Геометрическое доказательство формулы Герона | Ботай со мной

#БотайСоМной #052 Герон 2.0
Геометрическое доказательство формулы Герона
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.r...
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Откуда взялся Герон? • Откуда взялся Герон? Ф...
Тригонометрические формулы: • ✓ Тригонометрические ф...
Четыре окружности в параллелограмме: • Четыре окружности в па...
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
9 класс. Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 1-12): trushinbv.ru/eg...
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/eg...
11 класс. Подготовка к олимпиаде Физтех: trushinbv.ru/fi...
Другие курсы Фоксфорда: foxford.ru/lib...
Личный сайт: TrushinBV.ru
ЕГЭ и ОГЭ по математике | Борис Трушин: ege_tru...
Группа сайта TrushinBV.ru: trushin...
Личная страница: trushinbv
Группа сайта: / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
KZbin-канал: / trushinbv

[@servenserov]

Конгениально! Не поверите - смотрю третий раз за полтора года. Какой-то кайф. Борис Викторович, спасибо, Вас слушать - бальзам на душу!

[@trushinbv]

Спасибо )

[@J7Premiere]

Большое спасибо за подобные видео! Самая главная польза от подобного не то, что пополняется копилка знаний, а увеличивается понимание предмета в целом. Начинаешь чувствовать математику, как математику, а не отдельная алгебра, отдельная геометрия. Спасибо! Хочется узнать откуда берется формула Пика.

[@arthurmolchanov6510]

JPremiere Mixtime ссылка на док-во формулы Пика: kvant.ras.ru/1977/04/celye_tochki_v_mnogougolnikah.htm

[@ЕвгенийБукреев-т1ф]

про формулу Пика ++++

[@ЕгорИгнатов-и3г]

+ Формула Пика!

[@GeorgeGoncharovMath]

Аналогично тому, если бы мы отдельно целые клеточки считали и неполные)))))

[@b1gjoy20]

Надо бы у самого Герона спросить как он выводил эту формулу

[@andreymichenco]

Герон провёл высоту и нашёл её, применив теорему Пифагора.

[@МаркизКарабас-о6б]

Наверное в Александрийской библиотеке было и не сохранилось...

[@ЭлеонораГараева-щ9в]

По факту

[@mega_mango]

Я думаю довольно просто: привёл высоту к а, решил простенькую серию уровнений, найдя высоту, умножил а на высоту и поделил на два. Затем, выразил все в буквах В принципе, я даже больше скажу: в начале восьмого класса, когда я только изучил теорему Пифагора, из-за необходимости я тоже самостоятельно вывел формулу Герона. Когда мы начали проходить её в восьмом, для меня стало настоящим откровением, что я, оказывается, сидел и мучился над ней зря :)

[@zrtqrtzrt8787]

@@mega_mango одна беда: Герон не знал алгебры, значит никаких алгебраических вычислений не мог произвести. Только геометрические построения. Алгебру позже Аль Хорезми рассказал в «Аль джебр и аль мукабала», цифры европейцы узнали от арабов, а те от индусов. А до того греки использовали вместо чисел греческие буквы примерно так же, как римляне использовали латинские буквы для обозначения чисел. И хотя это и называют «римские цифры», но это не цифры в нашем понимании. Ну, например, цифра «десять» X, цифра «сто» С, цифра «пятьдесят» L и т.п. В таких «цифрах» сами римляне с трудом разбирались, не говоря уж о вычислениях с такими «цифрами». У греков было то же самое, только с греческими буквами. Поэтому греки из математики использовали в основном геометрию, для них с такими «цифрами» геометрия была более понятна.

[@MiroslavOstapenko]

Огромное спасибо, как же я мучался, думая как же это работает. А Герон крутой чувак, ему тоже спасибо))

[@ֆիզիկաԿարենՄամյան]

Красиво. Спасибо, Борис Викторович!

[@Homayoun197250]

Спасибо большое за видео из Германии.

[@shuxratqurbonov9741]

Большое спасибо за информацию Борис

[@АнтонПолетаев-с7у]

Спасибо братан,благодаря тебе я как Нео из матрицы вижу все теперь.

[@Muxa-xb4vs]

Очень хотелось бы послушать про обратные тригонометрические функции, про их область определения ( значения ) и тд. Так как лично я там немного все таки путаюсь, как и многие я уверен!!! Пожалуйста дядя Боря)) давайте))

[@AngryBro]

Было уже, вроде

[@NXN-QUXT]

Обратные тригонометрические функции по факту многозначные, их просто ограничивают искусственно

[@valeriyamath]

Большое спасибо за Вашу работу!

[@tigrangasparyan7895]

Большое спасибо за красивое геометрическое доказательство, действительно красиво связали с формулой tgα+tgβ+tgγ=tgαtgβtgγ. Но эта формула почти сразу получается из формулы для tg(α+β).

