GEOMETRIA - PROFMAT 2025

[@rogeralbineli]

A área de um triângulo pode ser escrita como 1/2 • a • b • sen â Em que a, b e â são, respectivamente, dois lados de um triângulo e o seno do ângulo entre eles. Assim, a área do triângulo ABC é: 1/2 • AC • AB • sen â → → 1/2 • (6 + 4) • (8 + 4) • sen â → → 60 • sen â Pelo enunciado, a área de ABC é igual a 36, logo: 60 • sen â = 36 → sen â = 3/5 Por fim, a área de APQ: 1/2 • 6 • 8 • sen â → → 24 • sen â → 24 • 3/5 = 72/5

[@adilsonvieiralopes8587]

Esses probleminhas de triângulos são muito divertidos!

[@mathx3254]

Execelente

[@pedrojose392]

Já que guardam o mesmo ângulo entre os lados, as áreas são proporcionais aos produtos dos lados, logo: S/S1=6*8/(10*12)=2/5 ==> S=2/5*36=72/5

[@robertocunha2857]

Sim, este é o jeito mais rápido e fácil de se resolver essa questão.

[@danielmiranda9396]

Num primeiro olhar, a vontade de perder um tempo aplicando a formula de Heron é grande...pra nao levar a nada rsrsrs

[@felipeneves5695]

Seja APQ = S1; ACQ = S2; ACB = S3; S2 = S1 + 2*S1/3, pois a area irá aumentar na mesma proporção em que o lado aumentou. S3 = (S1+S2) + (S1+S2)/2 pelo mesmo motivo. Sabendo S3, obtem-se S1+S2 e, em seguida, S1.

[@Muller22_]

A.B.(SEN Â)/2 E MORREU

[@robertocunha2857]

Você quis dizer: (AB.AC)/2.senA = 36 . Então: 10.12.senA/2 = 36. Logo, senA = 3/5. Aplicando a mesma fórmula para calcular a área do triângulo menor:, temos: (6.8)/2.3/5 = 72/5

[@todaamatematica]

Obrigado pela solução alternativa

[@Joao_Paulo_Fernandes_Bonfim]

a semelhança vem do fato de que foi prolongado o lado AP por mais 4, e AQ por mais 4 de forma que CB fica paralelo a PQ?

[@robertocunha2857]

Não é nada disso. Um dos critérios de semelhança entre triângulos é que dois triângulos são semelhantes quando têm dois ângulos iguais. A semelhança citada pelo professor está entre os novos triângulos ele desenhou, ambos triângulos retângulos, desenhados a partir das perpendiculares traçadas. Essas perpendiculares determinaram também as alturas dos novos triângulos, que também são, respectivamente (observe), as alturas dos triângulos pré-existentes. Cada triângulo criado têm um ângulo reto e mais um ângulo em comum. Ou seja, possuem dois ângulos iguais e, por isso, são semelhantes. Observe que, ao se traçar a altura do triângulo grande (o triângulo ABC), a partir do vértice C, o ponto de encontro dessa altura com o lado oposto (o lado AB) NÃO coincide com o ponto Q.

[@todaamatematica]

Isso, João. Roberto deu uma explicação excelente.

[@Joao_Paulo_Fernandes_Bonfim]

@@robertocunha2857 muito obrigado!

[@fernandoberrig7569]

A= 1/2 a*b*sen(@)