Задача первоклассника в 1 шаг! Невероятное решение!

Нахождение площади 4-ка тремя способами.

[@user-iy4kn3qs9c]

Решение для 7-ого класса просто восхитительно в своей простоте! Кон-гениально! Спасибо.

[@yefimmor2136]

Конгениально означает "аналогично".

[@GeometriaValeriyKazakov]

И Вам спасибо!

[@AlexeyEvpalov]

Спасибо за три способа решения.

[@GeometriaValeriyKazakov]

И вам.

[@ane541]

Благодарю за ценнейшие уроки!!! Продолжайте, пожалуйста!!! Здоровья и процветания каналу!!!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо, что смотрите наш канал.

[@user-ip2kj6um7g]

Зачем учиться дальше 7-го класса, если они ( семиклассники) способны решать самые красивые задачи самыми простыми и, следовательно, самыми красивыми методами??? Видимо, недаром в послевоенные годы в СССР было обязательным лишь 7 классов!?!? Ура, товарищи!!! Ведущему Браво, Браво, Браво!!!

[@user-np9bu4oy5f]

Выражаю признательность автору,за отличный "разбор полётов".

[@GeometriaValeriyKazakov]

Учитесь все, как нужно писать комментарии! Спасибо, что смотрите нас.

[@_Diana_S]

А Паскаль еще был физиком и в честь него названа физическая единица. Мне очень нравится, как вы привносите небольные зернышки общей культуры (литературу, факты из жизни великих ученых) в решение задачи. Вы настоящий педагог.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо, так и былдо задумано. Но некотрым не нравиться, говорят - много воды. Что делать?

[@user-nx6dj7il7v]

​@@GeometriaValeriyKazakov но ведь всем не угодишь. Продолжайте в выбранной Вами манере преподнесения информации! Очень интересно, полезно, содержательно!

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@user-nx6dj7il7v Спасибо за поддержку.

[@tolich3]

А ещё Паскаль изобрёл суммирующую машину.

[@tushkanch1k]

Все элементарно: здесь два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой: ABD и BCD. Возводим выражение, данное в условии, в квадрат. Получаем сумму квадратов катетов плюс их удвоенное произведение. И все это равно 144. Делим обе части равенства на 4 и получаем, что площадь одного треугольника плюс площадь другого равно 36.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, согласен. Алгеброй тоже красиво. Имеено делением на 4! Но никак не элементарно для ученика "хорошиста", для которых и канал.

[@ddamnkill_aka_vladimir]

правильное решение

[@user-fv5rz1he6g]

Самый простой... Доступный для нормальных мозгов вариант!

[@user-yu4xy8cw8w]

Пусть АВ=АД=а. Тогда ВД=а√2. Пусть ВС=х, СД=у. Тогда х в квадрате плюс у в квадрате равно два а в квадрате. х+у=12 . Возведем в квадрат обе части этого равенства. Два а в квадрате плюс 2ху равно 144. Разделим обе части полученного равенства на 4. Получим : а в квадрате деленное на 2 плюс ху деленное на 2 равно 36. Первое слагаемое - площадь равнобедренного треугольника. Второе - площадь другого треугольника.

[@user-tg1yx1jq2k]

Зоя Шаромет, у вас самое лучшее решение, такое, как необходимо для школьников, Итог вашего решения таков: S(ABCD)=S(∆ABD)+S(∆BCD)=a^2/2+x*y/2=36; Кроме того автор допустил ошибку на 10-ой минуте, площадь треугольника ABD равна BD^2/2 ; тогда, как автор делает ошибку возводя в квадрат два в знаменателе.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Да, это хороший алгебраический способ. Смотрите последний ролик - "Вишенка на торте".

[@user-ye5mb1um2x]

@@user-tg1yx1jq2k с чего ради площадь треугольника считается как гипотенуза в квадрате пополам?он сказал,что половина гипотенузы равна высоте,опущенной к ней.нашел половины гипотенузы и умножил на высоту,потому что площадь равнобедренного прямоугольного треугольника можно считать как возведение в квадрат этой высоты,соответственно и знаменатель в квадрат возвелся.он мог гипотенузу не делить на 2,а умножить ее на высоту,которая в два раза меньше высоту,а затем поделить произведение на два,получилось бы тоже самое.)

[@mvk508]

Я также

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@mvk508 Спасибо, что подписаны на наш канал.

[@user-gm2dk8un6x]

Поскольку в условиях не сказано, что углы B и D не прямые, то мысленно вращаем треугольник BCD вокруг точки D с соблюдением условий задачи до тех пор, пока угол D не станет прямым. Исходя опять же из условий задачи о равенстве AB и AD, получаем равенство BC и CD при их сумме 12. Э вуаля: имеем квадрат со стороной 6 и площадью 36.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, но при это следует также рассмотртеь случай, когда эти углы не прямые.

[@victorbazhkov6733]

я тоже как-то пробовал строить/крутить в автокаде эту задачку - и у меня она вырождалась в квадрат в итоге, других вариантов построить не удавалось :(

[@qaqqaqa9715]

@@GeometriaValeriyKazakov не обязательно, условия задачи не задают ограничения на эти углы. А значит если от их значения площадь меняется, то условия некорректны и надо было обозначить какие-то ограничения на эти углы. Если же условия корректны, то значит от углов площадь не зависит, а значит она 36

[@user-zg7cx2pt4g]

И я так решила. Ясно, что это "квадрат".

[@kulikovsergey3522]

О, нашел такое же решение, совсем не обязательно рассматривать другой вариант потому что если будет другой ответ то значит не верно сформулирована задача, условия не достаточно для решения и может иметь разную площадь. Я описал решение в другом комментарии, там привел второй частный случай где длина одного катета треугольника ВСD стремится к нулю а второго к 12, тогда площадь четырехугольника стремится к площади треугольника ABD c длиной гипотенузы равной 12 и высотой 6, также к 36. Хотя слово стремится в этом случае не верно потому что она всегда будет равна 36.

[@user-dv5ox6os5p]

Спасибо. Красиво, изящно , наглядно.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Очень приятно.

[@user-zf9ku1wg6o]

Все просто, легко и воздушно! Все, как я люблю! Огромное спасибо за отлично поданный материал, прям захотелось ещё порешать. Изящно!

[@GeometriaValeriyKazakov]

И вам большое спасибо!

[@user-pr5ht2ty3o]

Валерий, СПАСИБО!!! Я восхищён тем, как Вы подаёте варианты решений (11-й, 10-й, ... ,7-й класс... и даже младше)!!! Мне больше всего именно этого не хватало... И вот я открыл для себя Ваш канал!!... Комментировать буду не всегда, а вот смотреть... -- постараюсь не пропускать! 👍 Ещё раз СПАСИБО!!!

[@GeometriaValeriyKazakov]

И вам спасибо, что поняли идею. Ведь смотрит много не профессионалов, и они не понимают просто, зачем это нужно. А вы знаете!

