Geometria - Problema 27

[@ValerioPattaro]

Svolgimento del problema con la geometria analitica: kzbin.info/www/bejne/p2m5iWuCfbdsbZo Playlist di geometria analitica: kzbin.info/aero/PLM3M-5ytwzzOgzX7K9uVQDhSp4GKvPVXT Playlist di geometria euclidea kzbin.info/aero/PLM3M-5ytwzzNJs9NBDgQBhUyq1nCptUmp

[@schematism]

Questa è la vera matematica more geometrico! Posso solo dire che quando ha detto che l'angolo fosse retto per costruzione, non ho potuto non pensare all'estetica trascendentale kantiana. Complimenti!

[@Claudio_Bruzzone]

In realtà sono sufficienti pochissimi conti. Si può dimostrare che i triangoli ACD e CDE sono simili (angolo CDA in comune; angoli ECD=CAD perché angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco CE). Pertanto possiamo stabilire un rapporto di scala tra le lunghezze omologhe; per esempio tra i lati CD e AD entrambi noti (CD=r e AD=r√ 5 per il Teorema di Pitagora sul triangolo rettangolo ABD). AD/CD = √5. Siccome tra figure simili esiste un rapporto quadratico tra le misure delle aree rispetto alle misure lineari, si ha un rapporto tra le aree di: (√5)²=5; Il triangolo ACD ha quindi area 5 volte maggiore di CDE. Ciò significa che il nostro triangolo (che ha area ACD-CDE) sarà 4/5 di ACD. ACD ha area r²/2 (il triangolo ACD ha area metà del quadrato CDBO perché ha stessa base e stessa altezza). Quindi, in conclusione, l'area richiesta è: AREA VERDE = (4/5) r²/2 = 2/5 r²

[@ilsindaco7608]

Ciao Valerio buongiorno, ti ringrazio di tutto, i tuoi video mi sono sempre utilissimi perché di grandissimo spessore. Io avevo ragionato in modo un po' diverso, all'inizio avevo diviso in due l'area del rettangolo prendendo solo in considerazione la parte in cui c'è il triangolo verde. Ho poi sottratto l'area del triangolo rettangolo isoscele e così avevo la somma delle aree dei 2 altri triangoli. A questo punto ho preso in considerazione EB e impostato un sistema sfruttando Pitagora nei triangoli ABE e EBD, e così mi sono ricavato la base AE, poi con l'altezza ho sfruttato la somma delle due aree citate in precedenza avendo prima ovviamente calcolato la diagonale del rettangolo, et voilà. Grazie ancora!!!

[@ValerioPattaro]

Ottimo, complimenti

[@fabhrdo3893]

Ciao Valerio, io ho adoperato un metodo risolutivo che permette di arrivare alla soluzione del problema più facilmente, cioè in meno passi. In pratica l’idea è quella di calcolare l’area A del triangolo ACE come differenza delle aree A1 e A2 dei rispettivi triangoli ACD e ECD. L’area del triangolo ACD è semplice da calcolare, è vale A1 = (CD * DB)/2 = (r^2)/2, mentre per calcolare l’area A2 del triangolo ECD mi basta determinare la sua altezza EP ottenuta considerando la perpendicolare passante per il punto E ed il punto di intersezione della stessa con il segmento CD, che chiamo P. Prolungando la perpendicolare nella direzione opposta, essa andrà ad intersecare il lato AB (opposto ad CD) ed individuerà un punto che chiamo Q (che ci servirà in seguito). Dalla figura così ottenuta possiamo considerare i seguenti triangoli rettangoli: EPD e ABD. Essi, come si può vedere facilmente dalla figura, risultano essere triangoli simili perché hanno uguali tutti e tre gli angoli, per cui i rispettivi lati stanno a due a due in un rapporto costante. Quindi se indico PD = y ed EP = x possiamo scrivere che y : x = 2r : r, da qui ricaviamo che y = 2x. Adesso procediamo considerando il triangolo AEB e la sua altezza EQ = PQ - EP = r - x, la quale divide il lato AB in due segmenti: AQ = AB - QB = 2r - PD = 2r - y e QB = y. Adesso applicando il secondo teorema di Euclide al triangolo rettangolo AEB, possiamo scrivere la seguente proporzione: AQ : EQ = EQ : EB che possiamo scrivere in questo modo: (2r - y) : (r - x) = (r - x) : y. Sostituendo adesso in essa l’espressione di y = 2r otteniamo: (2r - 2x) : (r - x) = (r - x) : 2x che possiamo manipolare ulteriormente, ottenendo: 2(r - x) : (r - x) = (r - x) : 2x Adesso semplificando (r - x) ricaviamo: 2 = (r - x) : 2x ===> 4x = r - x ===> 5x = r ===> x = r/5 ===> x = EP = r/5. Adesso possiamo calcolare l’area A2 del triangolo ECD, che è pari a: A2 = (CD*EP)/2 = (r * (r/5))/2 = (r^2)/10 Adesso per determinare l’area A del triangolo ACE, basta fare la differenza tra l’area A1 = (r^2)/2 del triangolo ACD e l’area appena trovata A2 = (r^2)/10 del triangolo ECD; per cui si ha: A = A1 - A2 = ((r^2)/2) - ((r^2)/10) = (1 - 1/5) * ((r^2)/2) = (4/5) * ((r^2)/2) = (2/5) * r^2. Spero ti piaccia! Complimenti per i video che fai, le caratteristiche che apprezzo molto di te, sono la chiarezza con cui spieghi, la tua proprietà di linguaggio e l'esaustività nel trattare i vari argomenti in cui ti cimenti.

