Два геометрических доказательства теоремы про тангенсы | Ботай со мной

#БотайСоМной #053
Два доказательства теоремы про тангенсы
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.ru/to/4100110176...
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
В субботу днём вышло видео [ • Геометрическое доказат... ] с геометрическим доказательством формулы Герона. Оно было основано на красивом тригонометрическом факте -- если сумма трёх углов равна 180 градусов, то сумма их тангенсов равна произведению их тангенсов. В том видео я сказал, что не умею доказывать это утверждение чисто геометрически, и предложил моим подписчикам подумать о том, как это можно было бы сделать.
В тот же вечер Ришат прислал одно геометрическое доказательство, а в воскресенье Иван прислал еще одно.
И вот, в понедельник утром я решил записать для вас видео с рассказом про эти доказательства )
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
9 класс. Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 1-12): trushinbv.ru/ege11b
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/ege11c
11 класс. Подготовка к олимпиаде Физтех: trushinbv.ru/fizteh11
Другие курсы Фоксфорда: foxford.ru/library/courses?re...
Личный сайт: TrushinBV.ru
ЕГЭ и ОГЭ по математике | Борис Трушин: ege_trushin
Группа сайта TrushinBV.ru: trushinbvru
Личная страница: trushinbv
Группа сайта: / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
KZbin-канал: / trushinbv

[@BEKOshaDTsW]

Спасибо, Борис! Очень изящно. Получил эстетическое удовольствие от просмотра и осмысления ролика. Очень жаль, что удовольствие от доказательства теорем начал получать не в школе а... после окончания вуза, в 24 года.

[@user-xe1ih8ue3f]

Никогда не поздно)

[@knightrun123]

За вступление как обычно лайк не глядя

[@tdu819]

За вступление как обычно дислайк. =(. Отвратительно.

[@efimka8914]

@@tdu819 чел, ты..

[@humaniora_for_all]

Вот это да! Захотел - и на тебе! Спасибо, ребята! Герон стал из алгебы геометрией :))

[@user-ig8de5jf6h]

Я: сложная интересная тема Видео начинается Борис,: Все! Все! Все! Я: надо же

[@NAKIGOEORG]

Суровое и элегантное доказательство. Спасибо! ❤😍❤

[@wbl6900]

просто супер, геометрия это крутая дисциплина

[@dmitryrukavishnikov6711]

Смотрю на количество лайков и просто радуюсь за человечество :)

[@pavelios3577]

Настоящая Магия! Молодцы ребята!!!

[@armyant6187]

Красиво

[@alexey.c]

Можно воспользоваться теоремой о том, что для любой точки: ha/Ha + hb/Hb + hc/Hc = 1, где Ha, Hb, Hc - высоты треугольника, ha, hb, hc - высоты точки (со знаком). Для ортоцентра имеем: ha/Ha = (ba/Ha)*(ca/Ha) = (1/tgB)*(1/tgC), где ba и ca - проекции сторон b и c на сторону a.

[@Schriftsteller1703]

красотища

[@nokoshinsei]

Борис, что думаете насчет идеи снять видео о простых геометрических фактах, которые школьники обычно запоминают, не понимая, откуда они взялись? Например, неравенство треугольника, теоремы о средней линии, соотношения между углами и сторонами (против б. стороны лежит б. угол) и пр.?

[@trushinbv]

Про неравенство треугольника и против большей стороны лежит больший угол давно хочу снять. Спасибо, что напомнили )

[@user-fw9wy9ii1g]

Гении...

[@ibrahimpasha3035]

Да, это жестко...

[@alext4764]

Поздравляю. Вы геометрически доказали формулу тангенса суммы (как легко проверить после того как гамму убрали, эта родимая формула и получается). А если еще немного повозиться, учитывая что (sin(x)cos(y)+sin(y)cos(x))^2 + (cos(x)cos(y)-sin(y)sin(x))^2 = 1, то и формулы синуса и косинуса суммы.

[@user-ik2eo5ug7y]

да, именно как во вступлении я решаю геометрию

[@Xaptmah19]

Волшебство

[@alextitov-]

Второе доказательство мне понравилось больше, и оно более наглядно. Но первое, которое само по себе тоже красивое, легче распространяется и на случай тупоугольного треугольника. Отличие лишь в том, что вместо суммы площадей треугольников берётся их разность.

[@neuserqwerty]

думаю, это можно доказать в оруглах.

[@IgorGusev28]

Спасибо, Борис Викторович, Ришар и Иван! Красиво.. Как первое решение выглядит с тупым углом треугольника интуитивно ясно. Нужно рассмотреть не сумму площадей, а разность (ещё не проверил, но вроде должно сработать.. :) А вот, как во втором способе быть с тем, если один угол тупой, а два других - острые? Кто-нибудь знает, как второй способ обобщить на любой треугольник?..

[@ffymontages6278]

Здравствуйте, Борис! Наткнулся на одну жуткую 19 задачу про мышей и вино. Как её вообще объяснять?!

[@felixspektor982]

Я натолкнулся на видео с разбором Гаокао(китайского эквивалента ЭГЭ) и там одна задача с этим материалом: А+В+С=180 град,sinA=2sinBSinC.Какое наименьшее значение может принимать tgAtgBtgC. Я вывел формулу tgAtgBtgC=tgA+tgB+tgC и дальше застопорил.Мне кажется,что сумму легче оценивать снизу? Как вы считаете?

