ЗАДАЧА ИЗ ГАРВАРДА! Лига плюща - это серъезно.

ABC - прям. тр-к, BC=2, AM=MB, O - центр вписанной окр. угол MOB=90. Найти S(ABC).

[@GeometriaValeriyKazakov]

Задача лиги плюща: kzbin.info/www/bejne/l5WyoYetl62ojMksi=pTgijFv5ia8pr4rB

[@AlexeyEvpalov]

Для решения задачи использовано много геометрических свойств. Спасибо за хорошее объяснение.

[@АлександерЧеркасов-я9д]

Красивая задача, красивое решение и очень хороший познавательный канал! Автору и ведущему спасибо за отличную работу!

[@vkr122]

Х- точка касания окружности и АВ, ОХ высота в треугольнике МОВ, ВХ=2-R МХ=х=R*R/(2-R), АВ=(2-R+x)*2, АС=2-R+2x+R=2+2x , дальше теорема Пифагора 2*2+(2+2х)(2+2х)=(2-R+x)*(2-R+x)*4, перемножаем и подставляем х=R*R/(2-R) получяем кубическое уравнение R*R*R-8/3R*R+10/3R-4/3=0 и среди делителей 4/3 находим подходящий корень R=2/3.

[@АндрейБерзенин]

Логичнее и проще

[@vkr122]

@@АндрейБерзенинСпасибо! :)

[@adept7474]

Красивая задача. Наглядная демонстрация одного из "чудес" древнего Египта: если биссектриса большего острого угла прямоугольного тр-ка отсекает прямоугольный тр-к с отношением катетов 1:2, то вы - в Египте.

[@АлександрСпирин-п1к]

Замечательная задача! Спасибо

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо!

[@Snuryus]

OB^2 = MB^2 - OM^2 (теорема Пифагора) OM^2 = MB^2 - 2r * MB (формула Эйлера, OM - расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей) Подставив - OB^2 = 2r * MB или OB^2/MB = 2r OB/MB = (2-r)/OB (подобие треугольников) => OB^2/MB = 2-r Отсюда 2r = 2 - r, r = 2/3 Ну, а дальше уже как угодно. Можно просто по теореме Пифагора, а можно через подобие треугольников, зная что катеты относятся 1/2 Один из вариантов - расстояние от B до точки касания - 4/3, от точки касания до M - 1/3. Тогда МB=5/3, а АB=10/3. Треугольник ABC неожиданно оказался египетским, со сторонами 6/3, 8/3 и 10/3 А его площадь - 6*8/(2*3*3) = 8/3

[@ДмитрийИвашкевич-я8т]

пусть R радиус вписанной окружности, b- половина угла АВС (его обозначим В), тогда BO=R/sinb MB=BO/cosb=R/(sinb*cosb)=2R/sin(2b) получаем: AB=2*MB=4R/sinB но АС=АВ*sinB=4R, значит tg(A/2)=1/3 используя формулу для тангенса двойного угла, получим tgA=3/4 AC=2/tgA=8/3 Получили египетский треугольник (с коэффициентом), с площадью S=8/3

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@Валерия-ы8х5р]

Оформление норм. Колористика помогает.

[@ФерузаИсаева-у9э]

Можно из МВС выразить тангенс бета, а из него - тангенс двойного угла В, из чего найти АС, и, следственно, площадь через полупроизведение катетов

[@Григоров_Алексей]

Красиво!

[@donmiguel37]

Можно несколько сократить число вычислений. если заметить , что радиус вписанной окружности равен 1/4 основания АС. Действительно, продолжив МО до пересечения с ВС получим ОL= ОМ, опустив перпендикуляры из точек М и О на основание АС, получим отношения длин отрезков на АС: 2 : 1 : 1. Имея прямоугольный треугольник со сторонами АС = у+1, АВ = 2у, ВС = 2 , находим радиус вписанной окружности (3 - у) / 2 по формуле полуразности суммы катетов и гипотенузы. Решая уравнение (3 - у)/ 2 = (у + 1)/ 4, находим у = 5/3. Площадь данного треугольника равна у + 1, т.е. 8/3

[@ВерцинГеториг-ч5ь]

Проведя биссектрису ВF , из тр-ков ВМО и ВFС видно , что углы АМО и АFО равны у тр-ков АOFи АOF , к тому же общая сторона АО , следовательно эти тр-ки подобны и равны . АF=АМ=ВМ=Х . Из свойства биссектрисы : АВ/ВС=АF/FС , FС= (Х х 2)/2Х =1 . И сразу по Пифагору из тр-ка АВС - 2*2=(2Х)*2-(Х+1)*2 . Так и не понял зачем были все дополнительные построения , разве в учебных целях ?

[@think_logically_]

@donmiguel37 Откровенно говоря не понял, почему AC=y+1. Но идея шикарная, тогда почему бы ей не воспользоваться ?! Пусть K - точка касания окружности катета AC. Тогда KC = r и, как следует из Ваших рассуждений, AC = 4*KC = 4r. Находим гипотенузу AB = AC+BC-2r = 2r+2 = 2(r+1) и применяем теорему Пифагора к треугольнику ABC: 4(r+1)² = 16r² + 4. Сокращаем на 4, раскрываем скобки, упрощаем и полуаем простенькое уравнение, откуда находим, что r=2/3. Тогда AC = 4r = 8/3 и площадь △ABC равна тому же.

[@think_logically_]

@@ВерцинГеториг-ч5ь Хитрое решение, только использовать углы AMO и AFO для равенства треугольников AOF и AOM не вполне коррректно, т.к. они не примыкают к общей стороне. Поэтому позволю себе чуть подправить решение/ Угол AOF равен 45°, как внешний угол △AOB, а угол АОМ также равен 45°, как дополняющий угол AOF до прямого. Теперь можно без оглядки утверждать равенство треугольников AOF и AOМ.

