和と積から2数を求める 神戸国際大附属（改）

[@suugakuwosuugakuni]

数学を数楽にする高校入試問題81 amzn.to/3l91w2K オンライン個別指導をしています。数学を個別に習いたい方は是非！ sites.google.com/view/kawabatateppei

[@Thiner1]

最近の動画を見がちだけど、昔の動画もためになるものがいっぱい

[@mcqueen206]

解説ありがとうございました。こんな素晴らしい授業が無料で学べるんですね。 川端先生に感謝です・・

[@nishitoku]

積が3^4と7の積．3^4をふたつに振り分けるとき，和が48なので「３の倍数」であるが「9の倍数」ではないことに注目すれば，ふたつの数は，３が１個と3個の組合せになる． あとは７をどちらかに入れる2通りなので，容易ですね．

[@kimiewatashi2396]

整数解であると決めつけて567=3×3×3×3x7の組み合せで27と21と出したのはダメですか？ 07:32 ダメでしたw

[@ギャラクシヴァ]

和が8で積が7なので1の位が1と7 567が3の倍数なのでどちらかが3の倍数になるのは21.27の組み合わせのみ

[@ぱんだまん-b4q]

大きい方の平方数が6^2＝36以下であり(次が49だから差が12より大きい) 差が12なので奇数同士と偶数同士の平方数しかありえないってことで 4、16、36 1、9、25 のそれぞれの組み合わせで探すことになるけど(→追記。偶数同士奇数同士の時点で25も36もない) 4と16しかないってことで 答えは10 数字が小さいので力技でいけますね

[@chococrepe_4539]

俺の場合 1秒経過 2〇×2〇=567 2秒経過 ｢あっ、これ21×27だな でも念の為計算し直してみよう｣ 3秒経過 答えが出た！ 21×27だな

[@itteokuretayodana]

こわ

[@Dec25Oct31]

まず、一の位だけに注目します。 整数同士の積で一の位が7になるためには、元の数の一の位が「1と7」か「3と9」のどちらかで、和が8になるためには「1と7」しかないことがわかります。つまり、これが整数範囲で解を持っているなら、1×47,7×41,11×37,17×31,21×27のいずれかであることがわかります。 そして、ここで567が少なくとも3の倍数であることから、21×27のみ計算し567になることを確かめたら解答終了です。 もしそうでなければ、この動画同様二次方程式の解と係数の関係を用いて２数を求めましょう。

[@ittousaiBL]

2数が整数なんて保証はどこにもありませんが、どうして整数だと分かるのですか？

[@Dec25Oct31]

@@ittousaiBL さん、もちろんそうですね。ただ、整数だとすれば、21×27しか可能性がないことが、上記の説明のようにすぐにわかるので、試してみる価値はあると思います。 そして、もちろんそれが適切でなければ、二次方程式の解と係数の関係を用いて２数を求めましょう。

[@ittousaiBL]

@@Dec25Oct31 整数以外の可能性がある以上、その方法では目星を付けるのには役に立ってもテストの回答としては書けませんね。であれば素直に解と係数の関係を用いるのがベターじゃないですかね。

[@Dec25Oct31]

@@ittousaiBL さん、テストの解答としても間違ってはいませんよ。論理が破綻していなければ使っても問題ありません。多分この問題は途中式や論証を必要とする問題ではないと思いますが、もしそうであったとしても 「21と27という２数は和が48、積が567なので、この条件を満たす。」といえば良いし、もう少し正確に書くなら「また、21+aと27-a(aは任意の実数)とすると、和は48、積は567+6a-a²となり、6a-a²が0となるのはa=0,6のとき、よって21と27以外には存在しない」と付け加えても良いです。どうやって見つけたかは書いていなくても論理が破綻していなければ不正解とする意味がありません。 例えば、√2の近似値が必要であるとき、本当に求めるなら(1.3)²=1.69,(1.4)²=1.96,(1.5)²=2.25と2を超える数を見つけて、次は(1.41)²,(1.42)²と、少しずつ求めていきますが、ある程度の値を覚えているなら突然、答案に(1.41421356)²