[@user-ei6rd7ei7x]

2sinBsinC = sinA = sin(B+C) = sinBcosC+cosBsinC, 2tgBtgC = tgB+tgC, (2tgB-1)(2tgC-1)=1, b=tgB, c=tgC, tgA=-tg(B+C)=-(b+c)/(1-bc), tgAtgBtgC=-(b+c)bc/(1-bc), 2bc=b+c, c=b/(2b-1), -(b+c)bc/(1-bc) = -(b+b/(2b-1))b^2/(2b-1)/(1-b^2/(2b-1)) = -(2b^4/(2b-1))/(2b-1-b^2) = 2b^4/((2b-1)(b-1)^2), эта функция может быть сколь угодно малой и сколь угодно большой, т.к. на бесконечности эквивалентна 2b^4/(2b•b^2)=b.

[@artemsitin1280]

Подскажите, а в обратную сторону работает: если сумма тангенсов равна их произведению, то сумма углов равна 180?

[@user-uk1eu4md8e]

Сумма углов треугольника всегда 180 градусов Это аксиома

[@user-ts1kn8hr4k]

@@user-uk1eu4md8e, это теорема, которая несложно доказывается. Если не верите, то уточните в школьном учебнике.

[@nemoumbra0]

@@user-uk1eu4md8e Имелось в виду, истинно ли следующее высказывание? tgα+tgβ+tgγ=tgα*tgβ*tgγ α+β+γ=π/2

[@IS-eb9lf]

перенеси tg y в правую сторону, раздели на 1-tga*tgb, получишь -tg(a+b) = tg y, понятно отсюда, что a + b + y = pi*n, n в Z, в геоме углы меньше pi и больше нуля, тогда 0< a + b + y < 3pi, значит возможные варианты - pi, 2pi, ну или их сумма - 360 или 180 градусов. Если все углы - острые, то их сумма не превосходит 3pi/2 -> единственный вариант - 180 градусов. Ты можешь задать вопрос, почему я так фривольно поделил на tg a tg b - 1, ведь tg a*tg b вполне могло быть единичкой. Хорошо, если tg a*tg b = 1, то получаем равенство: tg a + tg b + tg y = tg y, я думаю вполне очевидно, что tg a, tg b не нули и одного знака, но тогда такое выражение выше "абсурдно". И такое могло произойти, если a + b = pi/2 + pi n, но тогда и прямая теоремка не очень формулируется.

[@user-en3yt4lu8l]

Проверил для тупоугольного треугольника, на основе 1го способа. Картинка другая, но все сошлось, соотношение работает

[@user-pn1sf6ez8i]

Вопрос ко второму доказательству: Откуда мы взяли, что альфа+бета+гамма=180 градусов?

[@andreyshudrik1140]

Сумма углов треугольника

[@shqotequila]

@@andreyshudrik1140 какого треугольника? Каждый угол находится в разных треугольников

[@bogdns]

Albert π_π узнал?

[@madiyardauletiyarov4559]

это условие, то есть мы хотим доказать что если сумма альфа бетты и гаммы 180 град, то выполняется равенство который Борис уже доказал.То есть это всего лишь условие, но это не выполняется для произвольных углов тангенса

[@imbicyl6667]

мужик в юморе просто жесток

[@madiyardauletiyarov4559]

почему сумма отношении площадей треугольников даст нам площадь большего треугольника

[@LukasKamin]

это площади 3х треугольников на которые разрезают данный треугольник. Сумма трех площадей меньших треугольников равна площади большого

[@MrPalianytsia]

Катарсис 2 решение

[@rickmorti4500]

"Какие могут быть тупые " как воду глядел

[@Muxa-xb4vs]

второе тоже занято уже))

[@Muxa-xb4vs]

все призовых мест не осталось!!!

[@arthurmolchanov6510]

А где доказательство для теоремы котангенсов?)

[@wert2010ful]

Почему бы для угла бетта не воспользоваться равенством углов при взаимоперпендикулярности сторон? Так будет быстрее.

[@Kithzer375]

Предлагаю назвать эту теорему- теоремой Трушина.

[@armyant6187]

Третий год смотрю эти доказательства (особенно второе) и постоянно ощущаю магию.

[@lvscnc]

Может я чего то не понял, но второе доказательство же не работает для случаев, если в начале у треугольников разные длины катетов?

[@shqotequila]

Вроде работает и для тупых углов(для проверки взял углы 30⁰;45⁰,105⁰)

[@user-yo3ox8hn3v]

Вроде? Точно проверил? Пересчитай ещё раз.

[@Muxa-xb4vs]

первый)

[@tolich3]

На какие "остальные" случаи? Есть только один другой случай - тупоугольный треугольник (у которого, конечно, только один угол тупой). Ведь у прямоугольного треугольника не у всех углов есть тангенс.

[@scientist4735]

Углы со взаимно перпендикулярными сторонами РАВНЫ. ЭТО проходили древние Греки.

[@9TailsExar]

ну и последний шаг никто не сделал - геометрически доказать на тупых углах