[@user-uj1kw8cf8u]

Проведём диагональ ВД. Она делит 4-х угольник на два прямоугольных треугольника. У них общая гипотенуза. А далее применяя математический аппарат выражаем гипотенузу ВД из одного треугольника АВД и второго ВСД получим соотношение между катетами обоих треугольников. а именно 2 * а^2 = x^2 + (12-x)^2. Отсюда а^2 = x^2 - 12*x + 72. А теперь площадь четырёхугольника равна сумме площадей АВД и ВСД. Площадь АВД = а^2/2; Площадь ВСД = (х * (12-х)/2 и а^2/2 + (x*(12-x)/2= 1/2 * (х^2 - 12x+72 +12x-x^2)=72/2 = 36. ЧТД.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да. Это хорошее алгебрическое расуждение. Спасибо. См. "Вишенка на торте".

[@maxb5882]

Так как нет дополнительных условий, мы имеем два предельных варианта: 1) это квадрат, и его площадь 36, или 2) точка В совпадает с точкой С и у нас прямоугольный равнобедренный треугольник, с гипотенузой 12, площадь которого тоже 36. все остальные варианты лежат в диапазоне площадей от 36 до 36.

[@theMerzavets]

Несмотря на четыре "лайка", это не решение. Ваши предположения вовсе не гарнируют, что в промежуточных вариантах изменение площади невозможно. Рассмотрите другую ситуацию: прямоугольник с суммой длин смежных сторон, равной 12. Например, 1 и 11. Его площадь будет равна 11. 2 и 10 -- площадь 20. И тп.

[@maxb5882]

@@theMerzavets нет, не будет больше. У нас функция с тремя уже определенными точками: 1) вариант когда BC = 0; 2) вариант когда BC = CD; 3) и вариант CD = 0. Везде функция дает одинаковый результат. такая функция не может иметь перегибов, и будет в виде прямой. т.е. и при остальных вариантах соотношения BC/CD она будет давать одинаковый результат.

[@IlyaKiss]

@@theMerzavets, так в иных случаях будет и не прямоугольник, а просто четырёхугольник.

[@theMerzavets]

@@IlyaKiss во-первых, с одинаковым периметром можно построить бесконечное количество именно прямоугольников; во-вторых, я не совсем понял суть вашего возражения. Или это не возражение было?

[@theMerzavets]

@@maxb5882 а на каком основании вы считаете эту функцию линейной? Какую кривую опишет угол при изменении её параметра? (Подсказка: хотя бы мысленно рассмотрите множество вписанных в окружность прямоугольных треугольников. Как раз все три ваших условия выполняются -- в крайних точках имеем треугольники, вырожденные в отрезки -- но функция при этом тригонометрическая.)

[@user-gp5fq9hd4y]

Можно не задумываться над трансформацией, а просто 12 представить как сумму 2+10 (или любую другую, 3+9, например). А дальше посчитать BD, как гипотенузу прямоугольных треугольников. Корни квадратные из неудобных чисел самоликвидируются при подсчете площади треугольника ABD.

[@user-gp5fq9hd4y]

А можно пойти дальше, и заметить, что сторона прямоугольного треугольника BCD может меняться от стремящейся к 0 до стремящейся к 12. Тогда BD можно принять равным 12, площадь верхнего треугольника принять за 0, а площадь нижнего прямоугольного, равнобедренного треугольника с гипотенузой 12 будет как и у вас квадрат половины гипотенузы 6х6=36.

[@evgeniyzlobin6052]

Копируем четырехугольник АВСD, поворачиваем на 90 градусов против часовой стрелки. Совмещаем точки A. Получаем трапецию с высотой (BC+CD), нижним основанием СD и верхним BC. Площадь трапеции: высота (BC+CD) умножить на полусумму оснований ((BC+CD)/2). т.е. 12*6=72. Площадь четырехугольника 72/2=36.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер решение!

[@snuskega5356]

Мне эта фигура напоминает квадрат с немного загнутым уголком С по отношению к плоскости фигуры. Почему квадрат??? Потому. что противоположные углы прямые и стороны АВ и АД равны - - - - по условию. Если плоскость сделать ровной, то сторона квадрата будет равна - - - - 6. S =6*6= 36. Это конечно решение для 1 кл. Просто я так вижу.

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@snuskega5356 Спасибо. Вы истинный геометр, прирожденный. Так и нужно - видеть!

[@user-kt4ex5py6o]

Самое суперские решение 8-9 Кл.

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@user-kt4ex5py6o Спасибо. Я тоже так думаю. С другой стороны, это как сказать: пирожное с шоколадом - самая вкусная еда. Будем есть все!

[@MetaDriver33]

Я нашёл свой собственный, который лучше ваших. )) Раскладываем на плоскости наш четырёхугольник и ещё три его копии, образованные его трёхкратным поворотом на 90 градусов вокруг точки А. И обнаруживаем, что в сумме они составляют квадрат со стороной BC+CD = 12; Его площадь равна 12^2 = 144; А площадь его четвертинки, соответственно = 144 / 4 = 36. Аминь. PS. Само собой нужно немножко доказать, что всё стыкуется именно в квадрат, но это дело несложной техники, я думаю пятиклассник справится без труда. PPS. Вообще, при просмотре видео, я ожидал увидеть это решение в качестве третьего, самого простого и красивого, способа. Но так и не дождался. Мы с Маленьким Принцем немного разочарованы...

[@user-pr5ht2ty3o]

Ваше решение тоже восхитительно, хотя оно вытекает из двух решений Валерия. ☝️ Или его решения являются производными от Вашего. 🤔 Можно и так сказать. 👍 Но главная изюминка Вашего решения в том, что оно демонстрирует единство этих трёх решений, что они -- суть одно и тоже! 😏 Кстати, большое спасибо Вам за Ваше решение!! 👍

[@memoryspeak]

Решение офигенное

[@theMerzavets]

да, пожалуй, это то самое "решение в одно действие" -- просто гениальное 🙂 Но до него догадаются "не только лишь все". Спасибо вам! Я же увидел диагональ BD, которая является диаметром описанной окружности для двух прямоугольных треугольников ABD и BCD, и т.д.

[@user-lz3pp3vi9d]

Доказательство, что стыкуется в квадрат требует знания из 8 кл о том, что сумма углов четырехугольника 360. Как и решение автора для 1-7 кл. Я, кстати, именно его и нашла в первую очередь.

[@user-tb3du6cf9l]

Проводим диагональ ВД. Треугольник АВД прямоугольный и равнобедренный с основанием ВД. Уколы при основании по 45 градусов. Теперь в треугольнике ВСД угол СДВ равен 90 минус угол СВД. И в то же время угол СДВ равен угол СДА минус угол АДВ, который 45 градусов. Значит СДВ равен 45 градусов Всё. Это квадрат. Задача из пальца высосана, зачем только? Время на канале забивать ?

