ПРОСТАЯ, НО КРАСИВАЯ ЗАДАЧА!

[@AlexeyEvpalov]

В равнобедренном треуг. CMK, угол KCM=CKM, а PCK=CKM, как накрест лежащие. То есть KCM=KCP, а треугольник CKD=CKP, по гипотенузе и острому углу, CP=CD=12.

[@МаксимАндреев-щ7б]

FKM=90°, KM||CP, углы KCM=CKM=KCP, так что треугольники KCP и KCD равны по гипотенузе и острому углу, CP=CD=12.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен.

[@viktorviktor5820]

Тоже так решил.

[@bakoudujar]

После некоторых бесполезных вычислений я увидел два равных прямоугольных треугольника, которые, связанные с созданным прямоугольником, дали решение x = CD. Спасибо из Франции за эту интересную задачу.

[@GeometriaValeriyKazakov]

И вам спасибо. kzbin.info/www/bejne/gJammoKbbddreZYsi=lnBA5EgY_Uw66S-a

[@ИраДжи]

Спасибо за красоту, которую Вы нам дарите каждый раз. Мне трудно выбрать, которое из решений изящнее, лучше. Оба лучше! Надеюсь, Вы оформите все Ваши задачи по планиметрии вместе с Вашими же решениями в отдельную книгу. Желаю Вам успехов.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Хорошая идея!

[@thinkingabout5641]

Задача тем интересна, что тут много способов решения. Для 7-го и 9-го подходит. Я сначала с теоремой косинусов решил, а потом присмотрелся и еще способы нашел, потом переспотрел видео и еще способы, почитал комментарии и еще способы. Круто.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, полностью согласен. Масса интересных продолжений.

[@salavatishikaev3104]

Нужно сразу построить перпендикуляр KQ (10:01), и дальше очень легко доказать, что трапеции KQCM и CPKM - равны! (у них равные основания и одна боковая сторона, общий угол между ними, а вторая боковая сторона перпендикулярна основаниям)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Да, вообще, все легко!

[@tsaiis]

МЕ|_РС. Тр-ки МЕС=КМД(гипотен.+остр.) РЕМК--прямоугольник. Катет+гипотенуза=катет+гипотенуза. Сл-но, РС=СД=12

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Да, это в точности наш 1 сп. Только буква E у нас T. Для школьника обозначили гип. m, а катет n.

[@alexnikola7520]

абсолютно согласен с @user-dv5ox6os5p... Валерий жутко симпотные темы дает) приятно решать... до первого способа я сам додумался, а второй - на пятерочку... песочная геометрия рулит

[@GeometriaValeriyKazakov]

Вот, так-то нытики (один там выше попался)!

[@kulikovsergey3522]

Классная задача, нравятся такие задачи в которых нужна наблюдательность. Решил за пару минут в уме также двумя вариантами, не смотрел решение чтобы написать мое иначе не интересно будет писать когда знаешь что такое же решение если совпадут оба. В начале почти сразу стало ясно что ответ должен быть равен длине стороны квадрата потому что он не зависит от величины острых углов в треугольниках КМД и АFК так как при стремлении одного из этих углов к нулю длина РС стремится к длине стороны квадрата. Далее присмотревшись увидел что КМ || РС так как угол FКМ прямой и если провести отрезок КС то треугольники РКС и СДК равны как прямоугольные по общей гипотенузе и острому углу угол РСК равен углу СКМ как накрест лежащие и равен углу КСД в равнобедренном треугольнике КСМ. Второй вариант - вначале увидел решение как дорисовать квадрат, одну сторону из точки М провести отрезок на прямой МК длиной равной отрезку МД получив длину равную 12, далее вторую сторону из точки окончания этого отрезка проложить вторую сторону нарисовав сначало отрезок до точки С длиной равной КД и продолжив отрезок далее еще нарисовать длиной равной АК полив новую сторону квадрата длиной 12, третью сторону нарисовав продолжив отрезок КF и соединив вторую и третью сторону четвертой стороной и понятно что РС || стороне квадрата и равна 12. Может сойти еще за одно решение, а начав его описывать увидел самое простое решение - из точки М провести перпендикуляр к РС и обозначим точку пересечения Н тогда треугольник СНМ равен тр. КДМ и СМ = МД, а РН = КМ = СМ, следовательно РС = РН + НС = СМ + МД = 12. Также можно на прямой КМ из точки М отложить отрезок МЛ равный МД тогда аналогично доказывается через равенство треугольников СМЛ и МКД, если совсем не придираться то может сойти за четвертое решение).

[@GeometriaValeriyKazakov]

супер-коммент!

[@kulikovsergey3522]

Спасибо!

