La géométrie Projective (Vers La Géométrie Algébrique -- Épisode II)

Ceci est l'épisode II de ma série "Vers la géométrie algébrique", les autres épisodes sont disponibles ici :
- Episode I -- Les courbes planes : • Les courbes planes (Ve...
- Episode II -- La géométrie projective : • La géométrie Projectiv...
- Episode III -- Les complexes entrent en scène : • Les complexes entrent ...
- Episode IV -- Genre et différentielles : • Genre et différentiell...
- Episode V -- Théorème de Riemann-Roch : • Le théorème de Riemann...
- Episode VI -- :
Dans cet épisode, nous poursuivons la quête d'un formalisme où toute courbe de degré d est coupée d fois par une droite : cela requiert l'introduction de points à l'infini. C'est précisément ce que fait la géométrie projective. Ici on regarde plus précisément le plan projectif réel P^2 et les courbes contenues dedans. Cela donne l'occasion de pointer l'importance des polynômes homogènes, et leur traduction géométrique qu'est la compacité.
Lien vers les notes : www.antoinebourget.org/attachm...
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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Utip.
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Plan
00:00 Début
01:40 Introduction avec la parabole
3:10 Points d'intersection avec une droite
12:20 Plan projectif réel
25:00 Courbe algébrique dans le plan projectif
30:50 Exemple 1 : droites parallèles
41:15 Exemple 2 : intersection entre une droite et une cubique
51:55 Il manque encore des points !

[@gehallak660]

Ce format, avec des épisodes d'environ une heure, est impeccable. On attend la suite avec impatience. Les concepts sont d'une grande beauté, merci de nous les présenter avec autant de clarté !

[@antoinebrgt]

Merci! À la semaine prochaine pour la suite!

[@marcpremium7442]

Ce format est plus agréable que les cours en direct qui n’ont d’intérêt, selon moi, qu’en direct. Merci! Super!

[@antoinebrgt]

D'accord, merci pour le retour, il semble que les avis à ce sujet soient partagés !

[@observing7312]

1h c'est une bonne durée; je peux plus facilement me rappeler de l'ensemble du contenu. Ce format est très bien.

[@alanpeter2172]

J’ai hâte de voir le 3iem pilier ! Bravo pour ces présentations !

[@antoinebrgt]

Merci! Samedi prochain pour la suite !

[@Guigeek4Q4]

Merci beaucoup, cette série est formidable !

[@laidkahloul322]

Bravo. Vraiment, j'apprécie tellement vos explications. Je ne suis pas matheux, et je suis un peu loin de ça, mais avec vous je commence à comprendre de tas de choses. Encore, très reconnaissant à vos efforts.

[@antoinebrgt]

Merci beaucoup!

[@bastiendarch8533]

Génial ! Quel teasing sur la fin ! J'attends la suite avec impatience ! Merci infiniment ;) !

[@antoinebrgt]

La suite samedi prochain si j'arrive à garder le rythme !

[@AllemandInstable]

carré, ça fera le feuilleton du soir

[@erwanaliguechi3876]

Incroyablement bien expliqué et schématisé, je suis en première avec des bases de terminales et j’ai tout compris👍🏼👍🏼 Ça serait possible d’avoir les notes de la vidéo comme tu le mets en description à chaque fois?

[@erwanaliguechi3876]

Hâte de l’épisode 3 d’ailleurs!

[@antoinebrgt]

Ah oui il faut que je mette les notes, je vais essayer de le faire bientôt!

[@davidp.4176]

Quel bonheur ! Merciiii

[@dotsemichaelis2685]

Tout simplement magnifique. Merci.

[@antoinebrgt]

Merci beaucoup!

[@Vannishn]

Merci et bravo pour cette vidéo ! J'aime bien voir RP2 comme D2/(pour x sur le bord, x ~ -x). C'est une représentation un peu plus compacte, même si la métrique est un peu weird. Justement, est-ce que tu connais des isométrie de RP2 quand il est quotient du disque, pour "translater" n'importe quel point en (0,0) ? Parce qu'alors, est-ce que les multiplicités d'intersections de deux lacets en un point correspond bien à, intuitivement, "la mesure de la discontinuité d'une des deux courbes (ou l'union des courbes ?) lorsqu'on se centre en ce point par isom" ? Désolé c'est très informel, je ne sais pas si c'est compréhensible... Dommage qu'on ne puisse pas faire de croquis dans les comms youtube. Bonne soirée !

[@monsieurhics4684]

super !

[@alexblokhuis]

🤩🤩🤩🤩

[@jacquesamedji7780]

Merci!!!!!!!!!!!!

[@Pradowpradow]

Bonjour, je laisse un petit commentaire pour aider au référencement

[@antoinebrgt]

Merci ! Moi aussi du coup !

[@jeancopa4653]

J'aime beaucoup cette chaine. Merci infiniment. En ce qui concerne la géométrie projective, j'ai trouvé mieux, si j'ose dire, sur la chaine Quadriviuum tremens. Pardonnez moi mais ça peut aider à mieux comprendre. Encore toute ma reconnaissance à votre chaine qui me passionne.

[@antoinebrgt]

Merci ! En effet la chaîne Quadriviuum Tremens a aussi parlé de géométrie projective, de façon très claire comme d'habitude, je pourrai ajouter un lien vers la vidéo dans la description.

[@ayoh4328]

Tu peux faire des vidéo sur l'algèbre de Heinsberg et ses application sur la TQC

[@antoinebrgt]

C'est pas vraiment prévu pour le moment, j'ai déjà fait un paquet de vidéos sur la TQC, et l'algèbre de Heisenberg y est apparue plein de fois déjà !