[@user-ut1sf9xl1d]

Спасибо за многообразие решения. Мы решили одним способом ( через доп построения). И были безумно горды собой)))

[@GeometriaValeriyKazakov]

Великолепно!!! И я горд за вас!

[@user-lz3pp3vi9d]

Спасибо! Замечательная задача!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Алания, куда Вы пропали?

[@Sibirsky_sibiryak]

Решал алгеброй. Потратил 30мин. пришлось заново научиться выражать площадь квадрата через его диагональ, и вспомнить сумму квадратов. Костя, 36 годиков.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Вы молодец, что потратили время. Да, это хороший алгебраический способ.

[@user-th2mn7ke5m]

Спасибо огромное. Для меня эта информация очень важна. Я лично кроме теоремы Пифагора и суммы площадей больше ничего придумать не могла

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-ej1vf8rx6q]

Супер, спасибі, дуже цікаві рішення! Із задоволеням слідкую за вами.

[@katya-sunshine]

@@user-ej1vf8rx6q вам не автор канала ответил

[@user-dv8cn3mj8j]

Здравствуйте. Валерий Владимирович Козаков - автор учебника по геометрии в Беларуси. По-моему, работает и живет в Беларуси. И, мне кажется, наши славянские языки очень похожи, чтобы понимать друг друга. Давайте не будем использовать такой замечательный образовательный канал для выяснения отношений.

[@waltchefenow6802]

@@mishania6678 Классическая точка зрения шизофреника! Который разговаривает с окружающими на "своем языке", который никто, кроме него, больше не понимает. А вместо совести и ума у них - демагогия "про права" и сваливание с больной головы на здоровую.

[@waltchefenow6802]

@@mishania6678 По-моему очевидно, что "оскорбить всех пытаются" только дикие зомбоукры, потомки быв. великих Людей.

[@GeometriaValeriyKazakov]

И Вам спасибо. Извините за поздний ответ.

[@mdotub71]

Решил без каких либо доп. построений. Обозначим BC=y, CD=z, AB=AD=x Имеем z+y=12 Решаем S(ABCD) = S(BCD) + S(ABD) S(BCD) = zy/2 S(ABD) = x^2/2 BD^2=2*x^2=y^2+z^2 y+z=12 => y^2 + z^2 + 2zy = 144 y^2 + z^2 = 144 - 2zy Так как y^2 + z^2 = 2*x^2, то можем записать 2*x^2 = 144 - 2zy x^2 = 72 - zy Так как площадь равна сумме площадей треугольников ABD и BCD, то y*z/2 + (72 - yz)/2 = (yz + 72 - yz ) / 2 => S(ABCD) = 72/2 = 36

[@alexandernetuzhilov5805]

В исходной задаче предполагается, что ответ будет единственным, вне зависимости от величины угла В (и, соответственно, ответного ему D). Т.е. я могу мысленно двигать вершину С произвольно как мне вздумается, искомая площадь при этом не изменится, если А=С=90°. При таком мысленном перемещении я останавливаю вершину С так, чтобы В равнялся 90°. Тогда D будет = 360-A-B-C=90°. Перед нами квадрат со стороной 6, т.е. s=36. Это одно из допустимых решений, а условия задачи предполагают, что оно единственное, т.е. все площади всех возможных четырёхугольников, образованных траекторией мысленного движения С должны быть равны друг другу.

[@user-lz3pp3vi9d]

Вы не знаете и не можете знать, ч о предполагается в исходной задаче. Строго говоря. там ничего не предполагается. Есть условие и все. Простые учебники - зло! В них у любой задачи есть ответ, в жизни и в математике это просто не так.

[@user-uj1kw8cf8u]

При всём множестве существования такого 4-х угольника ответ будет один 36 кв. ед. Смотрите решение в комментариях выше. Там есть критерий существования таких 4-х угольников через зависимость катетов.

[@user-lz3pp3vi9d]

@@user-kh1pe6bl5m детский сад, штаны на лямках.

[@glukmaker]

Это неполное решение. Но оно вполне годится в отдельных случаях. А неполное потому, что берем частный случай и решаем его, но при этом не утруждаем себя доказательством того, что решение задачи будет одно и тоже, независимо от того какой случай взять. Т.е. факт того, что площадь будет одной и той же при разных соотношениях ВС и СD, и зависит только от их суммы мы подразумеваем из условия, но не задумываемся о том, что условие может быть неполным или противоречивым.

[@silenthunter9239]

Попробуйте построить фигуру которая дана в условии задачи, и вы поймёте что ошибаетесь!

[@user-lr3ly2sl6i]

Я делал по-другому: Диагональю BD разделил на два треугольника. BC - y CD - x x+y=12 тогда BC = x-12 У обоих треугольников выразил площади через X. Сложил получившиеся формулы. При упрощении уравнения X везде сократился. Ответ 36

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо, что смотрите нас.

[@user-nb5xn1mu4j]

Два прямоугольных треугольника (один из которых равнобедренный) с общей гипотенузой. Используя теорему Пифагора и формулу суммы квадратов чисел получаем площадь фигуры 36. Легко и просто.

[@MrWhiteSoul]

Решил устно, ~ 10-15 cек🤣

[@user-ci1jb1zh7f]

формулу квадрата суммы чисел, а не суммы квадратов

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Елена оговорилась. Да, алгебраический способ эффективен. Спасибо, что смотрите нас.

[@user-sn5sw6qo8f]

Ответ- 36. Решение: соединим т.В и т. Д. Рассмотрим прямоугольные треугольники АВД и ВСА. У них общая гипотенуза ВД. Из теоремы Пифагора следует сумма квадратов катетов в данных треугольниках будет одинакова, это возможно, если сумма длин катетов АВ+ АД = ВС+ СД = 12, так как треугольник АВД равнобедренный, то длина его катета равна 6, а площадь всей фигуры- 36.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, это хорошее алгебраическое решение. Смотрите последний ролик "Вишенка на торте". Там я его применяю.

[@SerhiiSoproniuk]

Примерно так и я делал. Треугольники с общей гипотенузой, значит их площади одинаковы, и равны половине от произведения их катетов. А так как катеты у второго одинаковы, значит 12/2=6 Общий объем 6*6=36

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@SerhiiSoproniuk Спасибо. Если у треугольников общая гипотенуза, то их площади не обязательно равны ).

[@SerhiiSoproniuk]

@@GeometriaValeriyKazakov Согласен. Ошибка.

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@SerhiiSoproniuk Очень непросто признавать ошибки. Хорошее качество, на мой взгляд. Спасибо.

[@Leshiko_Ru]

Древние геометры очень радовались, когда сложная задача превращалась в результате в простую красивую фигуру, потому способ №2 может иметь очень древнюю историю.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен. Спасибо.