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@kulikovsergey3522

[@МалыхинДмитрий-й5л]

Валерий Владимирович! Я понял Вашу стратегию. Вы выбираете не самые оптимальные пути решения, чтобы продемонстрировать больше приёмов и больше красот математики и чтобы провоцировать аудиторию на лучшие решения, попросту заводить аудиторию. Вот так и здесь: просто КД = РК или МТ (из равенства треугольников МТС и МДК), и, значит, прямоугольные треугольники СКР и СКД равны...

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Иногда, да, для комментов пропукаю самое очевидное. Но не всегда. Оптимальное по вашему мнению решение, вовсе может быть не оптимальным по моему мнению олимпиадного тренера. Ваше оптимальное может иметь подводные камни, КОТОРЫЕ ПРИДЕТСЯ ДОКАЗЫВАТЬ. Кроме того, я могу преследовать какой-то определенный прием (т. синусов 3 ролика подряд). Также, например, когда говорят "из соображений симметрии", то это не зачтут, т.к. как нужно указать применяемые свойства симметрии и т.д. Приведите конкретный пример, и я расскажу. Как правило, с точки зрения олимпиадного решения - решения зрителей или хуже, так как не обладают достточной общностью и сложные задачи так не решить (хотя им кажется, что их решения лучше), или равноценны. Но бывают и шедевры.

[@ВерцинГеториг-ч5ь]

Тр - ки СРК и СДК равны по двум углам РСК и КСМ равному СКМ и прямым углам и общей гипотенузе СК . Отсюда СР + СД = 12 .

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@СветланаСалахутдинова-ь6й]

Спасибо за задачку , решила с удовольствием, таким же способом как и автор))

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@АлександрСпирин-п1к]

Мне очень нравятся Ваши задачи для 7-8 классов именно своей элегантностью . Именно решение таких задач и делает геометрию любимым предметом. Спасибо большое!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, мы работаем для вас. Спасибо!

[@mrcay256]

1. Проведем CK. 2. Тр-к CKM р\б, углы при основании beta\2. 3. В тр-ке PKC угол С=beta\2 4. Таким образом п\у тр-ки PKC и DKC равны, CP=CD=12.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@СергейРыбалкин-н4п]

После того,как доказали,что угол РКМ прямой и треугольники СТМ и МКД равны по гипотенузе и острому углу, можно просто соединить Р и Д.Так как ТМ=РК=КД, получаем равнобедренный треугольник РКД.Угол КРД равен углу РДК..Тогда угол СРД равен углу СДР,(из прямых углов вычли равные). Треугольник СРД равнобедренный: СР=СД=12

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, можно довести до равнобедренного. У меня было (как у Ферма) мало места!

[@viktorviktor5820]

Кто молодец? Казаков молодец! Сам решил обоими способами. Только во втором случае достаточно провести СК и доказывать равенство треугольников СРК и СКД. Углы равны, общая гипотенуза. При обьяснении первого способа есть некоторые неточности. Указана не сторона квадрата а диагональ, пишем 12 говорим 11. Ну это мелочи. Спасибо за задачу.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, я такой. Следить нужно.

[@viktorviktor5820]

@@GeometriaValeriyKazakov сейчас я и сам такой...

[@СвободныйМатематик]

Я из угла в 90° провел перпенд к верхней стороне Красная и этот перп образуют ромб как 2 пары паралл пересек прямые а стороны равны по условию То есть из ромба следует равенство его правой и верхн сторон Далее смотрим на тре-к слева от ромба и сверху У них равен угол как накрест леж и один прямой, значит они подобны При этом равнц гипот Выходит красная равна стороне то есть 12 Спасибо

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@СержХол]

Проведём прямую cf и получим два равных прямоугольных треугольника с общей гипотенузой .

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо, что смотрите нас.

[@viktorviktor5820]

Интересно, а решение от обратного пройдет? Допустим такое. В квадрате АВСД из т.С как из центра, нарисуем четверть окружности радиуса СД, от .тД до т.В. возьмём на стороне квадрата АВ в любом месте т.F. из неё проведем касательную к нашей окружности ( т.Р), до пересечения с АД (т.К). Из К проведём КМ под углом 90 градусов к FK. Требуется доказать, что КМ равно СМ. Доказывается легко - проводим СР и СК, доказываем что углы КСМ и СКМ равны, треугольник равнобедренный. СР - радиус и равен стороне квадрата. Т.е. мы от окружности пришли к начальному построению. Такой метод решения пройдет? Можно начать с другой стороны, так же провести четверть окружности, взять любую т.М на СД, построить т К, и из неё провести касательную - тт Р и F. Доказать что угол МКД равен углу КFA. Тоже легко доказать. Как вам такой подход?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@ОлегКозловский-о8е]

FKM - прямой, значит РС параллелен КМ, Перпендикуляр из М к РС отрежет сверху точно такой же треугольник как КМД. Значит РК= КД и треугольники РСК и ДСК равны. Ответ 12

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@Andrej_rybak]

Благодарю.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. ПЫтайтесь сами!