[@МихаилМамонтов-э3у]

Круто, мужик! Это доказательство мне больше всего понравилось. Интересно, как создатель додумался до этой формулы в своё время.

[@servenserov]

Феноменально! "Глядя на мир, нельзя не удивляться". К.Прутков

[@alexanderbozhnyukrs1469]

Спасибо, это очень интересно.

[@nicksm7980]

У Калинина, Терёшина в планиметрическом приложении, в задаче 3.10 к третьему параграфу ещё более геометрическое доказательство формулы Герона, через вневписанные окружности.

[@aypepa]

Замечательно!

[@arthurmolchanov6510]

Есть доказательство формулы Герона в журнале под названием «Квант»(аж целых три). Спасибо за видео. Ссылка: kvant.mccme.ru/1986/10/formula_gerona.htm

[@mamurok8124]

Спасибо, Борис Викторович )

[@Muxa-xb4vs]

четко просто еееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееее боииииииииииииииииииииииииииииииииииииииииииииииии

[@nataliavolovich843]

Спасибо, много интересных фактов, и вроде бы всё так, но остаётся ощущение жульничества. Все время казалось, что мы придём к чему-то типа 1=1.

[@humaniora_for_all]

Мечты сбываются, спасибо! С тангенсами будем разбираться, но и так уже прекрасно.)

[@ПавелКуликов-м9м]

1. Присоединюсь к тем, кто хотел бы узнать, как сам Герон пришел к этой формуле. Может быть историков математики поспрашивать? 2. Увидел вписанную окружность, и побежал смотреть формулу Брахмагупты. Но нет, там окружность описанная, хотя что то в этом есть.. Истина где то рядом!

[@dmitriyrusanovskyi5548]

Боря ты гений

[@БогдановИлья-к4р]

Очень круто!

[@СухмиМирзаевна]

Ой, а у нас не так объясняют🙃🙂🙂, ХАРООШ

[@williamspostoronnim9845]

Потрясающе! Почему в школе мы этого не проходили?

[@DictoDictov]

Какая-то магия)

[@Люсьена69]

Круто

[@mysterg1361]

Гениально, мистер Герон был не промох, до такого догадаться...)))

[@mollypr52]

Неплохо)

[@kedrjack4649]

Можно через комплексные числа доказать, это и геометрично и алгеброично.

[@MiroslavOstapenko]

Страшна мне

[@mega_mango]

Нах...

[@АлександрКрупин-й3м]

Еще существует интересный вывод формулы Герона через вневписанную окружность. Из названия видео, я думал, что вы про это доказательство будете рассказывать.

[@humaniora_for_all]

Где можно почитать?

[@KambarKenzhegaliyev]

Круто...

[@nickfast8624]

Кайф)

[@DykyKryl]

Если бы в др Греции были гонения на ведьм и колдунов - не видать нам формулы герона

[@math26ru]

Б.В. очень интересно, могли бы вы рассказать о рядах Фурье, его геометрической смысл и откуда это разложение вообще взялось?))

[@math26ru]

@Никита Липницкий спасибо дружище)

[@math26ru]

@Никита Липницкий помню как-то я писал wild mathing с просьбой сделать видео о фрактальной геометрии, мне ответили, но видоса я так и не дождался)) наверное ты прав такие темы в какой-то степени не понятны, но считаю, что их необходимо изучать, ведь именно подобные темы заставляют восхищаться и удивляться. Трушин понятно объясняет, но английские каналы умеют прекрасно визуализировать, а это для меня отличный способ понять и запомнить новый материал. Никита, где ты учишься?

[@MiroslavOstapenko]

А где Никита?

[@ДмитрийКириллов-к5ъ]

Помню как написал вам этот факт в году 2015.И в начале вы даже сказали,что это не верно.Оказалось,что это номер из ММО 2006 года.

[@МихаилУжов-е2й]

Дано: ΔABC. Проведем высоту CC₁=h. Пусть АС₁=х, тогда ВС₁=с- х Из ΔACC₁: b²-x²=h² Из ΔCBC₁: a²-(c-x)²=h² b²-x²=a²-c²+2cx-x² 2cx=b²+c²-a² x=(b²+c²-a²)/2c h²=b²-((b²+c²-a²)/2c)² 4(ch)²=(4b²c²-(b²+c²-a²)²)=(2bc-b²-c²+a²)(2bc+b²+c²-a²) 4(2S)²=(a²-(b-c)²)((b+c)²-a²) 16S²=(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c) Дальше наш уважаемый лектор уже показал. По сути, фГ сводится к нахождению высоты по известным сторонам. И НИКАКИХ ТАНГЕНСОВ!!! 😀😀😀😀

[@vadimgrecheskiy8895]

Это стандартное доказательство из учебника. Суть была в том, чтобы избежать этого доказательства и показать более "геометрическое" доказательство.