[@user-iq3xy7tm7j]

поскольку четырехугольник вписан в окружность - то для него работает правило - BC+AD=CD+AB. И поскольку BD общий диаметр для двух прямоугольных треугольников BCD и ABD, вписанных в окружность, то BC+CD = 12 равно как AD+AB=12. AB=AD=12/2=6. Sabcd=2*6*6/ 2=36

[@user-lz3pp3vi9d]

Вы ошибаетесь. У вписанных четырехугольников равны суммы противоположных углов, а не сторон.

[@user-iq3xy7tm7j]

@@user-lz3pp3vi9d пардон - у вписанного четырехугольника работает правило произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин противоположных сторон. и учитывая что АB = AD и BC+CD=12, а так же исходя из того что треугольники ADB и BCD прямоугольные найдем BC по теореме Пифагора - BC= 6(2-2^1/2) . Из уравнений найдем AB=AD- и AB будет равно 12*(1-(2^1/2)/2)^1/2 , а CD = 6*2^1/2 из этого найдем площадь четырехугольника как площадь двух прямоугольных треугольников. Отсюда и получится 36.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спаасибо, что смотрите нас. Все заблуждаются.

[@user-gy5bg3oe5h]

Левую и правые части равенства условия возвести в квадрат .Оставив в левой части сумму квадратов , перенести удвоенное произведение в правую .Левая часть даёт квадрат ВД , что есть 2 АВ квадрат. То есть 4 площади треугольника АВД .В правой части 144 - 4 площади ВСД.Ответ 36

[@user-tk5ll1gf5o]

я тоже так решила😊

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Да, конечно, алгебрический способ хорош.

[@hrayrhovhannisyan9633]

Умник, вот самое простое решение: BC+CD=12 (BC+CD)квадрат=144= =BCквадрат+2BCCD+CDквадрат BDквадрат=BCквадрат+CDквадрат= BDквадрат=ABквадрат+ADквадрат AB=AD следует BDкв=2ABкв=BCкв+CDкв следует (BC+CD)кв=2ABкв+2BCCD=144 следует ABкв+BCCD=144/2=72 sABCD=sABD+sBCD=ABAD/2+BCCD/2 AB=AD следует sABCD=ABкв/2+BCCD/2= =(ABкв+BCCD)/2=72/2=36

[@user-ei6rd7ei7x]

Этот четырёхугольник и ещё три, полученные и него поворотом вокруг A на 90, 180 и 270 градусов, вместе образуют квадрат со стороной 12. Площадь тогда равна 12^2/4=36.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо за комментарий.

[@coda6702]

Перевернем четырехугольник на 90 градусов(отложим такой же, D в B ,C в К, B в Е. Так как четырехугольник можно вписать в окружность, ADC+ABC=180, то есть ЕК параллельна CD, после поворота образовалась боковая сторона KC = BC+CD = 12. Средняя от ни я трапеции = EK+CD/2=12/2=6, S=6*12=72, Это площадь двух изначальных фигур, значит искомая = 72/2 = 36

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да. Спасибо.

[@polegch8053]

Искомая площадь: AB^2/2+BCxCD/2. Выразим AB^2 через BC и CD. AB^2/2=BD^2/4, BC^2+CD^2=BD^2. Тогда площадь равна (BC^2+CD^2)4 + BCxCD/2, складываем и получаем (BC^2 + 2BCxCD + CD^2)/4, заметим, что выражение в скобках это квадрат суммы, тогда ((BC+CD)^2)/4 или 114/4=36

[@GeometriaValeriyKazakov]

Думаю, что это самое лучшее алгебраическое решение.

[@user-jd3ft8wt5r]

@@GeometriaValeriyKazakov я только что решил точно так.

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@user-jd3ft8wt5r Единомыслие!

[@azannaz]

Спасибо. все варианты решения понравились, 7 класс всё-таки более красивый.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Нужно все способы. Ведь мы тренируемся решать разные задачи.

[@user-bs3go4lz2m]

Последний вариант отличный!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен.

[@deniseigeriss3055]

У меня решение визуальное: представляем что смотрим на кусок фанеры из под угла D, разумеется получаем искаженную плоскость. Выравниваемся, смотрим фронтально, видим квадрат со стороной 6; = 36

[@GeometriaValeriyKazakov]

Это гениальнрое проектвное рассуждение! Прям как у Я. Штейнера. Спасибо.

[@aleksmaks3437]

Для себя понял, что застрял 8-9 классе, потому как решил именно таким способом. Спасибо за интересный разбор.

[@GeometriaValeriyKazakov]

И Вам спасибо!

[@user-ih2ev9dn9o]

Спасибо за подробный разбор. Решил 1-7 класс )). Склеил 4 равных четырёхугольника в большой квадрат со стороной ВС+СD=12.

[@GeometriaValeriyKazakov]

И вам спасибо.

[@user-yv5kb6fw1q]

Я сперва решил алгебраически (через x) (8 класс). Только скобки нигде не раскрывал, поэтому получил в последней дроби в числителе полный квадрат, где у меня x благополучно сократился. А получив квадрат половины от 12, понял, что можно провести перпендикуляры из A на стороны BC и CD, и получить равновеликий четырёхугольнику квадрат со стороной 6 (способ похож на приведённый для 1-7 класса, но рассуждения чуток проще). Правда в первом классе ещё не знают о перпендикулярах. Решения с разрезанием по AC не заметил. Замечание: когда в геометрии говорят о равенстве фигур, то имеется в виду равенство их величин, т.е. площадей, а не конгруэнтность.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-tu5ui8xm5u]

самый простой алгебраический. площаь квадрата - квадрат диагонали на 2 деленный. значит треугольника BAD - деленый на 4. площадь прямоугольного тр-ка - полупроизведение катетов. возводим условие в кадрат делим на 2 и получаем ответ

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Алгебраический способ хорош. И если бы я его дал, то не было бы половины комментариев. Какой я предусмотрительный!

[@AGIBNN]

1. Ни чего не мешает рассмотреть частный случай, когда ВС=0. Получаем треугольник АВD, BD=12. Опускаем высоту на ВD. Получаем два прямоугольных треугольника с катетами по 6. Sabcd=6*6/2*2=36 2. Другой частный случай BC=CD=6. Т.е. получаем квадрат со стороной 6. Sabcd=6*6=36. Два решения с одинаковыми ответами. Тривиально. А вот доказать, что площадь во всех случаях неизменна - сложнее.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. А что позволяет рассмотреть частный случай? Давайте найдем площадь параллелограмма со сторонами 6 и 8. Рассмотрим его частый случай - прямоугольник. Получим 6х8 = 48. Верно, что ли?

[@AGIBNN]

@@GeometriaValeriyKazakov , из условия задачи следует, что площадь фигуры неизменна при любых BC и CD с ограничением, что их сумма равна 12. Отсюда решение любого частного случая покажет единственно верный ответ.