[@ittousaiBL]

@@Dec25Oct31 整数ならば2数は21と27。逆に21と27ならば和が48、積が567という条件を満たす。ここまでは分かります。しかし、 >また、21+aと27-a(aは任意の実数)とすると、 2数が整数でない場合を考えているのでしょうが、21+aと27-aと置く根拠は何ですか？（21のほうが+aで27のほうが-aである根拠は？） また、任意の実数を考えるのなら、21+a, 27+b(∀(a, b)∈R)と置かなければいけないのでは？任意の実数ではなく任意の虚数の可能性もあるのでは？そもそも2数が21+aと27-aとなる保証もないのでは？ >どうやって見つけたかは書いていなくても論理が破綻していなければ不正解とする意味がありません。 確かにε-δ論法などで複雑なεの式で表されたδをどうやって見つけたの？と言いたくなることは多々ありますが…。 ※噛みついているようで申し訳ありませんが、そんなつもりはありません。本当に疑問に思っているので質問しています。ご回答よろしくお願いします。

[@takeinox4135]

難しいけど。。積の一桁が７だから3×9か1×7しかないし、500ってでかいから20とかだよねって感じで21、27。

[@masasudo4840]

平方完成を使えば解けるかな？

[@mcqueen206]

別解で超感動しました。ありがとうございました。

[@ぐぐたす-c1i]

そうなんだよなあ、素因数分解して３３３３７、でもこれって簡単な数字を与えられてるからできるわけで・・5桁6桁だったら無理だからなあと思った

[@mcqueen206]

解の公式尊重、楽勝、快勝、スッキリ賞・・

[@丘ヤドカリ-j1m]

別解の求め方に脳内が洗われるような感覚を覚えました。

[@tacisun]

24+xと24-xに分けた時点で数学オタク決定

[@qwert5462]

１つの問題から一般化してくださるので広がりが出て応用力が増す。こんな先生に会いたかったよ。途中見切れていて笑えました

[@150pcx6]

2次方程式にする必要ないじゃんと思ってたら ちゃんと解説していただいて、よかったです

[@六無斎-x4k]

いまどきのセンセは×を「かける」と言わず、「かけ」と言うのですか？ 他の講師さんにもかけと言っている人がいたので気になる。

[@yuiaoren_agar]

二乗暗記ガチ勢なら24^2=576 3^2=9をつかって簡単に解けるかも

[@長谷俊博]

それが早いです

[@makotoishizuka6479]

576(=24×24)は平成初期のワープロの文字のドット数としてお馴染み。

[@masaroma630]

20×28が560でしょ。でかけたら一桁目が7でしょ。もうそれですぐ答えでるね

[@くろくろ-k4m]

この類の問題って数にセンスある人は一発で頭にフッと降りてきますよね。

[@Chu2007pae]

積が７という事は１×７　足すと８　なので　●１×○７　２１×２７以外はあり得ない

[@neo7276]

解と係数の関係から二次方程式を立てて平方完成

[@race_channel_]

某ユーチューバーS「ちまちま3で割ってんじゃねぇ。９で割れ。」(素因数分解を見て)

[@HachiKaduki0501]

貫太郎さんって、早稲田アカデミーでは川端先生の先輩ですよね。

[@3811-i8e]

ディオファントスの解法として和と差の積を応用したものが中３の教科書に載っていました 当時見たとき目から鱗でした

[@miraclesaorin12]

二つの数をa、bと置いて (a+b)^2-4ab=(a-b)^2 これを解くとa-b=6 a+b=48、a-b=6の連立方程式を解けば a=27、b=21となる。

[@Daisan_Piano]

