentielles : • Genre et différentiell...
- Episode V -- Théorème de Riemann-Roch : • Le théorème de Riemann...
- Episode VI -- :
Dans cet épisode, on arrive enfin à définir le genre en termes purement algébriques. Pour cela, il faut regarder les fonctions définies sur les courbes algébriques, et plus précisément les formes différentielles régulières. On vérifie alors que dans le cas de la courbe de Fermat x^n + y^n = 1 on trouve le genre attendu. Finalement, on montre comment le résultat s'obtient également à partir du degré du diviseur canonique (la notion de diviseur apparaîtra dans l'épisode suivant).
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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Utip.
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Plan
00:00 Début
5:28 Idée fondamentale
10:47 Fonctions sur la droite et théorème de Liouville
18:55 Pôles et fonctions rationnelles
24:28 Formes différentielles
31:41 Définition algébrique du genre
35:30 Courbe de Fermat
1:07:06 Conclusion pour la courbe de Fermat
1:14:37 Généralisation
1:19:54 Zéros et pôles d'une forme différentielle
1:29:29 Vers le diviseur canonique
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Références :
- Perrin, Géométrie Algébrique
- Shokurov, Riemann surfaces and Algebraic Curves
- Kirwan, Complex Algebraic Curves

[@erwanaliguechi3876]

Ça commence à se corser mais je m’accroche j’ai compris la globalité en 2 jours grâce à vos explications. Merci beaucoup pour ces travaux!

[@antoinebrgt]

Courage, c'est ça qui est le plus efficace!

[@lugarmadeo3623]

Merci beaucoup, je l’attendais avec impatience mais le boulot prend du temps merci pour tes vidéos

[@leporcquirit]

Une vidéo d'Antoine le dimanche c'est à la fois une semaine qui se termine bien et la suivante qui commence bien 😀 Petite coquille dans la description : « Ceci est l'épisode III » => « IV »

[@antoinebrgt]

Ah oui merci, il faut que je change ça! Mais ça fait plaisir que certains lisent les descriptions !

[@paris0175]

Merci! C’est puissant cette partie de géométrie algébrique, en particulier les courbes elliptiques… ! Ça me passionne et je comprends certaines choses que je vais développer grâce à d’autres vidéos et de livres ! En tout cas les explications sont simples et faciles à assimiler …

[@antoinebrgt]

Oui c'est puissant, et ce n'est que le début :D

[@alanpeter2172]

Merci pour ce superbe 4iem épisode !

[@paris0175]

Ah j’attendais la suite avec impatience !! Merci … Si vous avez des livres avec exercices corrigés sur la géométrie algébrique et courbes elliptiques et hyper elliptiques je suis preneur ! Merci beaucoup pour vos vidéos !

[@antoinebrgt]

J'ai mis quelques références dans la description, je crois qu'il y a des exercices aussi. Il y a sans doute d'autres ressources, j'en ajouterai si je trouve!

[@paris0175]

@@antoinebrgt Merci beaucoup

[@rootbuild2028]

Magnifique

[@alexplosif4604]

Bonjour, je viens de découvrir votre chaîne, est ce que vous avez une vidéo ou une suite de vidéo que vous recommanderiez par lesquels commencer pour ne pas être perdu.

[@antoinebrgt]

Bonjour, il n'y a pas d'ordre particulier dans les vidéos, sauf quand c'est clairement indiqué, comme pour cette série sur la géométrie algébrique. Il ne faut donc pas hésiter à fouiller ! J'ai aussi créé quelques playlists mais normalement les vidéos sont assez indépendantes les unes des autres.

[@samuelblarre4522]

Merci pour cette nouvelle vidéo. Je pensais à un truc qui serait parfois bien utile: insérer des liens vers des vidéos précédentes avec le bon time code. Cela permettrait de naviguer de façon interactive, sans devoir rechercher et revisionner toute la vidéo. Mais je me doute que cela demanderait pas mal de travail. Alors ce n'est juste qu'une suggestion que je me suis faite lorsque tu as posé z=1/x et que je ne voyais plus pourquoi.