[@rrincewind]

Меня же эта задачка тем и заманила что решить её можно множеством способов. Меня всегда интересовал самый 'элегантный' - как правило, являющийся также самым 'эффективным' в смысле 'трудозатрат' (крайне актуально в реальной жизни и для не-математиков 😁). А вот тут-то и кроется весь пресловутый дьявол. Как правило, для нахождения элегантных решений, недостаточно знать/понять технические детали, главное - понять суть. Валерий это выразил научным термином 'инвариант'. Как-то так 🙂. P.S.: я вот совсем не педагог, но мне кажется что такого рода задачи ценны именно в 'методологическом' плане - учат школьников пониманию, а не просто и не столько чисто техническому решению задач. Имхо, это был один из сильнейших аспектов 'совкового' средне-школьного образования (по кр.мере, в естеств.науках), мир праху его, к большому сожалению.

[@michaelnetsky]

Решается очень просто: если площадь не зависит от двух неизвестных углов, то площадь квадрата равна (12/2)²= 36. Или, например, ВС или CD стремится к 0, то получается равнобедренный треугольник с основанием 12 и прямым углом в вершине, высотой 6. Площадь этого треугольника 12×6/2=36!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. А если все-таки зависит?

[@michaelnetsky]

@@GeometriaValeriyKazakov а если зависит, то задача равносильна вопросу "какое расстояние между двумя планетами солнечной системы" или "сколько весит атом".

[@tananser]

Все точки лежат на одной окружности с диаметром BD. У четырехугольника есть два интересных частных случая: 1. ВС=0, и тогда это равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 12, площадь 36 2. ABCD - квадрат со стороной 6, площадь 36

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Интересное рассуждение. Смотрите последний ролик "Вишенка на торте"

[@242ra]

я также решил, по моему это самое корректное решение, что ВС может быть в диапазоне от 0 до 6.

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@242ra Спасибо. Да, про диапазон верно. А дальше что?

[@user-gyma]

Ну и... в промежутке между 1) и 2) пока ВС принимает значения от 6 до ноля, отрезки АВ и АД будут принимать значения от 6 до 8,48. производя площади бесконечного количества четырехугольников равними 36.

[@user-jm8kf4vk9f]

AD = AB = x, ВС =а, CD = b. a+b = 14, квадрат (a+b) = 144, удвоенный квадрат х = cумме квадратов a и b (теорема Пифагора). Следовательно сумма квадрата х и произведения a и b = 72, а следовательно площадь четырёхугольника - 36.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Привет, однофамилька! Извините, что раньше не заметил. Рад вас видеть на канале.

[@silenthunter9239]

А разве сумма квадратов чисел равна квадрату суммы этих чисел?🤔🤔🤔🤔🤔🤔

[@user-jm8kf4vk9f]

@@silenthunter9239 нет не равна. Квадрат суммы равен сумме квадратов а и b плюс удвоенное прозведение а на b. Но сумму квадратов а и b в этом равенстве можно заменить удвоенным квадратом х. По теореме Пифагора. Два прямоугольных треугольника имеют общую гипотенузу BD, а значит, суммы квадратов их катетов равны.

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@user-jm8kf4vk9f Спасибо, Тамара!

[@user-ud1pb4ey5b]

Браво! а я не решил! не нашёл что и куда повернуть, дорисовать, но предположил, что 12 делим на 2 и получаем 36, но это так получилось в следствие паники и стыда

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-pf3jd3ho1l]

Валерий, спасибо за геометрию, и за Экзюпери.

[@GeometriaValeriyKazakov]

И Вам спасибо за Экзюпери.

[@ewerest9914]

Еще проше: (12/2)^2=36. Потому что квадрат со стороной 6 подходит под условие задачи.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо, что смотрите нас.

[@GeometriaValeriyKazakov]

kzbin.info/www/bejne/kH6xen6loNJ1esk

[@glyebkhorolenko4223]

Увидел условие перед сном.Решил более простым способом и в уме, проснувшись ночью. Ну не знаю, решения три, но как минимум одно только подходит по условию задачи, решить устно и то...

[@user-sm4ke1yj4y]

Дело в том, что BC и CD мы можем выбрать произвольно не нарушая условие задачи. В этом легко убедиться, вписав 4 -угольник в окружность: BC совпадет с ее диаметром. Например, можем взять BC =CD = 6. Тогда получаем квадрат со стороною 6. Ответ - 6х6=36. Или, если хотим, BC =0, CD =12. Тогда 4-угольник превращается в прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой 12 и высотой 6. Площадь , соответственно, та же: 12х6:2=36. Вот и все...

[@GeometriaValeriyKazakov]

А кто разрешил выбирать? Нарушение.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Смотрите послений ролик Говорят ответ 8 не настоящий!

[@user-sm4ke1yj4y]

А какое условие задачи я не выполнил? Я думаю, сам автор не осознал суть задачи. Правильное условие звучало бы так: доказать, что площадь 4-угольника не зависит от AB. Сама же площадь вычисляется, как я показал, элементарно. @@GeometriaValeriyKazakov

[@GeometriaValeriyKazakov]

Посмотрите, может поможет kzbin.info/www/bejne/eZ7ZZKKkic2eibcsi=qb0fw5Zosfnhl_ny@@user-sm4ke1yj4y

[@Sergiusz-pq7bc]

дошкольник: BC+CD=12. В частном случае BC=CD=6. четырехугольник вырождается в квадрат. S=6x6=36

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо, что смотрите нас.

[@otprot1347]

Автор М О Л О Д Е Ц ))) Когда решал за 8-9 классы, то сказал, что они наверное ещё не могут выполнять повороты и решил алгебраически! А когда стал решать за 1-7 классы, то решил с помощью поворота. 😂

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@andrewsuhov7522]

Я пошел через рассуждения. У нас нет ограничений на углы B и D. Следовательно стороны BC и CD могут иметь любое соотношение, угол будет равен 90, как опирающийся на диаметр. Берем любой удобный вариант, например 6 и 6, достраиваем фигуру до квадрата, получаем 36 и все.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@yefimmor2136]

Напрашивается возвести в квадрат заданную сумму: 144=(BC+CD)в квадрате. Здесь будут содержаться: 1) площадь треугольника BCD и 2) квадрат диагонали BD, содержащий площадь треугольника BAD.

[@user-xq7rh8gq7q]

Уточняю. 4 площади треугольника BCD=2BC*CD и 4 площади треугольника ABD=(BC*2+CD*2) =BD*2=2AB*2. Ответ 144:4=36.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да. Это хорошее алгебрическое расуждение. Спасибо. См. "Вишенка на торте".

[@user-xq7rh8gq7q]

Устное решение. Возводим BC+CD=12 в квадрат и получаем 4 площади треугольника BCD и 4 площади треугольника ABD равны 144. Ответ 144:4=36.

