ОЛИМПИАДА ПЕТЕРБУРГА. "Бандитская" задача. (авторский контент)

[@sergeylopanov1829]

Из формулы Герона как раз и вытекает, что S=pr, 4r^2=(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\(a+b+c), MK^2=(3+x)-9, из подобия треугольников AKM и OTM 3 =MC\x, MC=3x , MC^2=9x^2 ^2, x=6r^2\(9-r^2), AB=a=5, BC=b=4+6r^2\(9-r^2), AC=c=5+6r^2\(9-r^2), подставляем всё это дело в формулу определения радиуса, получаем [24(4+12r^2\(9-r^2)]\[(14+12r^2\(9-r^2)]=4r^2, (216+48r^2)\(126-2r^2)=r^2, обозначим r^2=t, получим уравнение t^2-39t+108=0, t1=36, t2=3, подходит второй корень t=3, r^2=t=3, r=√3

[@constantinfedorov2307]

Я использовал свойство перпендикуляра к отрезку. Все обозначения я взял из ролика, буквой H я обозначил основание высоты из C на AB, то есть CH ⊥ AB. Далее, для прозрачности дальнейших действий я обозначу CT = CP = y (приходится, сам я обозначал это буквой x, но в ролике x = TM, то есть x = y - 2). Малыми буквами я стандартно обозначаю стороны AC = b = y + 3, BC = a = y + 2; а их проекции на AB я обозначил AH = d; BH = e; с буковками все, дальше решение. Итак, AC² - BC² = AH² - BH²; (очень полезное свойство, но если кто не знает, это следует из AC² - AH² = BC² - BH² = CH²;) b² - a² = d² - e²; => (b + a)(b - a) = (d + e)(d - e); => 2y/5 + 1 = d - e; => d = 3 + y/5; (я на всякий напомню, b - a = 1; d + e = 5; я тут немного сэкономил, не стал объяснять, как найти d, если известна разность d - e и сумма d + e, сам я это проделал в уме, то есть просто сложил и поделил пополам, ну значит, каждый сможет); => (y + 3)/(3 + y/5) = (y + 3 - 2)/3; (конечно, можно было просто написать y + 1, но, я проверил, это вызывает непонимание). Это просто следует из подобия треугольников ACH и AMK. После элементарных преобразований получается простенькое квадратное уравнение y²+ y - 30 = 0; или (y + 6)(y - 5) = 0; y = 5; Дальше все элементарно, так как угол BAC получился 60°. В качестве неудачной шутки. Гроссмейстеры в таких случаях сдаются, но преподаватели - никогда, они играют до мата на доске, и всегда норовят аннулировать решение, если не все ходы записаны, не забывайте об этом! :) Я далеко не гроссмейстер, но и преподавателей давно перерос, могу себе позволить, а вот вам, молодежь, это пока - ну никак... :) ЗЫ. Набрал, посмотрел, и понял, что сам себе усложнил технику решения, не сильно, но - судите сами. d - 3 = y/5; и это KH - проекция отрезка TM = 2 на AB, => 2/(y/5) = (y + 1)/3; 30 = y(y+1); то же самое квадратное уравнение, но само собой и абсолютно прозрачно. Да и решение y = 5 в такой записи сразу видно. Кроме того, KH = y/5 = 1; откуда cos(A) = KH/TM = 1/2; все как-то само считается.

[@OlyOrly]

Наверное, вторую часть задачи после нахождения x проще было бы решить, опустив перпендикуляр OT. Тогда даже самому неискушенному в геометрии стало бы понятно, что можно сразу найти радиус = ОT, составив легчайшую пропорцию подобия перпендикулярных треугольников OTM и АКМ и предварительно, вычислив длину КМ по теореме Пифагора. Но для поклонников теоремы Герона лучше, конечно, пользоваться сложными формулами.

[@Veselin-zx2gz]

Spasibo vam za vash trud,prijatno,interesno i polezno

[@GeometriaValeriyKazakov]

mi vmeste vse delaem! I vam spasibo!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Але, народ, а где лайки?

[@IvanQRT]

Скорее всего сидят решают. Задача так-то не самая простая, но интересная. До меня вот не дошло, как решать.

[@pojuellavid]

Решают и пока не смотрят

[@arxippp-lb2tv]

Смотрю, решаю, конспектирую, лайки ставлю

[@BIGLEO496]

Простите, исправим

[@koykov.s]

А где площадь?

[@reforma715]

Отличная задача!