[@Andrej_rybak]

@@GeometriaValeriyKazakov да я решил. Не много похоже на Ваш 1й способ.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, здесь море способов!@@Andrej_rybak

[@alexsokolov1729]

Решил первым способом, так мне было проще, но тут каждому своё) А на превью, конечно, Леонардо да Винчи

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, конечно. Расскажу чуток в с ледующем.

[@AlexandraMarchenkova]

Обозначим: СМ=в ^MKD=a 1) ^FKA+^MKD=(90-a)+a=90° 2) Из (.) К проведем вверх параллельно стороне CD квадрата ABCD прямую. Точку пересечения назовем N. 3) Четырехугольник KNCМ -- ромб со сторонами, равными "в" и углами ^NKM=^NCM=90-a и ^KNC=^CMK=90+a 4) ∆-ки PNK и KMD равны (равенство углов: ^PKN=^MKD=а, ^NPK=^MDK=90°, ^PNK=^KMD=90-a, а также NK=KM=в, т.к. по построению KNCМ -- ромб и KN=NC=CM=MK=в) 5) Т.к. ∆-ки PNK и KMD равны и KNCМ -- ромб со сторонами, равными в, то PN=12-в NC=в Тогда РС=PN+NC=(12-в)+в=12 ☑️☑️

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер! И у меня.

[@AlexandraMarchenkova]

@@GeometriaValeriyKazakov Не списывала 🤣

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, вы сами многое можете!@@AlexandraMarchenkova

[@ВячеславФоминых-р3г]

Мне показалось,что второе решение проще.

[@krassimirahavezova3360]

Чудесно. Я из Болгарии.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Очень приятно. У вас там тепло, а у нас снег и -10!

[@innaveltman5646]

Второй способ гораздо короче. Моментально получается дельтоид , всё. Не нужно ещё одного доп. построения.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Более того - равнобедренный с равными высотами!

[@alexnikola7520]

валерий, только там у Вас описка) но ее наверно никто не заметил)) в условии задачи: не АС а ВС

[@AlexFeCity46]

💥

[@GeometriaValeriyKazakov]

Бывает. Конечно ВС. Это все отвлечение на кофе.

[@user-ch5mq5yo3m]

​@@AlexFeCity46Если, все же принять что АС=12, тогда РС=√72 или 6√2.

[@comdo777]

asnwer=6cm

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@igorrromanov]

Если провести линию FC мы получим два зеркально симметричных равных треугольника BFC И РFC (по общей гипотенузе и противолежащему прямому углу)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@smirnov-49]

А я опять в крайности. Точку М посредине CD, результат 12. Точку М в точку D, результат 12. 😮

[@GeometriaValeriyKazakov]

Посередине получится, так как в тр. KMD катет меньше гипотенузы.

[@umid_yuldashev]

trigonometricheskim resheniya yesho bistre reshaetsya eto zadacha. ispolzuyte

[@vladimirkhomutov1053]

Да простая, но, вот еще красивее - Понятно что угол FKM = 90.Обозначим СМ=Х следовательно МD=12-Х. Из вершины М, тр. MKD проведем прямую параллельную FK до пересечения с прямой СР, получим прямую ML параллельную FК, прямоугольник PLMK и прямоугольный треугольник MLC. тр. MLC = KMD, по гипотенузе и прилегающему углу. Следовательно катет DM тр. KMD равен катету LC тр MLC, MD = CL = 12-X, a KM - диагональ тр. KMD - является стороной четырехугольника PLMK и равна стороне PL, следовательно прямая СР = СL + PL= 12-X +X =CD = 12

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@НиколайИванов-с3т]

АС не равно 12

[@GeometriaValeriyKazakov]

Ни-за-что!

[@АлександрДиряев-п7ъ]

РС=11😂

[@GeometriaValeriyKazakov]

Очень-очень близко!

[@ВладимирКоротких-ы8ж]

Не понял,АС или ВС равно 12.

[@GeometriaValeriyKazakov]

там описочка

[@ЛюдмилаЕвстифеева-щ2е]

дано не АС=12, а ВС=12

[@GeometriaValeriyKazakov]

Ужас-ужас. А вот тогда не было бы комментов!

[@GeometriaValeriyKazakov]