[@МихаилУжов-е2й]

@@vadimgrecheskiy8895 использование тригонометрического тождества более «геометрично»? Не смешите мои якобианы!

[@davidblbulyan3077]

@@МихаилУжов-е2й Ну дык тригонометрическое тождество - это просто теорема Пифагора, только записанная чуток по-другому...

[@gleboluvov5410]

@@davidblbulyan3077 чел тыыыы

[@melnik1977]

Добрий день. Тільки тепер наштовхнувся на це відео. Борис, у мене запитання таке - у другому рядку чому ви не розписали тангенс суми двох кутів. Тоді б формула з тангенсами була б тривіальною...

[@alekseypolev947]

Расскажите про углы Ейлера?

[@daniilz3859]

Борис, добрый день. Не хотите микрофон-петличку повесить? Или Вам так удобнее?

[@Daniilnew]

Love is...)

[@giuseppelucianoferrero8916]

Prof Boris.( Sempre molto bravo)! Vorrei tuttavia segnalarle un aspetto che non è ancora stato indagato dai matematici antichi e moderni, ed è veramente sorprendente. Si tratta del significato del ( 1/2) nella formula dell'Area dei triangoli). MI sono domandato perché e cosa rappresentava , poi ho compreso che è una costante goniometrica . Ho pensato che però è una funzione angolare del (sin 𝛉=30°), del cos 2ϑ=60°, e della tg 𝛃=26°,56505118 che è l'angolo acuto minore compreso fra (cateto b) e(ipotenusa c)del triangolo retto della tripla pitagorica (3-4-5).Nel caso in esame :A= ab(tg𝛃)=(3*4*(0,5)=6 Tuttavia 𝛃/2=53,13010236/2=26°,56505118.. Ho compreso che tg (𝛃∕2)era da scartare e così anche il sen 30° perché tutti e due non rappresentavano il valore medio dei tre angoli interni di ogni triangolo. Dunque ecco che quando , 1/2=cosϑ, è uguale alla media dei tre angoli; (𝞪+𝛃+𝛄)/3=180/3=60° si ha>> 1/2 =cos60°=cos(𝝿/3). Dunque ,torniamo ad Erone ed alla sua formula ,che alla luce di quanto qui detto, calcoliamo l'area della tripla pitagorica di cui sappiamo già il valore(A=6) e dove [P(cos 𝝿/3)=(12*05)=6] ,che si dovrebbe riscrivere : A=√[Pcos(𝝿∕3)(p-a)(p-b)(p-c)] =√[(12*0,5)(6-5)(6-4)(6-3)=√ 6[ 1*2*3)]=√(6*6)=√36=6 Faccio osservare che nel caso del triangolo equilatero la forma diventa: A=(l/2)*(l/2√3] =(l/2)^2√3 = 8,1185118 ( quando l=5*(cos 30°)=4,330127.. dove P=3*4,33..=12,99.. ed p=Pcos60°=6,495. verifica con formula di Erone>> A=. √[P(cos60°)(p-l)^3]= =√ [12,99(cos 6o°(6,495-3,33)]=√[6,495(2.165)^3]=√(65,911)≃ 8,1185.. che è uguale a quello calcolato più sopra: dunque è verificata. Proporrei allora che A di Erone sia riscritta come sopra-indicato. Cordialità(ioseph) LI, 26/5/22 (Viva la Russia!)([e-mail])

[@zrtqrtzrt8787]

giuseppeluciano ferrero, просто начерти прямоугольник со сторонами a и b. Затем проведи диагональ этого прямоугольника. Смотри: прямоугольник разбился на 2 прямоугольных треугольника, катеты которых равны a и b, а гипотенуза совпадает с диагональю исходного прямоугольника. Поскольку площадь прямоугольника равна a×b, то, поскольку треугольники, образованные разбиением прямоугольника диагональю прямоугольника, равны друг другу и их получилось ровно два, то, чтобы получить площадь прямоугольного треугольника, нужно взять половину площади прямоугольника, т.е. a×b/2. Но для прямоугольного треугольника a и b - катеты, поэтому получается, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, просто в силу того, что прямоугольник разбивается диагональю на два равновеликих прямоугольных треугольника, катеты которых равны сторонам исходного прямоугольника, а гипотенуза совпадает с диагональю прямоугольника. Так что никаких синусов и косинусов в данном коэффициенте нет и приближённых значений тоже нет. Формула абсолютно точная. Площадь прямоугольного треугольника равна половине площади прямоугольника и в силу этого равна половине произведения катетов.