[@think_logically_]

@@ВерцинГеториг-ч5ь Круто! Однако использовать равенство углов АМО и АFО для доказательства равенства треугольников AOF и AOM не вполне корректно, т.к. эти углы не прилегают к общей стороне. Поэтому позволю себе чуть подправить решение. ∠AOF=45°, как внешний угол △AOB. Тогда ∠AOM также равен 45°, поскольку дополняет ∠AOF до прямого угла MOF. Вот теперь, учитывая также равенство углов OAF и ОАМ, можно без оглядки утверждать равенство треугольников AOF и AOM.

[@donmiguel37]

Получилось отличное решение!@@think_logically_

[@irika6753]

Очень красивое решение - сразу показывает большое знание предмета.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Знаем, знаем!

[@irika6753]

@@GeometriaValeriyKazakov Ой! я не вас имел ввиду - с вами то всё понятно. Я имел ввиду, что для учащегося школы это задание как тест на глубокое знание геометрии.

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@irika6753 Нет, но я тоже кое-что знаю.

[@papa54-y2l]

Снова зашифрованный "египетский" треугольник, для которого (3*r)^2 + (4*r)^2 = (5*r)^2, здесь радиус вписанной окружности r = 2/3, величину которого можно рассчитать различными способами, например, опустить перпендикуляры из О на все три стороны и т.д. с выходом на соотношение r/(2-r) =1/2.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Только вы решаете обратную задачу: "Дан египетский. Доказать, что /MOB=90". А у нас задача: "Дан /MOB=90. Доказать, что египетский"

[@papa54-y2l]

Конечно. Если /_MOB=90, то треугольник египетский или, если /_MOB=90, то r = a/3 и а - наименьший катет египетского треугольника. @@GeometriaValeriyKazakov

[@ДенисН-щ7м]

Здравствуйте, Валерий! Выражаю вам благодарность от всего 8 В класса 146 гимназии за задачу №334 и площадь треугольника в ней… S ekc

[@GeometriaValeriyKazakov]

Привет всему 8 В!

[@RescueMe-o7j]

Если провести касательную из точки М, она будет перпендикулярна АС

[@RescueMe-o7j]

Так как там будет a+b=90, значит 2a+2b=180, ещё угол 90, оставшийся тоже 90

[@Dmitriy-A]

Сначала, как у Вас, только прямоугольный равнобедренный рисовал(точнее поворачивал АМО вокруг M на 180) к т.B с теми же выводами(OM=1/2(OB), а FC=1). Далее продолжая MO до т. M1 на BC имеем два равных треугольника OMB и OM1B. OM=OM1. От т. O перпендикуляр на BC до M2 - радиус. Из подобия получившегося треугольника OM2B треугольнику OMB и того, что два радиуса к точкам касания катетов образуют между собой прямой угол, следует, что на BC откладывается 3 радиуса. ==> R=BC/3=2/3. Из подобия треугольников OM1M2 и OM1B и теоремы Пифагора следует, что OM1= sqr(5)/3. S(omb) = (1/2)*OM*OB=(1/2)*2*(sqr(5)/3)^2=5/9. Треугольники OMB, OMA и OAF равновеликие, значит S(afb)=3*(5/9) = 15/9=5/3. S(abc)= S(afb)+S(fbc)=5/3+1=8/3

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@Gr-or7qg]

2 балла за оформление.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо за высокую оценку красоты задачи и оригинальности решения.

[@АнатолийВикторов-х9л]

Дополнительное построение: ОК⊥ВС; ОР⊥АВ; ОН⊥АС; ОК=ОР=ОН=R. OH=CK=R, как противоположные стороны квадрата СКОН. ВК=ВС-СК; ВК=2-R; BK=BP(отрезки касательных из одной точки В к окружности); ВР=2-R. B ⊿BMO, OP-высота; ОР²=ВР*МР; R²=MP*(2-R); MP=R²/(2-R); BM=BP+MP; BM=(2-R)+R²/(2-R); BM=((2-R)²+R²)/(2-R); AB=2*BM; AB=2*((2-R)²+R²)/(2-R). BO-биссектриса ∠В; ∠АВО=∠СВО=𝜶; B ⊿BKO, tg𝜶=KO/BK; tg𝜶=R/(2-R); tg∠B=tg2𝜶=2tg𝜶/(1-tg²𝜶); tg∠B=(2R/(2-R))/(1-R²/(2-R)²); tg∠B=R(2-R)/(2-2R). BO=√(KO²+BK²); BO=√(R²+(2-R)²); cos𝜶=BK/BO; cos𝜶=(2-R)/√(R²+(2-R)²); cos∠B=cos2𝜶=2cos²𝜶-1; cos∠B=2*(2-R)²/(R²+(2-R)²)-1=((2-R)²-R²)/(R²+(2-R)²); B ⊿ABC, AB=BC/cos∠B; AB=2/(((2-R)²-R²)/(R²+(2-R)²)); AB=2*((2-R)²+R²)/((2-R)²-R²); 2*((2-R)²+R²)/((2-R)²-R²)=2*((2-R)²+R²)/(2-R); 1/((2-R)²-R²)-1/(2-R); 2-R=(2-R)²-R²; 2-R=4-4R; R=2/3. tg∠B=((2/3)*(2-(2/3))/(2-2*(2/3))=4/3; tg∠B=4/3. AC=BC*tg∠B; AC=2*(4/3)=8/3; AC=8/3. S(ABC)=(1/2)*AC*BC; (1/2)*(8/3)*2=8/3; S(ABC)=8/3. Ответ: S=8/3.