[@ValerioPattaro]

Grazie, molto chiaro ed esaustivo anche tu.

[@Antony_V]

Mi era sembrato un problema semplice, per questo avevo risolto senza guardare la/e soluzioni diverse dalla mia, che posto adesso. Previo calcolo dell'area ACD (r^2/2) e della diagonale AD si può risolvere brevemente applicando 2 volte il 1°teorema di Euclide, una sul triang ABD per avere ED e una sul triang BED: da E traccio la perpendic a BD nel punto K, quindi avrò ED^2=DK*DB. Questo prodotto è anche due volte l'area del triang CED. A questo punto non resta che fare la differenza tra l'area ACD e l'area CED. Spero sia una soluzione altrettanto utile 🫶 P.S. complimenti al prof. Pattao, spiegazioni eccezionali che spaziano su tanti argomenti. Il mio canale YT preferito per la matematica ❤

[@marinabenedini3466]

Per trovare AE si può comunque anche usare il primo t. di Euclide in ABD. Ciao.

[@GaetanoDiCaprio]

Ciao Valerio, si può fare molto più semplicemente come differenza tra le aree dei triangoli CDA e CDE, considerando per entrambi come base il segmento CD. Saluti

[@Claudio_Bruzzone]

In realtà sono sufficienti pochissimi conti. Si può dimostrare che i triangoli ACD e CDE sono simili (angolo CDA in comune; angoli ECD=CAD perché angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco CE). Pertanto possiamo stabilire un rapporto di scala tra le lunghezze omologhe; per esempio tra i lati CD e AD entrambi noti (CD=r e AD=r√ 5 per il Teorema di Pitagora sul triangolo rettangolo ABD). AD/CD = √5. Siccome tra figure simili esiste un rapporto quadratico tra le misure delle aree rispetto alle misure lineari, si ha un rapporto tra le aree di: (√5)²=5; Il triangolo ACD ha quindi area 5 volte maggiore di CDE. Ciò significa che il nostro triangolo (che ha area ACD-CDE) sarà 4/5 di ACD. ACD ha area r²/2 (il triangolo ACD ha area metà del quadrato CDBO perché ha stessa base e stessa altezza). Quindi, in conclusione, l'area richiesta è: AREA VERDE = (4/5) r²/2 = 2/5 r²

[@marinabenedini3466]

Bello questo problema! Io avrei usato il teorema della tangente e secante per trovare AE, poi con l'area di ADC ottenuta con baseCD e altezza BD uso la formula inversa considerando base AD e così ottengo l'altezza dal punto C ad AE. Quindi posso trovare l'area di AEC.

[@massimochezzi8731]

Bravissima

[@mrheisemberg2]

Madonna che casino 😂 bravo 👍

[@pietrogabellini8333]

Mi è sembrato più semplice trovare l'area cercata come differenza tra i triangoli ACD e HCD della figura qui sviluppata. I due triangoli sono simili per avere gli angoli corrispondenti congruenti, infatti l'angolo in D è in comune, l'angolo ECD congruente all'angolo CAD perché angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco CE, il terzo angolo per differenza da 180°. Impostate le dovute proporzioni tra i lati, si trovano tutti i lati mancanti, poi con la formula di Eulero le aree. Senza scomodare Eulero si possono anche cercare le aree dei due triangoli suddetti considerando che hanno la stessa altezza. Quindi trovate le due aree se ne fa la differenza.