3:00秒の3が4つあるのに3つにまとめる意味が分からないです。。。。。本当にわからないです。。こういう問題の時は手探りでまとめる数を変えるんですか？それとも何個以上同じ数字が出てきたら、何個かに分けるっていうルールがあるんですか？？誰か教えてほしいです。。。

[@kansai0214]

3を3つにまとめた訳ではないのです。 素因数は3と7の2種類しかないので、どちらか片方には7が入り、もう一方は3の0～4乗になりますよね。 それを踏まえた上で、足して48になる組み合わせを探すわけですが、1と567の組み合わせは明らかに違いますね。また、7と3全部という分け方も81で大きすぎるので違う事は計算せずとも分かるようになりましょう。 じゃあ7に3を1つと3の3乗の組み合わせなら丁度良いかな。と予想する訳です。 逆に、7にいくつ3付けられるかで考えてもOKです。0はダメ、かといって2つ付けると7*9で63は48より大きくなってしまう。 この組み合わせをいちいち書き出さなくても出来るようにするのが、練習による慣れやセンスを磨く目的の1つかと思います。

[@亜硝酸]

4個と0個という分け方をした場合、(3の倍数)と(3で割り切れない数)の和は3の倍数になり得ないため、2数の和が48というのに適しません。 2個ずつで分けた場合は、(9の倍数)と(9の倍数)という組合せになり、2数の和も9の倍数となりますが、これも問題の条件に合いません。 よって3の分け方は3個と1個という形になります。残った7を3と掛けて21とすれば、3^3=27と足して48になることが分かります。

[@rouisianaboy]

手間は両方とも似たようなものと思いますが、２番目の方法は、【エレガントな解法】と感じます。

[@藤原直樹-u1t]

二つ目の解に、しびれました。あっ!なるほどなぁと。

[@pp-io7lu]

7か〜○1×○7かな〜21.27かな〜でいけちゃった

[@overcapacitywhale]

積が567を見て最初に思いついた21と27が上手くヒットしてしまい申し訳ない気持ちに

[@dugong0810]

いわゆる解と係数の関係ですね。高校生なら必ず通る道です。

[@DVD000RAM]

マヂカルラブリーみたいな動画の入り方が好き

[@riryu1333]

中学受験問題にx使っちゃダメでしょ

[@acfeloze09]

積が3の倍数なので、片方は3x、和も3の倍数なのでもう片方は3yと置いて、x＋y=16、xy=63を満たすx、yを求めて最後に各々3倍して21と27かなぁと思いました。これなら暗算でもいけるかも？

[@tmacchant]

最初のやり方ですね。二番目のやり方は対称式では良くあるけど思いつかなかった。

[@アルス-r1j]

積で1の位が7になるのが少ないから絞れる&最高率の24の2乗と求める積が近しいので近くの値を手当たりにして正解！

[@1980miku]

567は、各桁の数を足したら18で3の倍数だから、3で割れる。567=3❎3❎3❎3❎7である。この数から21と27ができて条件に当てはまる。1分かかりませんでした。

[@tc3gg6ty8v]

二次方程式は秒で出たんですが、後半の別解で驚かされました(笑)相変わらず和と差の積ですね♪

[@saltsugar5704]

積が奇数なので、求める数はどちらも奇数である。 和が48となる奇数12組のうち、積の一の位が7となる組は、(21,27),(17,31),(11,37),(7,41),(1,47)の5組であり、 順に積を計算すれば(21,27)とわかる。 中学で2次方程式ってありましたっけ(覚えてない) 高校入試ならこれで十分な気がします。

[@たかふく-d9g]

別解は和が偶数ならいけるのか！和が4、積2でも出来て感動した

[@やんひら2025]

サムネwww 和と差の積、登場するよってwww

[@アッサム-y8q]

条件が「数」だったので さっさと2次方程式にして解きました。

[@hiDEmi_oCHi]

二次方程式を立てて解きました。 567の素因数分解が少し面倒(笑)

[@ああ-x9o4v]

