Задача про квадрат и параллельные прямые

[@ОльгаПогоцкая]

Спасибо, Вам,большое! Уже,давно на пенсии,а математику люблю)

[@OlegVlCh]

Красивое решение. Я решил по-другому. Забудем о квадрате и рассмотрим две пары попарно параллельных пересекающихся прямых (как рельсы на железной дороге), расстояние между которыми одинаково. При пересечении получается ромб. Теперь одну пару прямых повернем на 90 градусов, опять пересечение даст ромб. Угол, который нам нужно найти, есть угол между короткими диагоналями этих двух ромбов. Сдвинем теперь один из ромбов вдоль прямой, которую мы не поворачивали так, чтобы оба ромба соединились в одной вершине (понятно, что все углы при этом сохраняются). Тогда сразу находится угол между длинными диагоналями - 135 градусов, а угол между короткими получается 45 градусов, т.к. диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

[@Lanni8510]

Изящная задачка)

[@SergeyS0691]

Проще: Опускаем перпендикуляры из конца одного отрезка на сторону квадрата и на прямую.Получаем два равных прямоугольных треугольника с общей гипотенузой. Значит углы при ней равны. Аналогично для второго отрезка. Теперь смещаем его параллельно себе в начало первого. Угол между ними не изменится . При этом две пары равных углов сумме дают 90, а одна пара даст искомый 90:2=45. Хорошая олимпиадная задача для 7-8 кл. В общем виде, когда расстояние между прямыми не равно стороне квадрата, угол меняется в зависимости от угла поворота квадрата. Найти их зависимость - хорошая тренировочная задача для 10-11 кл. К стати, зависимость простая.

[@redksu]

красивое решение... меня всё в тригонометрию тянет... также можно решиить, доказав, что две прямые между параллельными выродятся в диагональ квадрата или биссектрису угла 90, следовательно угол 45, далее используем правила равенства углов при параллельных секущей

[@ІванФедак-й9ъ]

Гарна ідея, але, взагалі кажучи, задача не розв'язана, бо строгого доведення, що при паралельному перенесенні двох паралельних прямих кут між відрізками, які перетинаються, не змінюється (хоч це й справді так) не наведено. Зауваження для них про паралельність взято зі стелі.

[@mrgoodpeople]

А ещё точка пересечения этих двух линий всегда лежит на одной из диагоналей. Вроде как. Верно?

[@schetnikov]

Совершенно верно, в силу подобия четырёхугольников, лежащих по противоположные стороны от этой точки.

[@mrgoodpeople]

Заметил, что если так пересечь два квадрата и провести там линии чуть иначе, то они будут всегда пересекаться под 90 градусов. Причем размеры квадратов могут быть разные. Хотя это наверно более очевидно.

[@jakkima1067]

Надо повернуть квадрат так, чтобы стороны его совпали с параллельными прямыми, тогда и станет очевидным угол в 45°

[@mrgoodpeople]

А кто вам сказал, что при повороте квадрата угол между этими отрезками сохранится неизменным? О_о. Угол сохраняется точно только при параллельном переносе. Поэтому вращать нам нельзя, мы должны рассматривать любую ориентацию квадрата. А вот перемещать параллельно мы можем, это угол не изменит.

[@jakkima1067]

@@mrgoodpeople. Но в задаче нет данных об угле между прямыми и сторонами квадрата.

[@mrgoodpeople]

@@jakkima1067 верно, поэтому мы должны доказывать задачу так, чтобы этот угол был произвольным. А просто взять и повернуть квадрат нельзя, это никак не доказывает что угол сохранится. Это отдельный вопрос - доказать этот факт. В видео это становится очевидным в итоге, что от поворота это не зависит.

[@sergeypatutin6983]

Плохое объяснение, рассмотрев частный случай в вершине, не стало понятно почему всегда угол 45*

[@mrgoodpeople]

Хорошее объяснение. Потому что при параллельном переносе угол не меняется, поэтому всегда можно свести случай к тому, что на видео - когда вершина в угле. И это будет справедливо при любом наклоне квадрата, ведь у нас получаются две пары разных треугольников. И сумма двух углов (по треугольнику из каждой пары) всегда равна 45.

[@victorgorelik7383]

Slightly different proof: kzbin.info/www/bejne/n3KkZWqtiKalrLs

[@karelalex]

Согласен с товарищами, надо бы чёткое доказательство общего случая.

[@mrgoodpeople]

это и есть доказательство общего случая! Потому что при параллельном переносе угол не меняется, поэтому всегда можно свести случай к тому, что на видео - когда вершина в угле. И это будет справедливо при любом наклоне квадрата, ведь у нас получаются две пары разных треугольников. И сумма двух углов (по треугольнику из каждой пары) всегда равна 45.

[@ІванФедак-й9ъ]

@@mrgoodpeople А де Ви побачили паралельне перенесення всієї конструкції? Це лише було зроблено для двох початкових паралельних прямих. А паралельність пар інших червоних та синіх відрізків потрібно було строго обґрунтувати, що доволі нескладно зробити і чого автор не зробив, а лише констатував. Тому його розв'язання не є повним.

[@СвободныйМатематик]

Было бы не плохо доказать, что четвертинка круга касается стороны Док-во Мы сместили одну прямую прямо на угол квадрата т.к. расстояние между линниями равно стороне квадрата, значит 2 прилежащие стороны и перпендикуляр равны, ну и соответственно все три явл радиусом одной окружности

[@Darkspear1]

Как мы узнали, что четвертушка круга соединит вершины квадрата и точку пересечения ?

[@mineartes]

Стороны квадрата равны расстоянию между изначальными прямыми

[@василискмлекопитаев]

а у меня 46 градусов получается