СЕКРЕТНЫЙ СПОСОБ. Знают лишь избранные!

Внутри угла А в 60 градусов взята точка М с расстояниями от сторон угла 3 и 6. Найти расстояние от М до А.

[@SB-7423]

И снова неожиданно помогает аналитическая геометрия! Точка С - начало координат. Координаты точек : М(0, 6), А(а, 0). Уравнение прямой АВ : y = √3∙(x - а). Расстояние от точки М до прямой АВ ( знак − , так как точка М находится ниже прямой АВ) : 3 = − ( 6+√3∙а)/√(1+3) ⟹а = -4∙√3. Искомое расстояние : AM = √(36+48) = 2∙√21.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@user-ip2kj6um7g]

Задача. В окружность диаметром 65 вписаны 12 целочисленных треугольников: 4 пифагоровы и 8 героновых. Найдите, хотя бы, один пифагоров и один геронов треугольники.

[@user-xp6fw9gz8k]

Решал через горизонтальное проецирование верхней точки красного отрезка на наклонную чёрную. Она состоит из двух кусков 6/sin60 и 3/tg60. Затем красная вычисляется по теореме Пифагора. 2*корень(21). В процессе вычисления возникало выражение как в теореме косинусов: корень(3^2 + 2*3*6*cos60 + 6^2). Это длина отрезка, соединяющего основания перпендикуляров. Каков её геометрический смысл задумываться не стал.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@SB-7423]

А если угол и расстояния произвольные, то есть решение и в общем виде. Если обозначить : tgα = t, CM = c, BM = b, то с помощью той же аналитической геометрии нетрудно получить конечную формулу : AM = √{c^2 + [(c + b∙√(t^2+1))/t]^2}. По просьбе автора sinα = 0.7⟹tgα =7/√51, c=6, b=3. Тогда получим : АМ = √{6^2 + [(6 + 3∙√((tg70°)^2+1))/tg70°]^2}= 8.056... Но это уже частности.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-uj1th3td2k]

Еще один способ - достроить угол до равностороннего трегольника так, чтобы третья сторона проходила через М. Дальше очевидно - углы по 30 градусов и один Пифагор в конце. Первое, что пришло в голову. В принципе похоже на второй способ.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-ip2kj6um7g]

Абсолютно точно!!! Достроил до равностороннего и вуаля!!!

[@artemiyfateev2532]

Забавно. Решил также)

[@newtime1811]

Применяя только теорему Пифагора. На исходном рисунке, сохраняя все обозначения, : опустить перпендикуляр из т.B на AC (на AC основание перпендикуляра точка D). Из точки M провести отрезок до перпендикуляра AD (до точки E), параллельно AC. Тогда в треугольнике ABD: угол ABD =30, AD=AB/2,угол BME=30, ED=6, BE=1.5. BD=6+1.5=15/2, AB^2-(AB/2)^2=BD^2, 3/4(AB)^2=225/4;В треугольнике ABM AB^2=225/3; X=√(AB^2+9), X=√(225/3+9)=√84=2*√21.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@glebdavletbaev9480]

Вроде моего решения в комментариях не видел. ))) Проведем через М прямую параллельную АВ, а через С прямую параллельную ВМ, точку пересечения второй прямой с АВ обозначим С1. Сразу понятно что длинна СС1 6 см. Отсюда АС = 2√3*2=4√3 и далее по теореме Пифагора в ∆ АМС находим диагональ АМ = √84=2√21. Извините, что подробно не расписал, но надеюсь понятно.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-ih2ev9dn9o]

Добрый день. Спасибо за 2 способа. Я решил совсем иначе, думаю, что можно назвать 3 способом. Идея следующая: я склеил 3 угла по 60 градусов в развёрнутый 180 градусов таким образом, чтобы вершины при склеивании образовали пятиугольник. В пятиугольнике провёл диагональ отсекающая 2 треугольника с углом по 120 градусов. Воспользовавшись два раза теоремой косинусов нашёл искомый отрезок, равный 2 корень из 21.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@user-hr5vv3nm3x]

Красивая задача. АВ и СМ -- до пересечения в тчк Д. Пусть АВ=х, АС=у. Угол Д=30, сл-но, МД=СМ=6, ВД=3\/3, отсюда: х+3\/3=2у x^2+9=y^2+36. х=5\/3, у=4\/3, АМ=2\/21

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер.