ぱっと見て和が３の倍数かつ積が９の倍数なので、整数なら２つとも３の倍数にならないとおかしいということで和を３、積を９で割ったらあっさり見つかりました。 無理数の可能性は盲点。

[@iseimor]

二次方程式は平方完成でいけます。

[@ぽんさん-c9s]

567を因数分解して21×27を出す力技で終わらせました笑(完全に運)

[@sugisinfkk]

普通のやり方ですね

[@GO-ts1nu]

コロナも因数分解で消えてほしい

[@user-g748]

24×24が576を知っておくと素因数分解しやすそうですね

[@たっくんのパパ-n5s]

問題文に「二つの整数」とか「二つの自然数」とか書いてあれば因数分解は近道。 それ以外だと、解説の途中であるように答えに√が出てくる可能性はあるよな。 俺が出題者なら、受験生の裏をかく意味でそういう問題を混ぜる。(意地悪かなw)

[@MARCH未満は人権ない]

@@user-g748 それ、24×24に近い数で1の位7になる組み合わせ考えて出したわ

[@Inagis]

積の下1桁が7、和が8になるのは明らかに1と7の組み合わせしかないでしょ。中学入試でも良いレベル

[@kengpong9536]

二つ目の和と差の積を作る解法、例で出してた和４積２のケースでも答えが出るのかと試してみたら見事に出来て、おー！ってなった。

[@ka-go7cq]

和と差の積予告サムネ作ってる時すごいウキウキしてそうな先生

[@NaitouKoumuten]

いきなり567を素因数分解して組み合わせを探しましたが、確かに「整数」とは書かれてませんね…勉強になりました。

[@mentosukoala]

別解おもしろいなぁ

[@YMPoland]

567が9の倍数と分かったので 分解して無理やり27と21に変換しました〜 567とみるだけで コロナと読むようになってしまった…

[@introduction6769]

解と係数の関係で二次方程式を出したけど高校生にとって重要なものだと知り優越感ができた

[@フェンリルえんと]

勘のいい人は因数分解できますが 苦手なら平方完成の方が早いかも？

[@qsn8668]

ax^2+bx+c=0の解を導く際に、 -b/2aが2つの解の平均であると捉えて この動画の2つ目のような解法を用いるのが、 二次方程式の解の公式の代用として 何年か前にどこかの数学者から提案されていましたね。 公式を丸暗記するのと、考え方を身に付けて段階を1つ多く踏むのと、 どちらが簡単かは人による気がしますが、 解の公式を忘れて(あやふやになって)平方完成に遡ることの多い人なら 頭の抽斗に入れておいても良いんじゃないかと思います。

[@youtsube09]

二次方程式を作ったあとは、平方完成して解きました。

[@akiratanabe4043]

整数解 だと決めつけて一発勝負をかけてみたら 一発でした(笑)

[@Ikachan89]

解の公式使ったら行けた！！！ こーゆーの解けると自信になるから嬉しい！

[@user-cocoa]

だまれ底辺

[@きい-y9i]

@@user-cocoa どうした

[@affinity8192]

x+y=48とxy=567の連立方程式しか思い付かなかった 解いてはいないけど

[@スーパーおおとり]

それでも出来ますが 0=x^2-48x+567 若しくは 0=y^2-48x+567 を求める手間はありますね

[@岸辺緑]

xとyでなくxとx-48にするのがポイントですか

[@よしあき-t4m]

サムネで二乗差の因数分解のことを言ってるのに、コメ欄ではあまり触れられていない……需給の一致は難しい

[@えふえす-y6z]

いったん左辺に移行して、更にマイナス1かけるか、右辺に移行したり、ちまちま３で割るような時間のロスするのが、よくないと思います。レベルの低い人にあわせているというのであれば、センスも教えてあげた方がより有意義では？

[@itteokuretayodana]

結局解の公式やん

[@bluelagoon1926]

これ絶対 コロナにかけてるよね😂

[@xyz_abc752]