[@antoinebrgt]

Oui l'idéal serait d'insérer des vignettes, je pourrai le faire à l'occasion mais il faudrait que je re regarde tout, ce qui prend du temps ! Mais si tu me dis les endroits précis où les liens manquent je peux ajouter.

[@galilien]

merci beaucoup pour ce magnifique voyage dans le « Mathematical Land » où vous nous faites prendre ce très vieux petit train des « Polynômes » et tel un guide vous nous munissez de « lunettes topologiques » montrant un réseau de liens entre nombres courbes et autres surfaces Riemannienne… Vraiment BRAVO pour ce travail de démontage des « concepts » et l’effort pédagogique qui le sous-tend. Bonne continuation. PS: Algèbre et Géométrie serait-ce l’énergie et la matière de l’univers des « objets » dits mathématiques ? à quand une approche “quantique” (onde corpuscule ) des nombres-courbes ? 😉😂

[@user-dq6sc9df5y]

J'adore. Franchement tu peux encore plus approfondir sur ce thème.

[@antoinebrgt]

Ça va venir dans l'épisode suivant :)

[@claviusambrosius2325]

Merci beaucoup !

[@jmjhno5165]

Merci de s'attaquer au sommet des mathématiques contemporaines. Dans ce 4ème épisode, j'ai du mal à saisir pourquoi on se sert des formes différentielles, quelle est l'intuition qui amène aux formes différentielles?

[@antoinebrgt]

C'est pas extrêmement facile à bien justifier, mais en gros on voit que les fonctions ne suffisent pas (il n'y en a pas de non constantes), et les différentielles sont des choses assez simples (ça correspond à des sections du fibré cotangent, qui est quelque chose qui a du sens algébriquement). Je ne sais pas s'il y a une meilleure réponse... Sans doute que oui!

[@MB-xg9jt]

Épisode IV : a new Hope 😂

[@antoinebrgt]

J'ai hésité, je l'avoue :D Peut-être que je finirai par renommer tous les épisodes si je trouve un bon jeu de mot pour chacun...

[@MonsieurSeize]

Bonjour Antoine, une question très récurrente chez moi est de savoir comment choisir un livre pour étudier un sujet, étant donné qu'on ne peut pas étudier 10 000 livres non plus. Par exemple, concernant la géométrie algébrique , pourquoi préférer le livre de Perrin à celui de Hartshorne ?

[@antoinebrgt]

Oui c'est pas facile de choisir, ici pour cette série de vidéos je ne voulais pas utiliser l'approche des schémas, et je savais que Perrin couvrait à peu près ce que je voulais dans un langage simple, d'où mon choix. Il est aussi relativement court, ce qui est un gros plus!

[@lafla820]

Bonjour, merci d'abord pour ton travail immense, la clarté de tes explications et la très belle écriture au passage :). Il y a juste un point que je n'ai pas saisi : on considère une forme régulière dy/x^(n-1) avec une puissance élevée au dénominateur de façon à conserver la régularité en multipliant par un polynôme P(x,y) de degré élevé lui aussi, mais comment sait-on que ce procédé engendre tout l'espace des formes régulières ? comment sait-on qu'il n'existe pas d'autres formes construites je ne sais comment en dehors de l'espace engendré par ces (n-1)(n-2)/2 formes ?

[@antoinebrgt]

Comme tout est polynomial, c'est assez facile d'énumérer tout ce qui est possible. Si tu peux me dire à quel moment précis de la vidéo tu te réfères je peux regarder plus précisément :)

[@lafla820]

@@antoinebrgt C'est à 1h09min : deg(P)

[@yael2593]

Je ne suis qu'en deuxième année de prépa mais souhaite m'orienter vers un parcours en physique plus tard...Toutes ces maths s'apprennent elles en continuant dans la physique, où faut il suivre des cours de maths à côté ? Merci pour ces vidéos, elles sont très instructives.