[@user-do9mh4mh6z]

???

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Не то чтобы устное, там еще то алгебрическое колдовство. Но решение красивое.

[@alexandersur2269]

ВД- диагональ квадрата, сумма двух сторон по условию 12. Тоесть одна сторона 6. Площадь 36. Просто два угла в 90 градусов и общая гипоненуза ВД говорят о том, что площади двух треугольников равны. Равностороннесть АВ и АД с гипотенузой(диагональю квадрата,который мы представляем мысленно авсд ) говорит о том, что ав+ ад равно 12...можно более развернуто с доказательствами, но вроде это и так видно...как бы тянем угол С (прямой) до построения квадрата. Диагональ на месте, сумма сторон известна

[@user-gyma]

"ВД- диагональ квадрата, сумма двух сторон по условию 12. Тоесть одна сторона 6. Площадь 36. " Как может быть "она сторона 12/2=6", если видно, что катеты прямоугольного треугольника BCD - Не Равны. Равенство АС = СД (из условия задачи) вовсе не означает, что их сумма равна 12. Их сумма в любом случае будет БОЛЬШЕ, чем ВС+СД.

[@user-kf6lf3jd1f]

можно решить много проще. Из условия понятно, что любой 4-хугольник, соответствующий условию имеет одинаковую площадь. Значит можно взять 4-хугольник у которого ВС=СD=6. поскольку у треугольников общая диагональ, а треугольник BCD равнобедренный, с прямым углом, то АВСD - это квадрат со стороной 6 см. Соответственно площадь - 36

[@GeometriaValeriyKazakov]

Из условия это никак не следует. Это вы додумываете условие. В конце-концов так и получилось. Но математическая задача в том, чтобы это как раз доказать!

[@nikolaysharapov6298]

Самое интересное. Это поворот. Превращение в равнобедренный ∆ с диагональю 12. И высотой, делящей на два равных ∆ с катетами 6.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Наверное, да

[@user-lr8ni8qq1p]

обожаю красивые задачи по геометрии

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. И я тоже обожаю.

[@user-lg5qn9vi7s]

Супер Всё способы хороши Но особенно понравился 3 способ

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@lironne882]

Искомая площадь стремится от 30 к 18, т. к. вокруг этого четырехугольника можно описать один лишь круг, где 12 м. б суммой бесконечного количества катетов, а о АВ и Ад нам известно лишь, что они равны

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо, что смотрите нас. Надеемся наши решения вам понятны?!

[@user-gyma]

"вокруг этого четырехугольника можно описать один лишь круг, где 12 м.б. суммой бесконечного количества катетов" Если существует бесконечное количество комбинаций треугольников, где ВС+СД=12, значит существует и бесконечное количество конфигураций четырехугольника. И площадь всех их будет ровно 36, и ни граммом меньше. (Главное, выдерживайте равенство АВ = АД ).

[@user-do9mh4mh6z]

Теорема Пифагора для двух треугольников и S=36

[@user-cm9zi6ow4y]

(ВС+СД) в квадрате = 144. С другой стороны, если расписать квадрат суммы, учитывать АВ=АД , то получится (ВС+СД) в квадрате =4S. Отсюда S=144/4=36

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, можно алгеброй. Спасибо.

[@radugajeka]

ДиагональВД является общей гипотенузой для двух прямоугольных треугольников АВД и ВСД. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов АС**2+СД**2=2АВ**2. Отсюда:АВ**2=(ВС**2+СД**2)/2. Площадь фигуры состоит из суммы площадей двух прямоугольных треугольников АВД и ВСД : S=(АВ**2)/2 + (ВС*СД)/2 = (ВС**2+СД**2)/(2*2) + (ВС*СД)/2 = (ВС**2+СД**2 + 2*ВС*СД) /4 = (ВС+СД)**2/4 = 12**2/4 = 144/4 = 36

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо за подрбное алгебраическое решение.

[@SergeySolar]

Важное дополнение к условию: угол ADC + - от 45 до 90

[@user-hr5vv3nm3x]

Давно так не смеялся над своими понтами. Сразу понял, что простейшее решение--через диагональ ВД. Но решил пойти оригинальным путем--через медианы АО и СО(радиусы). S=abc/4R. Сравнил оба решения--прослезился: те же формулы, только расчеты в 3 раза длиннее. Вспомнился анекдот про чукчу из "Поля чудес"--угадал все буквы за 1 минуту, сумел прочитать слово за 10минут.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Задачи - способ повеселиться!

[@fainakotok1552]

Можно провести диагональ BD. Получим один равнобедренный треугольник, у второго прямоугольного сумма какие-то равна 12. Используем формулу сокращённого умножения суммы в квадрате. Раскрываем и получаем суммы площадей этих треугольникков , умноженных на 4. Ответ 36

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да. Это хорошее алгберическое решенние. Смотрите последний ролик "Вишенка на торте".

[@Igor_Lena]

Решил в уме за 1.5 минуты. Проводим диагональ BD, получаем 2 равных по площади прямоугольных треугольника ABD и BCD с общей гипотенузой. Соответственно AB+AD=BC+CD, а оно уже известно 12. В итоге AB*AD = 36.

[@GeometriaValeriyKazakov]

С какой стати равных по площади? Это не обязательно.

[@Igor_Lena]

@@GeometriaValeriyKazakov Виноват. Увидел ошибку. Видимо мысленно поиграл в тетрис быстрее, чем смог сформулировать мысль )) Прямо как в старом анекдоте про алкоголика и два по 0,25

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@Igor_Lena Ок

[@GeometriaValeriyKazakov]

Игорь, не могу ответить на вопрос "как вы считает", так как ваш вопроос где-то прячется в ленте комментов. У меня 200 рлликов и доругие, поверьте, не хуже! Желаю при ятного просмотра.

[@servenserov]

Решил вращением ∆ACD вокруг точки А. Хотя мне как-то ближе алгебраический метод, ну, а самый красивый - 3-й способ. *Спасибо!*

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. См. "Вишенка на торте".

[@user-np9bu4oy5f]

Чтобы "отшить" любителей частных случаев можно ввести дополнительное бессмысленное условие. Назначить углу АВС значение, с минутами и секундами.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Ну, да можно. Только смотреть не будут. kzbin.info/www/bejne/mV7Ym3iDrbhmn5Y

[@LSIGarmony]

Очень интересно.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо за оценку

[@user-zy5vm5tp4l]

Есть еще 1 вариант решения через оценку выражений. Выражаем диагональ BD по теореме Пифагора 2 раза приняв АВ=АD=x и выразив площадь ABCD через нее. В итоге получим BC=6+/-(x2-36) 1/2. и x=6, а площадь АBCD тогда 36.

[@user-ko7wt8fn2k]

Это и есть то, как решить устно.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да. Это хорошее алгебрическое расуждение. Спасибо. См. "Вишенка на торте".

