ЗАДАЧА ИЗ ГАРВАРДА. Учись, студент!

В окружности проведены два пер-ных радиуса и вписан прямоугольник. Отрезки радиусов равны 1 и 2, Найти а) площадь пр-ка; б) наибольшую площадь такого пр-ка ABCD (с вершиной в центре окружности, вписанного в прямоугольный сектор) при заданном R.

[@Snuryus]

Второй вопрос доказывал чуть по другому. Провел вторую диагональ в прямоугольнике. Обе его диагонали при любых трансформациях будут R. А площадь можно найти как половина произведения диагоналей на синус угла между ними. Тогда можно сказать, что площадь прямоугольника зависит только от синуса угла между его диагоналями. Ну а максимальное значение синуса - это единица, при угле в 90 градусов, когда прямоугольник является квадратом.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, так отлично.

[@valeraag5634]

Валерий, кроме алгебраического и геометрического, есть ещё тригонометрическое решение Smax. Пусть

[@AlexeyEvpalov]

Вторая часть. Площадь прямоугольника S=ab, высота a=Rsint, основание b=Rcost, где 0

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@sergeykitov2760]

Тут не надо брать производную, sin(t)cos(t) = sin(2t)/2, соответственно максимум достигается, когда 2t = pi/2.

[@galinaberlinova3896]

Решила методом координат. Центр окружности (0;0), уравнение окружности x^2+y^2=r^2. Отсюда, если одна сторона x, то вторая корень из r^2-x^2. Дальше умножаем, находим производную, приравниваем нулю и получаем r^2/2. Алгебраическое решение. Спасибо за задачу!

[@Студент3-ж4б]

\\ / В Кембридже после туалета руки моют. А в Гарварде на руки не попадают. / В вине истина, в воде здоровье, в простоте красота. Важен стиль! Ну не лезет сюда алгебра, производные, ... Это же очевидно, господа профессора из Гарварда. На рисунке вижу нарисованный sin(2а). А где нарисовать cos(2a)? \\

[@Электронная_логика]

Зачем для второго вопроса уравнение 4 степени? Задача сводится к тому, что бы найти максимальную площадь прямоугольника с заданным полупериметром (суммой двух соседних сторон), который у нас равен R. Одну сторону назовём Х, тогда вторая будет R-X. S=X(R-X), ==> S= -X^2+RX, а дальше уже исследуем график и видим, что это перевёрнутая парабола, смещённая по оси Х на величину R/2. Отсюда получаем наибольшую площадь при Х=R/2. Раз первая сторона равна R/2, то вторая равна R-R/2, то есть тоже R/2, следовательно прямоугольник с наибольшей площадью будет квадратом.

[@santashmyakus8516]

С чего бы полупериметру равняться R? Не всегда. Например, точка (R/2; sqrt(3)R/2).

[@santashmyakus8516]

Тригонометрический способ Smax: 2S=2cos(x)sin(x)*R^2 |x от 0 до pi/2|=sin(2x)*R^2

[@kislyak_andrei0]

сразу подумал о методе, который уже описали в комментариях прямоугольник - это четырехугольник, и мы знаем в нем диагонали а значит мы знаем площадь этого прямоугольника, и равна она 1\2 *R*R*sina sina=

[@alexnikola7520]

гениально

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, это для старших классов. Хотя 9 кл в принципе знает, что от 0 до 180 синус не больше 1. Но соображают еще слабо.

[@kislyak_andrei0]

@@GeometriaValeriyKazakov ну в многих школах об тригонометрическом полукруге расказывают мне в школе, например

[@pojuellavid]

Уже давно наибольшесть площади для круга и правильного многоугольника объявить "очевидной" и "общеизвестной". А то так можно дойти до доказательства равенства треугольников в решении каждой задачи. Как в роликах мат индийца на Ютубе, где он в каждой задаче объясняет формулу корней кв. уравнения.

[@GeometriaValeriyKazakov]

У нас не правильный, а прямоугольник.

