合否を分ける整数問題⑥【私文最難関の完答問題】（2018 早稲田大商学部）

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昨年に引き続き合否を分ける整数問題シリーズです。
整数は3大解法を意識しながら思考実験することを推奨します！
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[@のぶ-x2k]

6:11 q=0のときはbが2,3,5以外にならないと直ちには言えないように思います。もっとも、計算を進めるとn=1となって条件に合わないので答えは変わりませんが、n=1を許せばa=16,b=31となって、改題の仕方によっては解になり得ると思います。

[@正村祐一]

(a+15)(a-15)=b^n bは素数より、 a+15=b^p a-15=b^q 4:47 ここで強引にaを消去しに行くよりは、 (a+15)/(a-15)=b^(p-q) (a+15)/(a-15)=1+30/(a-15) これ(30の約数+1) が素数の累乗になる場合を考える方が単純で分かりやすいのではと思いました。 該当するのは、これが2,3,4,7,16,31の時で、それぞれ a=45,30,25,20,17,16の時。 この時、a-15がこの素数の累乗となっているかを確認すると、 a=17,16の時だけ該当。 a=17 b=2 n=6 a=16 b=31 n=1 ここで、題意のn≧2より、a=17の場合のみが解。

[@ИрмүүнБ-р8ж]

整数問題は難しいとずっと恐れていますが、パスラボのおかげでいつも面白いなと思えます。

[@kamemon3798]

途中式がいらないのであれば、a^2に225より大きい平方数を一つずつあてはめていくと289で答えが出ますが、それ以外ないことを示すのに手間がかかりますね。

[@mathkaleidoscope]

既出のとおり、q=0 のときの検討が抜けています。 (a,b,n)=(16,31,1) の解を n≥2 で弾かないといけない。 典型的な論点で、記述なら減点必至ですので、要注意。

[@純愛第一主義者]

高一ももう終わりごろだけど、解説見ずに解けたの嬉しい

[@mathseeker2718]

やるやん。

[@よっしー-f8g]

とけないとまずいよ

[@papi8505]

@@よっしー-f8gホンモノきたあああああ！！！

[@よっしー-f8g]

@@papi8505 わたしはホンモノだ！！！！👻

[@mathseeker2718]

暗算で解けました。この類の求値問題は死ぬほどやったので、ご馳走様です。

[@ペリ-r3r]

(a+15)(a-15)=b^nより、a+15≧b(a-15)≧2(a-15) ⇔a≦45 また、a-15＞0⇔a＞15 ∴15＜a+15≦60 この範囲でa+15が素数の整数乗となるのはa+15=32,49のみ 𛃩式に代入すると、a=34は不適 以上より、(a,b,n)=(17,2,6) みたいな感じで解きました。エレガントな解き方ではないけれど、範囲さえ絞れば最悪解けるので、整数問題は数弱な自分にとって点の取り所になってます。

[@eco-friendly16]

1行目の式ってどうなってるん？

[@ataualpha7456]

こういうの苦手や と問題見て思ったがaが2乗だった(n乗だと思った) それはともかく、いい流れのわかりやす解説でありました

[@hekky-uts3]

Me too

[@内藤内人-e8o]

最速解法だと思います a=c+15と置く 与式⇔c²+30c=b^n ここでn≧2ならば ⇔c(c+30)=b^k・b^n-k ⇔b^n-k=b^k+30・・・① ⇔b^n-k-1=b^k-1 +15・・・・② ①②よりb=2,c=2 従って(c,b,n)=(2,2,6)∴(a,b,n)=(17,2,6)

[@正村祐一]

すみません。私がやって、②式を自力では示せなかったので、導き方を教えていただけますか?

[@内藤内人-e8o]

@ ああ、すいません①の偶奇でb=2が確定⇒両辺2で割ってb^k-1が奇数が必要なのでb^k=c=2が言える ような流れです。同値を先走って取ってますね。申し訳ない

[@きのこ-s8w]

bの素数の方を移行して解いたけどあんまりよくないのか 考え方はかなり単純になったけど (a +b^n/2)(a-b^n/2)＝3×3×5×5 a.b.nが自然数なので取りうる組み合わせは 225×1と75×3と25×9 (a +b^n/2)の方が大きいから (a +b^n/2)＝225 (a-b^n/2)＝1 (a +b^n/2)＝75 (a-b^n/2)＝3 (a +b^n/2)＝25 (a-b^n/2)＝9 をそれぞれ解けばよし

[@kuremaClaimer]

「早稲田商学部」のイメージ→「早稲田小学部」に聞こえる。「慶應義塾横浜初等部」みたいな。

[@yuu33712]

朝6時半が夜に笑

[@Toitoi-258]

いつも思うけど、こういう問題ってどうやって作っているんだろう。

[@漢字偏差値71]

答えは、間違えでしたが、組み合わせは、合っていました。 64を2の6乗と表現できることを忘れていました。 もし、条件がaが素数、bが整数、nが2以上若しくは2以下だったら、間違えなく、合っていました。 ひょっとしたら、部分点くれるかも。 早稲田大学で5点・10点部分点くれたら、本望です。