[@user-jz1kh9dq6q]

Можно решить проще: продлить МС до пересечения с продолжением АВ пусть в точке Д. Тогда из треугольника ВМД в нем угол Д равен 30 градусов,значит МД равно 6, тогда СД РАВНО 12. Тогда из треугольника АСД находим АС по теореме Пифагора, зная,что АС равно половине АД: АС= корень из 48. Из треугольника АМС находим Х по теореме Пифагора = корень из 84.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@AlexeyEvpalov]

Второй способ намного проще.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@sv6183]

Посылал комментарий перед этим, но обнаружил там ошибку.Поэтому пишу еще раз. Проводим из точки М горизонталь до пересечения с АВ в точке К. Из точки К опускаем на АС перпендикуляр КР. Получаем подобные прямоугольные ∆ АКР и ∆ КМВ и прямоугольник РКМС. КР = МС = 6 < ВКМ = < КАР = 60° АВ = АК + КВ = КР/sin60° + BM/tg60° = 6*2/√3 + 3/√3 = 5√3. Из ∆ АВМ по т. Пифагора находим АМ² = АВ² + ВМ² = (5√3)² + 3² = 84 АМ = √84 = 2√21

[@GeometriaValeriyKazakov]

Не страшно. Отлично. коммент можно править

[@sv6183]

@@GeometriaValeriyKazakov Дело в том, что он, почему то, так и не был напечатан в "коментах"

[@pojuellavid]

Продолжил перпендикуляры до пересечения с вторыми сторонами угла А. И работал вторым авторским способом, только через другой треугольник. Фактически я искал медиану треугольника с углами 30;60;90 на больший катет.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@TUHAN23]

Добрый вечер! Как видно угол СМВ=120, тогда СМ продолжаем до пересечения с АВ, получаем прямоугольный треугольник АСД, где угол Д=30, тк. угол А=60, следовательно ДМ=6, т.к. сторона ВМ=3 и она напротив 30 граусов, далее, СД=12 и чрез тангенс известного угла А=60 находим катет АС=12/на крень из 3, далее, по теореме Пифагора находим из треугольника АМС, АМ= корень из 74, а это 8,6-приблизительно 9

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибою Попробуйте решить для произвольного альфа.

[@user-yw6nd4rq3i]

Способ, навеянный аналитической геометрией. Сначала хотел честно перейти в другую систему координат, не ортонормированную, но оказалось можно проще: Проведем через точку M две прямые, параллельные AB и AC соответственно. Получится параллелограмм, у которого стороны можно выразить через отрезки BM, BC и угол A (в данном случае они будут равны 2sqrt(3) и 4sqrt(3)). Теперь осталось посчитать диагональ параллелограмма (да, как раз по теореме косинусов). Получится sqrt(12+48-2*3*8*(-0.5)) = sqrt(84).

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@adept7474]

Извините, ничего секретного не обнаружил. После построения чертежа решение становится наглядным и очевидным: т. М - на пересечении прямых, // сторонам угла на заданных от них расстояниях. МК // АВ, МЕ // АС. МЕ = АК = 3/(√3/2) = 2√3. КС = 6/√3 = 2√3. АМ² = 6² + [(2√3) + (2√3)]² = 84. АМ = 2√21. Почитал комменты. Странно, но такого решения не нашёл.

[@GeometriaValeriyKazakov]

А если sinA=0,7?