[@ВладимирЛункин-ж2ъ]

Ойй, а если вспомнить формулу tg(a+b), то равенство в одну строчку выводится.

[@НикитаТаронов]

А в какой многоугольник можно вписать окружность?

[@birdsunion3294]

КоЧоК БоМбА в любой 20!8

[@KOPOJLb_King]

Если треугольник, то в любой. Если четырехугольник, то только в том случае, если суммы длин противолежащих сторон равны. Остальные по подобному алгоритму :)

[@ЕвгенийКомлев-л1о]

Для полной наглядности в таких случаях лучше приводить в качестве примера, вычисление по этой формуле используя конкретные числа и углы какого-либо треугольника.

[@Alex-nc7dn]

Хотелось бы увидеть вывод формулы вычисления криволинейной трапеции (Ньютона-Лейбница) так, чтобы было понятно как 2+2=4. При выводе ссылаться на аргументы как "2+2=4"). Вывод желательно сделать геометрическим способом (можно вспомогательное что-то использовать, но понятное) через множество сумм прямоугольников (или ещё чего). Суть производной мне понятна по геометрической части, а определённого интеграла с точки зрения нахождения площади (точнее понимания почему так рассчитывают) не совсем. Способы которые я находил для выводы формулы площади криволинейной трапеции меня не совсем удовлетворили (это способ через производную s(х), и оценки интегралов - просьба их не учитывать, а если применять при доказывании то все этапы объяснять как 2+2=4). Пожалуйста заполните мой пробел в понимании вывода данной формулы и её применения).

[@nicksm7980]

Зельдовича открывали?

[@kosiak10851]

было же. Именно у Трушина "Что такое интеграл | Осторожно, спойлер!"

[@maksanimations2467]

Здравствуйте, не могли бы вы, пожалуйста, объяснить китайскую теорему об остатках

[@Бойе-л7у]

Привет...

[@goodwinmage6199]

На самом деле не очень геометрической докозательство, существует очень красивое докозательство через вневписанную окружность.

[@alexneugodov9429]

Вы украли мой коммент:) Где я видел это доказательство, не подскажете - у Коксетера или у Кушнира? Не может быть, чтобы я сам до него додумался. Из года в год повторяю его, а откуда взял уже забыл. Эх, летит время!

[@servenserov]

Не для среднего ума :-(

[@user-zc5jy6mw8h]

Есть объяснение для восьмых классов, ни черта не поняла

[@trushinbv]

У вас уже была теорема косинусов?

[@ВладимирСергеев-м9ю]

Ведь формула Герона даётся в 8 классе, когда ни о какой тригонометрии ещё и слыхом не слыхано! Зато уже узнав теорему Пифагора, можно разбить любой треугольник высотой на 2 прямоугольных треугольника. И дальше как в предыдущем видео (за год до этого)

[@МаксимЖилкин-н2ш]

НЕ ИГНОРИРУЙТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!!!!!! Решите пожалуйста вот эти задачи , потому что на просторах интернета гуляет несколько разных решений с разными ответами и непонятно кого слушать( В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер AA1 = 7, AB = 16, AD = 6. Точка K - середина ребра C1D1. а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку B перпендикулярно прямой AK, пересекает отрезок A1K. б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC. · В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания. а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SB в отношении 3 : 1, считая от вершины S. б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.

[@trushinbv]

Закиньте сюда -- vk.com/ege_trushin -- через "Предложить новость". Там большинство задач мои ученики довольно быстро решают.

[@DykyKryl]

Знания атлантов. А у них то откуда?

[@AngelGanibal]

Борис, ты очень криво пишешь! Если посмотреть в конец не смотря видео, то разобрать что-то очень сложно.

[@trushinbv]

Вы фильмы тоже так смотрите? ) Смотрите последние 5 минут и пытаетесь все понять?

[@AngelGanibal]

@@trushinbv Здравствуйте! Я где-то полгода назад смотрел на фоксфорде видео про теорию чисел, там был другой ведущий, и он сам говорил, что "лучше меньше говорить, но ровнее писать, чем делать очень много попутных разъяснений и криво писать"! Извините, что в первом комментарии обратился на ты а не Вы.

[@trushinbv]

@@AngelGanibal, ну, у всех разные подходы. Я считаю, что важнее именно поговорить, чтобы было больше понимания того, что происходит. А если преподаватель мало говорит и больше пишет, то это ничем не отличается от книжки.

[@AngelGanibal]

@@trushinbv Да, согласен. Спасибо!

[@AngelGanibal]

@@trushinbv Здравствуйте, Борис Викторович! Решите пожалуйста задачу: Сумма квадратов n простых чисел, каждое из которых больше 5, делится на 6. Докажите что и n делится на 6. Заранее спасибо!