[@antoinebrgt]

Ça s’apprend partiellement au cours de la formation en physique, mais en effet si tu veux aller plus loin il faudra apprendre de ton côté ! Mais tu as encore le temps...

[@paris0175]

48’: Pourquoi dites vous que y n’est pas un bon paramètre au voisinage de l’origine alors que x oui ?? Merci

[@antoinebrgt]

Parce que y "rebrousse", ce n'est donc pas un paramètre bijectif !

[@paris0175]

@@antoinebrgt Pouvez-vous détailler svp? Je ne comprends pas ce que vous appelez « rebrousse »! Est ce le fait que dy s’annule a l’origine ou est ce autre chose ? Merci

[@antoinebrgt]

@@paris0175 oui c'est ça, pour un bon paramètre t on veut que dt ne s'annule jamais (l'idée c'est que le paramètre doit être monotone)

[@christophem6373]

Biologie, étude des comportements et transformations des être-vivants Chimie, étude des comportements et transformations des atomes et leurs agglomérats Physique, étude des comportements et transformations des objets matériels ou ondulatoires Mathématiques, étude des comportements et transformations des objets abstraits. A réfléchir et discuter à l'infini bien-sûr... 😅

[@antoinebrgt]

Oui c’est assez vrai !

[@samatarmoussa]

Beau travail. Je suis prof de maths au collège. Pouvez vous m'aider en me disant les logiciels que vous utilisez ? J'aimerais les essayer avec élèves. Merci

[@antoinebrgt]

Merci! J'utilise Gimp, les détails sont dans la vidéo FAQ disponible sur la chaîne.

[@ducdeblangis3006]

Il me semble qu'on peut montrer le résultat sur le caractère constant des fonctions holomorphes sur des surfaces fermées de façon plus simple, en disant qu'une telle fonction n'a pas de max local parce qu'intuitivement, on arrive toujours, en "tournant" autour de ce point, à passer au dessus de la valeur de ce max. Mais alors, ça veut dire que le max est toujours atteint au bord, et comme la surface n'a pas de bord, c'est qu'il n'y a pas de max local, donc elle est constante.

[@antoinebrgt]

Oui en effet on peut aussi le voir comme ça ! Mais souvent on voit le théorème de Liouville assez tôt quand on étudie l'analyse complexe (je l'ai mentionné dans la vidéo d'ailleurs) je trouvais que c'était un bon moment pour le mentionner. D'ailleurs je me rappelle que dans mon cas c'était un théorème qui m'avait beaucoup frappé la première fois que je l'ai vu!

[@yannickpezeu3419]

17:00 pourquoi x = 1/z svp ? J'ai pas saisi. J'ai (x,y,z) ~ k*(x,y,z) J'ai y =0 donc (x,0,z) ~ (x/z,0,1) mais je vois pas pkoi x = 1/z

[@antoinebrgt]

Il faut écrire par exemple (x,0,1)~(X,0,Z)~(1,0,z) en distinguant les coordonnées homogènes en majuscule et les affines en minuscule. Alors on a bien x=1/z.

[@yannickpezeu3419]

@@antoinebrgt merci, je reregarde ça prochainement !

[@yannickpezeu3419]

Si je comprend bien, tu dis qu'un point (x,y,z) appartient a {y=0} si et seulement si il s'écrit (X,0,Z) avec X ou Z non null. Si je prend un tel point, je peux l'écrire (x,0,1) ou bien (1,0,z) et en ce cas on aura x = 1/z. On considère maintenant un polynome sur cette courbe {y=0}. Le polynome restreint à x doit être un polynome et le polynome restreint à z doit également être un polynome. Donc c'est un polynome constant. C'est bien cela ?

[@antoinebrgt]

@@yannickpezeu3419 oui c'est exactement ça!

[@yannickpezeu3419]

@@antoinebrgt merci !