[@alexkadolko117]

Ход решения правильный, но в описании ошибки с цифрами. ТщательнЕй работать надо.

[@adept7474]

Я стараюсь решать проблемы по мере их поступления. Способ решения выбираю (по возможности) исходя из заданных параметров от простого к сложному. В данном случае "красивый" угол намекает на простой способ.@@GeometriaValeriyKazakov

[@adept7474]

Укажите конкретно - исправлю, буду признателен.@@alexkadolko117

[@dmitry-ie3vd4ll2z]

В таких задачах прямоугольные треугольники "делают свое дело":

[@GeometriaValeriyKazakov]

Вот это то, что нужно. Спасибо.

[@viktorviktor5820]

Отлично! Оба способа хороши! Сам решил другим способом. Провел биссектрису угла А, она пересекла ВК в некоторой точке Р. Там рассматривал треугольники... Долго и муторно но ответ тот же.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-jv6ky6om5i]

Пусть /_АМС =Ф, тогда /_МАС = 60°- Ф 3/sinФ = 6/sin(60-Ф), откуда по формуле синуса суммы получим уравнение, а разделив его cosФ получим tgФ = \/3 / 5, т.е АВ = 5\/3. Далее по т. Пифагора АМ = \/84. Извините, программа моего планшета не даёт всех желаемых символов.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-ow9qk6pk1i]

Также решала

[@user-ig8de5jf6h]

х=2у Из центра х поведем отрезки в прямые углы Получится тре-к у у √3у 3у²=9+36-2*3*6*cos120 у²=21 у=√21 х=2√21

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@anaapridonidze7651]

Красота

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо!

[@mikhaillebedev1790]

3/x = sin(a); 6/x = sin(60-a) отсюда 2sin(a) = sin(60-a) находим a потом x

[@Andrej_rybak]

Благодарю. Ура,я тоже решил 2м способом.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Вот это да!

[@petropetrovich636]

крутоо аплодирую

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо!

[@umid_yuldashev]

Здравствуйте.....у меня ест несколько интересных задачи ...как вам этих задачи отправлю...дайте нам ссылку ваш телеграм.... Спасибо.....

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Пока не завел канал телеграмм.

[@-wx-78-]

sin∠MAC = CM/AM = 6/AM = 2·3/AM = 2·BM/AM = 2·sin∠MAB. ∠MAB+∠MAC = ∠BAC = 60° ⇒ ∠MAB = 60°−∠MAC. Для краткости пусть φ = ∠MAC. sin φ = 2·sin(60°−φ) = 2(sin 60°·cos φ−cos 60°·sin φ) = √3·cos φ−sin φ ⇒ √3·cos φ−2·sin φ = 0, делим на √[(√3)²+2²] = √7 ⇒ √3⁄7·cos φ−√4⁄7·sin φ = 0. Пусть γ∈(0; 90°) и sin γ = √3⁄7, тогда cos γ = √4⁄7 и √3⁄7·cos φ−√4⁄7·sin φ = sin γ·cos φ−cos γ·sin φ = sin(γ−φ) = 0, оба угла в первой четверти ⇒ φ = γ, sin φ = sin γ = √3⁄7, AM = MC/sin φ = 6/√3⁄7 = 2√21. На автомате написал π/2 вместо 90° - поправил. 😉

[@user-oc2yy9oz2j]

можно без гамма.√3·cos φ−2·sin φ = 0. Легко догадаться чему равно тангенс фи. А зная тангенс не трудно найти синус.

[@user-jv6ky6om5i]

Дала такое же решение.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Мо-ло-дец!@@user-jv6ky6om5i

[@-wx-78-]

@@user-oc2yy9oz2j Верно, формулу дополнительного угла применил на автомате. Как вариант можно из тангенса найти не синус а второй катет и применить теорему Пифагора (хотя это почти то же самое).