[@user-oc2sv9ju2q]

Решал 4 минуты. Присмотрелся к фигуре и увидел что стороны АВ и AD не равны, угол С - ни%Y"@ не прямой. Это фиаско братан. Такой фигуры не существует. Короче, два прямых угла в противоположных концах, просто подсказали мне что эта фигура - квадрат.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо, бро. Такая фигура конечно существует, вы можете сами ее вырезать из бумаги.

[@user-mw4sm8uz7d]

Некоторые критикуют, а мне понравилось. Именно разными способами.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Вы бы видели этих критиков, когда они выходят с олимпиады или на аппеляции.

[@Bosjak63]

Как найти площадь? Есть несколько решений этой задачи: 1 - Открыть Google Maps говорят что он знает всё.. 2 - Спросить у прохожих.. 3 - Вызвать такси, он довезёт (но это не точно 😂)

[@GeometriaValeriyKazakov]

ОТл. Дневник на стол

[@user-gu8sy3wr6r]

Проводим В-D. На серидине В-D лежит центр окружности проходящей проходящей через А В С и D. Отсюда АВ+СD = DC + СВ =12. Так как АВ=СD то АВ= 6 . Дальше 6*6=36

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@user-gu8sy3wr6r]

@@GeometriaValeriyKazakov только треугольник ВСD МЕНЬШЕ треугольника АВD. так как только равнобедренный треугольник будет иметь максимальную площадь. А все не равнобедренные будут меньше. Отсюда: площадь АВСD меньше 36.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен.@@user-gu8sy3wr6r

[@user-tn3nr1mi4o]

Гениально блогодарю

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо!

[@GeometriaValeriyKazakov]

kzbin.info/www/bejne/oX3Sd2tomaikpM0

[@euor800]

Диагональ BD даст по Пифагору в BCD 2AB^2=BC^2+CD^2; Тогда Sabcd=(AB^2+BCxCD)/2; Возведем в квадрат 144=BC^2+CD^2+2xBCxCD и подставим 144/2=AB^2+BCxCD; Тогда Sabcd=(AB^2+BCxCD)/2=144/4=36

[@GeometriaValeriyKazakov]

kzbin.info/www/bejne/Y4bKhI2kq5d5ask

[@sergeykitov2760]

если во втором решении не вводить х, то станет проще. 12^2 = (BC+CD)^2 = BC^2+CD^2 + 2*BC*CD = BD^2 + 2*BC*CD = AB^2 + AD^2 + 2*BC*CD = 2*AB*AD + 2*BC*CD = 4*S_{ABD} + 4 * S_{BCD} = 4S. Отсюда S = 12^2/4 = (12/2)^2 = 36.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@Yae_blue_Liu_blue]

Как же интересна геометрия. Почему я пришел к этому выводу только в 33года? Она имеет гораздо больше отношения к творчеству чем я считал ранее. Удивительно

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, это так. Вы абсолютно правы.

[@maxgladkikh2326]

Она ещё и полезна) Я Вас старше на 25, все признаки раннего маразма налицо. Пытаясь оттянуть, впал в школьную геометрию в том числе, и оказалось, что с тех пор она как-то ухитрилась стать намного интересней)

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@maxgladkikh2326 Спасибо. Бывших не бывает

[@user-bq5bg7xy3h]

Моё решение выглядит (для меня) проще, чем продемонстрированные, хотя решить задачу устно не получилось. Если обозначить длины сторон четырёхугольника буквами a, b, c, d (от соответствующего угла по часовой стрелке, напр., a = AB, ... , d = DA), то, по условию, a = d и b + c = 12. Искомая площадь равна сумме площадей треугольников ABD и BCD, то есть S = ad/2 + bc/2. По теореме Пифагора, a² + d² = BD² = b² + c². Приводя выражение слева к квадрату разности, а справа - к квадрату суммы, получим: (a - d)² + 2ad = (b + c)² - 2bc. Поскольку a - d = 0, отсюда получается 2ad + 2bc = (b + c)² = 12² = 144. Наконец, S = ad/2 + bc/2 = (2ad + 2bc) / 4 = 144 / 4 = 36. Решение, вероятно, эквивалентно предложенному автором для 8-9 классов, но по мне, повторюсь, смотрится полегче

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-jc1zp7ub6c]

Самое простое решение без построений и доказательств: если есть такая задача, значит при любом соотношении BC к CD результат будет одинаковый. Поэтому выбираем BC=CD=12/2=6. Имеем квадрат со стороной 6, т.е. площадь - 36!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, это гипотеза про инвариант. Но его, к сожалению, нелобходимо доказывать на олимпиаде. Если это тестовая задача без решения, то это великолепное рассуждение!

[@vladimirr.1260]

Офигенно!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Все супер! Спасибо.

[@user-jz3js4xe5n]

4 таких прямоугольника складываются в квадрат со стороной 12, площадь которого будет 144, значит площадь АБСД 144/4=36. Просто поворотом на 90 относительно точки А.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Вашу мысль понял. Да, вы правы. Только 4-ка (оговорочка). Это известное рабиение квадрата. В молодец, если сами придумали!

[@vs-ls4du]

Тут ещё проще решение. BD это диаметр окружности в который вписана эта трапеция. Поскольку треугольник BCD опирается на диаметр окружности то точка С может лежать на любом ее участке между точками B и D, не противореча условиям задачи. В том числе и совпадать с этими точками в пределе. В этом случае диаметр окружности будет равен 12 см. А площадь трапеции или уже треугольника будет равна четверти от 12 в квадрате т е. 36 см. Задача решается устно без всяких построений.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Отличная идея.

[@user-fo5oh4pf2k]

А тот, кто его сбил, дожил до недавнего времени.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Не знал, спасибо.

[@user-fo5oh4pf2k]

@@GeometriaValeriyKazakov ну и какая после этого на свете справедливость? Понимаю, что вопрос риторический.

[@user-vc4tm2bf1e]

По рисунку видно, что АВ=АD. Следовстельно BC=CD. Все стороны по 6 см.S=36 кв.см.