[@TomasJknOnYT]

Разломал через суму тангенсов централных углов. Если a + b + c = 180 то tg(a+b) = -tg(c). a = AOK; tg(a) = r/3; b = BOK; tg(b) = r/2; c1 = MOT = 180 - 2a; tg(c1) = - tg(2a); c2 = COT = 180 - a - b; tg(c2) = - tg(a + b); tg(c2) = tg(c1) + 2/r = - tg(2a) + 2/r; Из двух последних 5r/(6 - r^2) = 6r/(9 - r^2) - 2/r r^4 - 39 r^2 + 108 = 0 r^2 = 3

[@TomasJknOnYT]

Грррр.... +2/r в третьей с низу строке.

[@TomasJknOnYT]

tg(a) = 3/r; tg(b) = 2/r; :(

[@valerya1600]

Сделала много сложных вычислений, вычитаний,умножкний и в итоге результат красота, хорошо хоть не забыла с чего начала

[@ВячеславФоминых-р3г]

Здрасьте.Мой лайк 171😂

[@GeometriaValeriyKazakov]

[@stvcia]

Отрезок x=3 находил точно так же, из теоремы косинусов. Но мне почему-то сразу, как только взглянул на рисунок, захотелось использовать его в теореме о секущей и касательной: √27(√27-2r)=3^2, r=√3.

[@alfal4239]

x + 2 = R*tg(A/2 + B/2) =R*(R/3 + R/2)/(1 - R/3*R/2) = 5R^2/(6 - R^2) (из ∆OTC) 3^2/[(3+x)^2 - 3^2] = R^2/x^2 - т.к. ∆AKM и ∆OTM подобны Т.е. два уравнения: x + 2 = 5R^2/(6 - R^2) и 9/(6 + x) = R^2/x Можно сразу R^2 находить из R^4 - 39*R^2 + 108 = 0

[@ЕленаПотапова-в8щ]

Там же просто квадратик. А теорема Фалеса?

[@ДаниелБодичев]

Очен очен спасиба. Я из Болгарии извините за мой болгарорускии..Сейчас усльишате мойо задание. Толка с три единакавьие цифри и всью матеметику каторьие знаете включая и операция синус нада получится равенства 24. Найдите поне три ответа... Надеюс вьи поняли меня и я жду атвет за ета спасиба в авансе...Пака..

[@GeometriaValeriyKazakov]

Поняли, спасибо! Болгары - наши братья! Сонцев Бряг!

[@ДаниелБодичев]

отве...дарагой...

[@ДаниелБодичев]

син 4 - син4 + 4! равно 24 найди ищо мин. три ответа...

[@Serg63ryba]

Почему ,бандитская, змдача как залача даже нет никакого подвоха.....

[@GeometriaValeriyKazakov]

Жесткая. Если бы вы получили ее на олимпиаде текстом, то тут 50 на 50 было бы (Там в условии было бы сказано "лежат на одной прямой" и это вас сбило бы. Для 9 кл - уровен "город" - жесткая.

[@pojuellavid]

Курсант Вест-Пойнта из анекдота решил бы сразу: Угол АОВ прямой, а радиус =√6. Шутка.

[@ЕленаПотапова-в8щ]

R=2

[@ДмитрийИвашкевич-я8т]

Как вариант. Пусть РС=х, тогда окружность будет вписана в треугольник со сторонами 5; (х+2); (х+3); р=х+5. Та же окружность вписана в треугольник со сторонами 6; (х+1); (х+1); р=х+4 Используем формулу Герона и S=pr. r=3√((x-2)/(x+4))=√(6x/(x+5)) x=5; r=√3

[@SB-7423]

Что-то не могу понять, откуда взялась вторая окружность? Как Вы её получили?

[@ДмитрийИвашкевич-я8т]

​@@SB-7423Окружность та же, треугольник другой АА'М, ( удвоенный до равнобедренного АКМ)

[@adept7474]

Наконец-то достойная (за последнюю неделю) задача, есть , над чем подумать. Вирусный тр-к (5-7-8) решил как Вы, а далее тупо: S(Героном)/p. R = √3. Задача понравилась, заслуженный 👍.

[@adept7474]

Можно упростить конечное ур-е, если сразу заметить, что неизвестные стороны различаются на 1 и обозначить их х и (х+1): х² - 3х - 28 = 0, х = 7.

[@SB-7423]

Вторая точка пересечения с окружностью- Е. ЕМ = у. Система: *x²=y∙(y+2∙r), x∙r=3∙y, √(6x+x^2)∙5∙(x+5)/(6+2∙x)=(x+7)∙r.* Первое-касательная и секущая, второе - подобие, третье уравнение - площади по разным формулам. *Система крайне легко решается и приводится к квадратному уравнению:* *x² + 5∙x - 24 = 0 ⟹ x = 3. Из второго уравнения: r = y, а из первого: r = √3.* *Задача отличная, большой лайк!*

[@Veritenyo]

Бред

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен. И все зрители выше - тоже бредят!!