[@yuriivanov4317]

Sin а = 3/х sin (60-a)= 6/x далее раскрываем с помощью тригонометрических функций и подставляем вместо Sin а => 3/х, а в место cos a => √1-9/x^2

[@observeroutside1087]

Практически также если продлить катет 6 см …. Тоже с замиранием ответ корень из 84……..

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@smirnov-49]

Ничего не имею против синуса, но его пишут с маленькой буквы а Пифагора всё же с заглавной буквы 😊

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@mikezilberbrand1663]

А через синус 60 = синусу суммы не проще было бы?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, можно и так. Ресь идет о классическом прямом применении двух теорем 9 класс. К сож. синус суммы - 10 класс. Но отлично

[@levskomorovsky1762]

Валерий, добрый день! Создается впечатление, что Вы специально выбираете самое сложное решение. Почему? Чтобы показать наиболее широкий ассортимент математических приемов? Если опустить перпендикуляр BH из точки B на AC, то из подобия треугольников MКC и BКH: BH = 7.5. Угол ABH = 30град. и АH = х = 1/2 AB. (2х)^2 + х^2 =7,5^2. х = 2.5 √3, AB = 5√3, АМ^2 = (5√3)^2 + 3^2 = 84. АМ = 2√21.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Это абсолютно не так. Я показал классическое для проивзольного угла arcsina решение на сочетание теорем синусов и косинусов. Затем я показал упрощенный способ для частного случая 30 гр. Ваш способ - это аналог, но усложенный. И вообще, цели у нас разные. Я тренер. Зачем мне кому демонтрировать как я классно решаю задачи (хотя вообще-то в 300 роликах из 600 я это делаю)? Мне важно, чтобы решали зрители. Тогда : а) у них не будет комплекса неудачника; б) у меня будут комменты. Больше не задавайте этот вопрос.

[@user-kg5ow9pg2r]

Превосоходно!!! Вы на месте решаете или готовитесь??? 😊

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Задачу рисую и записываю решение. Все. Задачи я знаю или составляю, я ж бывший олимпиадный тренер.

[@user-mu6ez5je9p]

Не смог осилить во втором способе, как так легко и непринужденно в уме нашли АВ...ведь мы не знаем АК

[@GeometriaValeriyKazakov]

Это решение прямоугольного тр-ка ABK, где BK =15, угол K = 30. За это даже троечку не ставят в школе (AB/BK = tg30=\/3/3, AB= BK\/3/3=15\/3/3=15\/3, хотя это хорошо известно: нужно длинный катет разделить на \/3. Или х и 2х. Но это задачка для отличников (очень сильных) и нет нужды расписывать мелкие детали. Но если хотите стать лучше - это круто. Удачи.

[@sacredabdulla5698]

второй способ коварный))

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен.

[@ianovich_eduard]

Какой "секретный способ" ?! Какие "избранные" это знают?! Это стандартное решение!

[@user-om1kx8uy4l]

Второй способ красивее

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, но он не универсален.

[@user-fz7cf3xh5f]

Это не то что должны знать вообще . Этим занимаются в что , где и когда на конкурсе дебилов . Людям надо практические задачи , которые применяются на практике . С какой точки начинают создать фигуру и на этой основе произвести программироваться .Поэтому у нас студенты когда приходят на практику не понимают суть работы .

[@alexkadolko117]

продолжим ВМ до пересечения с продолжение АС (точка D). угол ВDА= 30 отсюда МД=12, ВД=15, АВ= ВД tg30=5х(3^1/3). Отсюда АМ^2=ВМ^2+AB^2. АМ^2=25х3+9=84. АМ=2х(21^1/2 )

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@sv6183]

Из точки М проводим влево горизонталь МК (К - точка пересечения с АВ) Из точки К проводим вертикаль до пересчения с АС в точке Р. Треугольник АВМ прямоугольныЙ с искомой гипотенузой АМ и катетами ВМ = 3, АВ = АК + КВ. В ∆ АКР: КР = МС = 6,