[@paulanderson5704]

Если говорим о решении действительно в одно действие в уме, то оно такое: "нам не дали углов четырёхугольника, значит от углов ответ не зависит, значит предположим, что это квадрат, сумма двух сторон 12, одна сторона 6, площадь 36." Можно проверить ещё вырожденный случай, когда ВС=0, и это треугольник с гипотенузой 12, сторона 12/√2, площадь тоже 36

[@GeometriaValeriyKazakov]

Никак это не значит, а вдруг зависит, а вдруг 3 ответа разных и т.д. Вообже нужно "доказать, что при данных задачи площадь всегда одна и та же и найти ее"

[@paulanderson5704]

@@GeometriaValeriyKazakov Естественно, нужно доказать. Но вопрос стоял - "найти площадь за одно действие в уме". И реально это сделать в уме только так. А потом уже, зная ответ, это может натолкнуть мысль и на методы доказательства.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, можно и так, если срочно требуется ответ. Но здесь речь идет о правильном математичском решении, олимпиадном. К вам никаких вопросов. Спасибо.@@paulanderson5704

[@v.volynskiy]

Строим BD как общую гипотенузу. Потом возводим в квадрат известную сумму катетов (BC+CD)^2=(BC^2+CD^2+2BC*CD)=144 . Она оказывается равной учетверённой площади малого треугольника (2BC*CD=4Sbcd) и квадрату общей гипотенузы (BC^2+CD^2=BD^2). Но BD^2=AB^2+AD^2=2AD*AB=4Sabd. Таким образом (BC+CD)^2= 4Sbcd+4Sabd=4Sabcd=12^2=144. Осталось разделить 144 на 4 и радоваться.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, это карсивый алгебраический способ решения. См. похожий последний мой ролик, там я его применил.

[@zrtqrtzrt8787]

Загадка: дан четырёхугольник, 2 стороны равны, 2 угла прямые. Тогда, 2 других угла тоже прямые. Но тогда и 2 другие стороны тоже равны 2 предыдущим. Так это ж квадрат! 6*6=36

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Не обязательно.

[@user-km1jw5rj6x]

А можно вообще очень просто сделать. По формуле Пифагора, так как BD будет общей гипотенузой для ABD и CBD, то AB²+AD²=BC²+CD², а также нам известно что AB=AD, то есть ABD равнобедренный, и если BCD сделать тоже равнобедренным, то получаем квадрат. Соответственно 6*6=36. Предчувствую кучу комментариев что так делать нельзя, отвечу оба треугольника имеют общую гипотенузу, которая в свою очередь является центром окружности, в которую вписаны оба треугольника, и какое ни было бы соотношение сторон ВС и СD, будет меняться радиус окружности но не сумма площадей этих треугольников, и отсюда же AB=AD>=6

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Это хорошее алгебраическое решение. См. рлик "Вишенка на торте"!

[@arbo1219]

Отрезок BD является гипотенузой треугольников ABD и BCD. Имеем тождество: BC + CD = 12. (BC + CD)÷2= 6. (BC÷2 + CD÷2)^2=6^2=36. (BC^2 + CD^2)÷4 + BC×CD÷2 = 36. BC квадрат плюс CD квадрат есть квадрат гипотенузы. Квадрат гипотенузы деленный на 4 равен площади треугольника ABC. BC×CD÷2 - площадь треугольника BCD. Площадь 4-угольника равна сумме площадей 3-угольников. Для проверки подставим в формулу численные значения BC и CD, согласно тождеству: 11 и 1; 10 и 2; 9 и 3; 8 и 4; 7 и 5; 6 и 6. Выясняется, что при всех сочетаниях катетов площадь 4-угольника неизменно равна 36. Фантастика! Этого не может быть! А как это работает? А давайте возьмем другие значения катетов BC и CD, а именно: -- 1 (минус 1) и 13; -- 2 и 14; -- 3 и 15; --88 и 100; --5 и 17 и так далее, тождество нам позволяет. Увы, результат тот же - 36. С той разницей, что здесь площади не складываются, а вычитаются. Окончательная формула - Sabcd = Sabd +/-- Sbcd

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@GeometriaValeriyKazakov]

kzbin.info/www/bejne/Y4bKhI2kq5d5ask

[@user-fv2uy5wh6o]

Пусть S - искомая площадь, S1 - площадь треугольника ABD, а S2 - площадь треугольника BCD. S1 - площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, поэтому квадрат гипотенузы равен учетверённой площади (AB²+AD²=BD², BD²=2AB²= 4AB×AD/2 = 4S1). Площадь S2=BC×CD/2. Запишем (BC+CD)²= BC²+CD²+2BC×CD = BD² + 4×S2 =12²=144 4×S2 = 144 - BD² 4S = 4S1+4S2 = BD² + 144 - BD² = 144 S = 144/4=36

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Это хорошее алгбераическое решение. См. "Вишенка на торте".

[@reforma715]

Здорово!!!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо за оценку.

[@viajero8323]

Мне 67 лет, смотрел с интересом. Треугольник моя любимая фигура со школы, а дальше, став геодезистом, вычислял координаты методом триангуляции. Гениальность в простоте, потому последний вариант самый красивый. Спасибо!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо, что смотрите наш канал.

[@user-hb4zd1sd8e]

Скоростное нестрогое решение без бумажки, алгебры и построений, методом взлома условия задачи: Никто не сказал, что BC не равно CD. Если BC=CD, то перед нами квадрат со стороной 12/2=6 и площадью 6х6=36 Если решение существует, то оно - 36. Никто не сказал, что BC не равно нулю. Тогда перед нами равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 12, и, соответственно, площадью 36. Если бы в формулу площади полученной фигуры как-то входило отношение CD к BC, то в крайней точке решения бы не было из-за деления на ноль, а оно есть, и равно решению в средней точке. Следовательно, отношение CD к BC в формулу площади фигуры не входит, а значит как бы CD к BC не относились, площадь всегда будет одинаковой, и равна 36.

[@ValeriKamenkovich-pk6qg]

А что если ещё проще: если сумма катетов прям.треугольника постоянна, то и гипотенуза постоянна, поэтому для простоты берем катеты 6 + 6. Второй треугольник автоматически такой же, и площадь равна 6×6=36. А гипотенуза постоянна, т.к. все прям. треугольники с постоянной суммой это такое их множество, где вершина прямого угла скользит по окружности, построенной на гипотенузе как на диаметре. ВК.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. К сожалению, при одной и той же сумме катетов гипотенуза разная. Из проволочки длины 24 см вы можете квадратик сделать 6Х6 (одна длина диагонали), а можете узкий длинный прямоугольник 1Х11 (у него уже будет побольше диагональ).

[@user-vn1wj3qq1j]

*Ответ: S(ABCD) = 36.* РЕШЕНИЕ. 12² = (BC + CD)² = BC² + CD² + 2BC*CD = BD² + 4*S(BCD) = AB² + AD² + 4*S(BCD) = 2*AB² + 4*S(BCD) = 2*AB*AD + 4*S(BCD) = 4*S(ABD) + 4*S(BCD) = 4*[S(ABD) + S(BCD)] = 4*S(ABCD). ⇒ 4*S(ABCD) = 12²; S(ABCD) = 12²/4 = (12/2)² = 6² = 36.

[@egzo8669]

Задача в 1 шаг длится 20 минут. Действительно для первоклассника

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо! Согласен. Для очень-очень умного!

[@qwertqwert2462]

Нее.. первоклашки (и 1-4 кл) в принципе такую задачу решить не могут. Поинтересуйтесь у учителей!