誘導なし共通テストが良問すぎた件【4項間漸化式】

[@s24031t]

記述で忘れがちですが。 階差数列でanの一般項を求めても、それはあくまでn>=2のときの式です。n=1でも成り立つことを言わなければなりません。

[@Aguri272]

それな

[@オモドウ-b4p]

線形写像D(｛a_n｝)＝｛a_(n＋1)｝を考えて特殊解を3つ見つけて，初期条件を考えればそれによって解が生成されるということを利用しても良いですね　唯一しないといけないのは写像・数列を1つの対象とみなすこと

[@漢室復興]

途中、要は解と係数の関係の係数比に帰着させれば良いので a_(n＋3)－(α＋β＋γ)a_(n＋2)＋(αβ＋βγ＋γα)a_(n＋1)－αβγa_n＝0 になるように、上手い事パズルをした結果 a_(n＋3)－(α＋β)a_(n＋2)＋αβa_(n＋1)＝γ{a_(n＋2)－(α＋β)a_(n＋1)＋αβa_n} を導き出せたので、この公式にぶち込んで解きましたね。

[@tarar1n]

An+3=4An+2－5An+1+2Anを 係数を上手く分解して An+3－An+2=3(An+2－An+1)－2(An+1－An)とできます あとはAn+1－An=bnなどと置いて隣接三項間漸化式を解く方法です。 (Anを出すには最後に階差を使う) 係数を分解する方法は旧帝などで出る漸化式にも通用すると思います

[@Xq9-h7k]

これは良問

[@みふゆもあ]

b(n)=a(n+1)-a(n)とすると b(n+2)-b(n+1)=2{b(n+1)-b(n)}, b(n+2)-2b(n+1)=b(n+1)-2b(n) であるからkとLを定数として b(n+1)-b(n)=k*2^(n-1), b(n+1)-2b(n)=L の形で表される。これらから b(n)=k*2^(n-1)-L であるので、{a(n)}の一般項については a(n)=α*2^(n-1)+βn+γ （α,β,γは定数）と表され、条件からn=1,2,3を代入して α+β+γ=1, 2α+2β+γ=-2, 4α+3β+γ=3. これらを解いてα=8,β=-11,γ=4. ∴ a(n)=8*2^(n-1)-11n+4.

[@ggggggggggg-z7v]

aₙ₊₃=4aₙ₊₂-5aₙ₊₁+2aₙ aₙ₊₃-3aₙ₊₂+2aₙ₊₁=aₙ₊₂-3aₙ₊₁+2aₙ aₙ₊₂-3aₙ₊₁+2aₙ=11 (∵a₃-3a₂+2a₁=11) aₙ₊₂-aₙ₊₁+11=2(aₙ₊₁-aₙ+11) aₙ₊₁-aₙ+11=2ⁿ⁺² (∵a₂-a₁+11=8) aₙ=1-11(n-1)+2ⁿ⁺²-8 aₙ=2ⁿ⁺²-11n+4 動画と似ていますが、このように解きました！p,q,rとかを使わずに式変形を思いつけるとスカッとします！

[@mathseeker2718]

n=４まで検算しました。たまにn=3までしか合ってないときあるので😅

[@johnta1010]

一般項が求まる漸化式は限られていて、問題は解けるように作られている。なので、動画中の3つのタイプに帰着出来るはずと頑張って考えるのがいいでしょうね。 ちなみに、私は与式を a(n+3)-3a(n+2)+2a(n+1) = a(n+2)-3a(n+1)+2a(n) と変形して、この式の値が11であることから、 3項間漸化式に変換して求めました。

[@吉田秀介-j3t]

ベクトル空間になってる😊

[@LoveTonsure]

ふと疑問に思ったんですけど、3項間漸化式で「特性方程式の解が虚数」という出題って過去に実例ありますか？4項間ならたとえば、有名な「トリボナッチ数列」 Tₙ₊₃=Tₙ₊₂+Tₙ₊₁+Tₙ の特性方程式に虚数解1組が出現します。 で、一般に等比数列って、 1

[@mathaca]

x^kの係数をa_kとしてすべての次数(k=1,2,3,,,)で和を取った母関数Q(x)を定義すると，Q(x)=x(16x^2-6x+1)/((1-x)^2(1-2x))=-8+15/(1-x)+4/(1-2x)-11/(1-x)^2となるので，両辺のx^kの係数を比較すると数列a_kを導出することができるのでは？知らんけど！

[@shumaikun0716]

4項間漸化式なら4次方程式を解いて3項間漸化式の時と同じようにやれば出来る。

[@がんぎまり-o6h]

この考え方青茶に載ってたなぁ…

[@てける-n8u]

Z会のやつ？

[@vacuumcarexpo]

何とか暗算チャレンジ成功❗ コレ、暗算キッツいわぁ〜。

[@ABCDEFGHIJKLMN-v2y]

いたたたた… それ誇ってんの？ コメントするほどでもないよ 解法を書くならまだしも

[@浦仁志]

@@ABCDEFGHIJKLMN-v2yそんなことわざわざ突っ込んでいる方がイタタタタタ😢

[@お前が正しいことは認めるけど]

これは叩かれてもしゃあない😅😅

[@guno-m3d]

微分方程式の解法と同じようにもできる

[@mathseeker2718]

それはどうやるの？

[@guno-m3d]

基底を見つけるために解がr^nの形として解く。 r^(n+3) = 4r^(n+2) -5r(n+1) +2r^n r^nでわって r^3 = 4r^2 -5r + 2を得る 因数分解して、 (r-1)^2 (r-2) =0ゆえ、 r=2, 1(重解) この漸化式の解の基底は2^nと1^n, n・1^n の３つとわかる(n・1^nは漸化式に代入してみると実際に成り立つ) よってa_n = A2^n + B1^n + Cn・1^n つまりa_n = A2^n + B +Cn (A,B,Cは定数) 初期条件a_1,a_2,a_3を代入してA,B,Cを求めて終わり

[@hirokimorita9153]

この問題作った人もすごいな。 係数が違ったら、手計算やってられない。

[@LoveTonsure]

うーむ、特性方程式が実数解3つを持つように係数を設定するだけの話なんですよねw しかも今回 r=1 は重解ですし。 特性方程式に虚数解があったらかなりの難問になっていたと思います。 ※ちなみに有名なものだと、「トリボナッチ数列」の特性方程式に虚数解があります。

[@超神ネイガー]

これ共通テストで出たりするの？

[@mgkgtpwpngmgtqt]

誘導付きならあり得るね 流石に直接求めろとは言われない

[@wtjjwww-gn7us]

あ