[@pojuellavid]

@@GeometriaValeriyKazakov но в итоге мы же пришли к квадрату! 3:40

[@chelovek25357]

Спасибо очень интересно

[@GeometriaValeriyKazakov]

[@santashmyakus8516]

Геометрически можно найти Smax по другому: Пусть есть т. (х;у) на окружности в первой четверти. Тогда S=x*y. Через неё можно построить секущую x+y=C. Взяв второй точкой(y;x), например. Для точек на секущей x+y=C в 1 четверти S максимальна для квадрата ((x+y)/2;(x+y)/2), т.к. при равном периметре у прямоугольников наибольшая площадь у квадрата. Все правые верхние вершины квадратов, соответствующие всем точкам дуги из 1 четверти, лежат на y=x. Максимальная площадь среди которых при у=х на окружности. Т.о. точка (sqrt(2)R/2; sqrt(2)R/2) задаёт максимальную площадь. S=(sqrt(2)R/2)*(sqrt(2)R/2)=R^2/2=12,5. Ответ: S=12,5 P.S. Док-во, что среди прямоугольников с равным периметром площадь квадрата максимальна: S=х*у=x(с-х) - максимум при x=C/2, т.е. у=С/2. Ч.т.д.. Док-во: Найдём а, что а(с-а)-x(с-х)>=0. Тогда при х=а S=х*у=x(с-х) максимальна. Раскрыв скобки, перегруппировав, получим (х-а)(х+а-с)>=0 Это верно при -а=а-с, т.е. а=с/2. Итак, при х=у=с/2, где с=х+у, S=x*y максимальна. Ч.т.д..

[@papa54-y2l]

Пусть x и y стороны прямоугольника, полупериметр p = x + y, S(x) =x*(p-x), dS(x)/dx = p-2x = 0; x=p/2 = y, т.е. квадрат.

[@papa54-y2l]

при равных площадях периметр прямоугольника больше, чем у квадрата: пусть x сторона квадрата, Sкв = x^2, пусть стороны прямоугольника a и b, Sпр = ab= x^2, полупериметр квадрата Pкв = 2x = 2 sqrt(ab), полупериметр Pпр =а+b, известно, что (a+b)/2>_sqrt(ab), т.е. (a+b)>_2sqrt(ab), пример: площадь квадрата 4 , периметр 8, прямоугольник с площадью 4 и сторонами 1 и 4 имеет периметр 2*(1+4) = 10.

[@user-Alexander-1950-Ufa]

А не лучше ли применить тригонометрию, для поиска max? Ведь 10-й класс?.. x = R*cos(Fi), y = R*sin(Fi); S(Fi) = R^2 * sin(Fi) * cos(Fi) = (1/2) * R^2 * sin(2*Fi). Max(S(Fi)) достигается при sin(2*Fi) = 1, (2*Fi) = Pi/2, Fi = (Pi/2) / 2, т.е. когда x=y Другой способ В точке экстремума, функция S(Fi) - "зависнет", прирост угла - не будет вызывать изменения S(Fi). Работаем в (++) квадранте полного угла. Прирост угла (delta(Fi)) вызовет приросты координат: delta(x) и delta(y), они будут отличатся один от другого - при всех углах (Fi), кроме Fi=45. (Прирост площади на "крыше" прямоугольника) = x*delta(y) - сопроводится убылью на его правой стене = y* delta(x), и меньший прирост delta(y) - будет и при меньшей ширине основания, и наоборот. Полное равенство прироста и убыли площади - delta(S) = x*delta(y) - y* delta(x) = 0, будет, когда (x=y) & (delta(y) = delta(x)), это когда Fi=45

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Можно, но нельзя сказать, что лучше. Это проосто другой способ - тригонометрический. И задача для 8 класса - там нет тригонометрии. Но она - отлично.

[@alexnikola7520]

если стороны прямоуг а и в... то 1)а^2+в^2=R^2 2) а+1=в+2=R 3)a^2+2a+1=R^2 вычитаем из третьего первое 2a+1-в^2=0 из второго в^2=a^2-2a+1 получаем 2a+1-a^2+2a-1=0, то есть а=4, в=3... так навскидку) ща гляну автора

[@ketibarkava8424]

Здравствуйте , если наибольшую площадь имеет квадрат, построив радиус под 45 ° получим тр , гипотенуза R, а катет R/✓2, то пл.R^2/2

[@zawatsky]

Очевидно же, что из всех прямоугольников наибольшая площадь у квадрата, это должно легко доказываться.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Так мы легко и доказали двумя способами. Только из всех пр-ков с ПОСТОЯННОЙ ДИАГОНАЛЬЮ!

[@dmitriystankiewich516]

Да с первого взгляда видно египетский треугольник 3-4-5...

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Попробуйте решить для произвольных x и y отрезков.

[@mrLumen2]

Второй вариант можно и "4-тым классом" решить :). 1. Наибольшую площадь и наибольший периметр среди всех прямоугольников с заранее заданной диагональю имеет квадрат. 2. Из этого, если у нас есть квадрат с диагональю (R=5), то его площадь S = 0,5 * R² = 0,5 * 25 = 12,5 кв. ед.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен. Только такой теоремы (1. Наибольшую площадь и наибольший периметр среди всех прямоугольников с заранее заданной диагональю имеет квадрат) нет в учебниках, и это задача, которую решают так, как и решил.