[@mathieukprout8187]

Exigeant, mais le cheminement permet de repartir du point où on a lâché, pour donner une deuxième charge à la compréhension. Pour moi, c'est la visualisation du plan projectif à 24:00, puis de celle de y=x^3 dans le plan réel à 51:30

[@antoinebrgt]

Merci, en effet c'est exigeant et je suis content que ça reste compréhensible! J'espère que ça le reste dans la suite!

[@danielcherpit4586]

Super vidéo merci juste une question: Pourquoi ne peut-on pas tester les points(x,y,1) et (x,y,0) au lieu de tester 3 plans ?

[@antoinebrgt]

En effet on peut aussi faire ça, c'est juste un peu moins symétrique car ça semble donner un rôle spécial aux points (x,y,0). Et dans d'autres applications ce sera aussi important de disposer des 3 patchs pour couvrir tout le plan projectif, donc autant s'y habituer tout de suite!

[@danielcherpit4586]

Ah d accord merci👌

[@claviusambrosius2325]

Merci beaucoup

[@pocaudraphael6066]

👍

[@pascalneraudeau2084]

WokN'Wol! comme d'hab' Merci! . tu aurais une idée sur 'en quoi' ou comment une √d'un nombre négatif pourrais être 'assimilée' à une division par zéro ? (je sais, rien à voir!, mais pour le fun ...)

[@antoinebrgt]

Pour la question, non aucune idée de ce à quoi ça pourrait correspondre...

[@j9dz2sf]

Je serais intéressé par la preuve que la somme de deux nombres algébriques a et b est algébrique. Soient deux polynômes P et Q, à coefficients dans ℤ, annulant respectivement chaque nombre algébrique, il semble que le résultant de P(x) et de Q(x-y) annule a+b. Comment prouver cela ? Il y a une histoire d'idéal quelque part là-dedans, mais j'ai pas bien compris. Je manque de bases sur ce sujet des résultants et des matrices de Sylvester. Une vidéo sur ces sujets m'intéresserait beaucoup.

[@antoinebrgt]

Pour ce point précis il faut regarder la définition du résultant et ça devrait se déduire sans trop de problèmes, il faut regarder des introductions à la théorie des nombres algébriques. J'en parlerai peut-être un jour sur la chaîne, mais pas tout de suite, j'ai une assez longue liste de sujets dans les tuyaux déjà pour cette année :)

[@j9dz2sf]

@@antoinebrgt Si je pose la question, c'est que je n'arrive pas à le prouver. La définition du résultant, c'est facile : c'est le déterminant de la matrice de Sylvester. J'ai programmé ce calcul, et, sur l'exemple de P=x²+1 et Q=x²-2, j'obtiens, pour le résultant de (P(x), Q(x-y), x) le polynôme x⁴-2x²+9 qui annule bien i+√2. Mais je n'arrive pas à le prouver dans le cas général. Paraît-il qu'il faut utiliser Bézout, mais je n'arrive pas à prouver Bézout. Semblerait qu'il existe U et V tels que PU+QV=Résultant, mais je me demande 1/ si U et V sont calculables (ou si on ne peut que prouver leur existence) et 2/ si les coefficients de U et V doivent être dans ℝ ou bien s'ils peuvent rester dans ℤ.

[@mimil_jd331]

Bonjour, petite question : qu’utilises-tu pour faire les dessins « en live » ? Une tablette graphique reliée au pc ? Connaitrais-tu un bon modèle compatible macbook ? Et aussi, les logiciels allant avec (pour les vidéos et la double image cam/dessins). Merci d’avance !

[@antoinebrgt]

Bonjour, j'ai expliqué tout le système dans ma vidéo FAQ vers la fin, il y a le matériel et le logiciel!

[@mimil_jd331]

@@antoinebrgt merci !

[@paulboulanger6634]

Bonjour, pourquoi ne pas dire simplement que lorsqu'il n'y a qu'un seul point d'intersection il s'agit en fait de deux points confondus? Tout comme les racines confondues d'un polynôme ne comportant que des degrés pairs non nuls...

[@antoinebrgt]

Oui c’est exactement ça, par exemple y=x^2 intersecte y=0 en un point avec multiplicité 2, et donc tout marche. Une façon de le voir est que x^2 et sa dérivée 2x s’annulent toutes les deux en x=0, donc on a un double zéro.

[@archiblede1562]

Quel type de stylet et de logiciel utilisez-vous svp ?

[@antoinebrgt]

C'est une tablette XP pen, et GIMP, tout est expliqué dans la vidéo FAQ vers la fin

[@bullmarket3424]

que penses tu de l'imbroglio B Arnault Ecole Polytechnique le épisode 3 c'est quand?

[@antoinebrgt]

Je ne vois pas de quoi tu parles... L'épisode suivant sera prêt samedi !

[@yusufhildevert1749]

Merci pour ce que tu fais... C'est très "citoyen" f(x, y, z)=0 avec f homogène définit dans R^3 une surface, son intersection avec les plans définis par x=1, y=1 et z=1 ou avec la demi-sphère est la courbe algébrique correspondante dans RP^2. Ainsi un plan passant par l'origine dans R^3 définit une droite dans RP^2. J'ai bon ?😅

[@antoinebrgt]

Hm pas sûr de bien comprendre, en tout cas il ne faut pas confondre la sphère S^2 avec RP^2, ce sont des espaces très différents topologiquement !

[@AitJoseph]

Une petite précision sur ce point double , moi je ne vois qu'un .Merci

[@antoinebrgt]

A quel moment ?