[@soli9mana-soli4953]

Io ho risolto con le similitudini, i triangoli AEB e CHD sono simili a ABD (la metà del rettangolo) perchè sono retti e hanno un angolo in comune. Pertanto, una volta nota l'ipotenusa di ABD (AD=r*sqrt5), possiamo scrivere AE : 2r = 2r : r*sqrt(5) che da AE = r*4/5*sqrt(5) CH : r = r : r*sqrt(5) che da CH = r*sqrt(5)/5 Area = AE*CH*1/2= 2/5r² Resto in attesa della versione trigonometrica!❤

[@riccardorizzi79]

😊😊😊

[@michelediceglio7885]

Si potevano utilizzare anche il primo e secondo teorema di Euclide?

[@sergioborsani3819]

Io ho usato il teor. della tangente e della secante AD : CD = CD : ED.

[@fabrizio7382]

Non è l'area di mezzo quadrato meno quella del triangolo CED...?

[@pietrogabellini8333]

Nel mio commento di poco fa ho fatto riferimento alla formula di Eulero per il calcolo dell'area del triangolo. Mi scuso per il lapsus, volevo dire Erone, naturalmente.

[@manueltombetti6041]

cavolo mi piacerebbe capira la trigonometria la matematica masono troppo difficili x me

[@KingofUrukhai]

Basta la forza di volontà e la dedizione allo studio ed uno arriva dove vuole. Io non sono mai stato un genio della matematica eppure a 24 anni ho preso la laurea in ingegneria elettronica: a quei tempi avevo una mente fotografica eccezionale, seguivo assiduamente le lezioni e ricordavo quasi tutto!!

[@manueltombetti6041]

@@KingofUrukhai non basta la dedizione o laforza di volontà se non sei portato x la matematica fisica chimica puoi impegnarti quanto vuoi ,magari raggiungerai la sufficienza ( come me) ma a costo di gran fatica,ovvio che se ti piace la materie è tutto + facile

[@KingofUrukhai]

Questo problema mi ha turbato i sonni: ho impiegato un sacco di tempo e fatto un inghippo, che son sicuro, non approverà! Io ho calcolatol l 'area come differenza delle due aree dei triangoli vale dire cad meno l'area di ced ( uso le diciture da lei indicate sui triangoli). Cad ha area r exp2/2. Ma la stessa area la ottengo moltiplicando la base ad e la relativa altezza. Così conoscendo la base r sqr5 ricavo la relativa altezza che mi servirà dopo. Ora ho assunto che i due triangoli cad e ecd siano simili ( questo è l' inghippo), ed ho così calcolato il valore del segmento ed. A questo punto posso calcolare l'area del triangolo ecd, perché ho sia la base ed che l' altezza calcolato prima : il valore di questa area è r exp2/10. Questa area la sottraggo poi da quella di valore r exp2/2 che è il triangolo grande ed ottengo 2/5 r exp2..... A me piace complicare cose semplici... Ottimo esercizio comunque!!

[@rosariadebiaggi9655]

Io l'ho risolto con Pitagora ad ABD per la diagonale AD del rettangolo, ho poi applicato il 1° teorema di Euclide sempre al triangolo rettangolo ABD per calcolare AE (base del nostro triangolo in verde e proiezione di AB su AD ); per calcolare l'altezza CH (del triang. verde) ho tracciato la perpendicolare dal punto C ad AB che interseca AD in un punto che ho chiamato K ( si può osservare che K è anche il punto medio di AD) e AB in O centro della circonferenza di raggio r e punto medio di AB. Quindi ho applicato la similitudine ai triangoli rettangoli AOK e KHC che hanno tutti gli angoli congruenti (anglo retto, angolo opposto al vertice e segue anche il terzo angolo per la somma 180°) impostando la seguente proporzione CH? : AO(r) = CK(r/2) : AK(radice di 5)(r )/2. AK poteva essere trovato anche usando, Pitagora al triangolo AOK oppure la similitudine fra i triangoli AOK e ABD. Forse poco elegante la risoluzione ma io mi sono divertita. Grazie Valerio