[@papa54-y2l]

у квадрата наименьший периметр

[@Ale-d6q]

@@papa54-y2l У квадрата периметр равен 4 стороны а у прямоугольника с той же диагональю и стремящегося к нулевым противоположным сторонам равен 2 стороны умноженным на корень из двух , очевидно же у квадрата Периметр больше .

[@Ale-d6q]

@@GeometriaValeriyKazakov Квадрат вписанный в окружность имеет большую площадь и периметр , чем прямоугольник вписанный в данную окружность . Вот пожалуйста .

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@Ale-d6q А почему-й это? Кто сказал?

[@tufoed]

Можно еще с помощью теоремы о хордах уравнение составить. Что характерно, оно получится в точности такое же, причем неважно какую пару хорд выбрать. А доказывать профессорам Гарварда надо с помощью не меньше, чем уравнения Понтрягина P.S. Вообще вторая половина формулируется как "найдите площадь наибольшего квадрата вписанного в окружность" )))

[@lol_lolipopovich]

Площадь наибольшего квадрата, вписанного в окружность, вы серьёзно? Вписывается в окружность квадрат однозначно, и его площадь 2R² Пожалуйста, не путайте термины, если уж собрались кого-то поправлять

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо, друг!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Имеется ввиду наибольшего прямоугольника, вписаного подобным образом, то есть с вершинкой в центре окружности. Читайте внимательно условие задачи. Бывает.

[@tufoed]

​@@GeometriaValeriyKazakov Шутка в том, что во-первых четверть окружности можно заменить на целую (методологически останется та же задача), а во-вторых квадрат является решением.

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@tufoed Да, сразу не въехал в это решение, можно рассматривать большой пр-к, ув. в 4 раза.. Отлично, кстати

[@Goldie82.]

Валерий здравствуйте. Вот вы очень любите решать задачи и геометрические , и алгебраические , а вот такую задачу ( из спичек выложено 6+ 98=97, переложить одну спичку так , чтобы равенство было верным) сможете решить?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Конечно, решу. Яндекс такие задачи целыми днями предлагает (не генерации стоят)

[@Goldie82.]

@@GeometriaValeriyKazakov просим, просим👏

[@adept7474]

Учись, студент! А не будешь учиться - то твой диплом будет лопата и лом. Так говаривал мой любимый учитель в школе.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Золотые слова!

[@guzellavassimova1750]

Такие лёгкие задачи в Гарварде?!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да. там геометрия несложная, но доказать наименьшую площадь не так и просто. Ее в Гарварде решают произвдной от функции корень из функции 4-й степени. Это я решил так легко.

[@Григоров_Алексей]

Учусь!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отл

[@zawatsky]

Veritas - истина, по латыни. Поговорку про вино и воду знают многие, чай не бином Ньютона.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Верно. Знают те, что из СССР. Вообще-то это не поговорка, а стихи А. Блока "Незнакомка" ; "И пьяницы с глазами кроликов "In vino veritas!" кричат...".

[@zawatsky]

@@GeometriaValeriyKazakov in vina veritas, а дальше идёт продолжение, как по латыни не знаю. Полностью древнеримская поговорка звучала так: истина в вине, а здоровье в воде. Римляне неразбавленное вино не пили, считали это нецивилизованным. В математике вы подкованы, Валерий, а с историей как?🤔

[@НатальяМихайлова-ц2о]

А рядом, у соседних столиков - лакеи сонные торчат. И пьяницы, с глазами кроликов, I"In vino veritas" - кричат..

[@zawatsky]

@@НатальяМихайлова-ц2о не читал, хоть и с литературой у меня порядок. Я знаю первоисточник, из курса истории.☝😎

[@user-Alexander-1950-Ufa]

У меня в школе, когда я кружок там вёл по радиоэлектронике - целая история вышла, именно с этой частью стихов, с целой строфой. Меня за это оттуда попёрли..

[@Ostap_IbragimovicH]

А геометрически,покрасивее бы.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, но у нас много с алгебраическим мышлением.

[@user-Alexander-1950-Ufa]

А я уже показал..

[@КоонстантинКасильяс]

продлить до диаметра, тогда (R-1)^2 = 2(2R-2) -> R=5; R=1 не подходит. тогда S = (R-2)(R-1)=12

[@santashmyakus8516]

Это откуда? Что-то не пойму. Спс.: (R-1)^2 = 2(2R-2), т.е. (R-1)(R-5)=0