学生の頃に、例えば問題の567の数字は9√7の２乗だ、とか頭の中でたまに考えてた。

[@kakio4613]

567 ・・・コロナ ブラックジョークが過ぎるw

[@GilAka3rd]

あぁ、完全に発想をわすれてるぅ

[@ペンネ-w6j]

ぱっと見で20×28してあとはその前後で下一桁が7になるのはどれだろって暗算してみた。 二次方程式が出ない時点で筆記試験なら詰んだ。

[@本間雅教]

567を素因数分解することによって解けましたが、高校の数学に近づける問題だったのですね。

[@sinsied8846]

二次方程式にして解くなら(x-24)^2-9=0の形にした方がよくないですか？ (x-24-3)(x-24+3)=0 567を因数分解するならわざわざ二次方程式、x、48-xにする必要ないと思いますよ

[@トーマスナイト]

問題そのものの解法のみならず付随の解説( 8:07 )やサムネにまで和と差の積が進出するとは

[@Anooo-y4d]

20辺りで掛けて1の位が7になる数は21×27って出しました

[@回転焼き-ij5]

別解凄いな

[@The_mirror-kagami]

これ50年前に日本進学教室の5年生の試問で出たよ 素因数分解で解いてた

[@hirokibenjamin4796]

素因数分解で組み合わせて導きました。 いつも救急車通ってんな。

[@ksak9954]

そろそろ都道府県大会ベスト4の学校の問題が出てくると信じてます

[@kansai0214]

自然数が解にならない問題を見慣れてしまって最初から平方完成したくなりましたが、別解のようにちゃんと頭使って解かないとダメですね〜…

[@利臣石原]

答えは21と27

[@たっくんのパパ-n5s]

整数になるとは限らないなら解の公式使わないと仕方ないのでは？ 24+x、24-x と置くのも結果ありきでテクニカル過ぎる。

[@swordone]

そんなことはない。 2数の和が48ってことは、平均は24。 24からの差が等しい2数として表せる。

[@たっくんのパパ-n5s]

@@swordone この問題って解の公式使うと√内が √36 =6 になるから実はそんなにややこしくない。解の公式忘れた、とか解の公式使わずにとかの条件があるならともかく、この動画はかえって時間がかかる解き方なんです。

[@swordone]

@@たっくんのパパ-n5s あの…それ結局同じことだと思うんですが。 動画の方法だろうが解の公式だろうが、48²か24²の計算をすることになりますよ。 それが「解の公式の√の中」なのか「単に方程式の処理」なのかが違うだけで。 むしろ解の公式の場合、さらに加減算が入りますから、「動画のほうが時間がかかる」は明確に誤りですね。

[@たっくんのパパ-n5s]

@@swordone この動画の解法を一瞬で導ければ、そちらが速いかもね。 ただ、この問題で解の公式使ってちょっとややこしいのは、下記の√内の計算のみ。 48^2-4×567=36 一分か二分で計算できるでしょ？ 楽な(きれいな)解き方考えるより、愚直な解き方が早い場合もありますよ。

[@swordone]

@@たっくんのパパ-n5s 待て待て。そもそも24+x,24-xって置くのが「結論ありきのテクニカルな方法」ってとこから話始まってるだろ？ ややこしいかどうかなんて端から問題にしていない。

[@藤沢ちゃる]

最後のやり方 これって逆に Xの二乗+aX+bでaが偶数なら使えるやり方かな？ 奇数だとめんどくなるだけかな

[@st.05-w8o]

・2つの数をx,yと置く ・x²+y²を対称式を使って出す ・それを使って(x-y)²+2xy=x²+y²の式でx-y=±6を導く ・x+y、x-yを連立させる(x-y=±6だが+の場合でも-の場合でも最終的にはx,yの数が逆になるだけで問題なし) ・式を解くと21、27が出てくる ↑あまりにも面倒臭いやり方すぎた

[@非論理的なサイ]

567を素因数分解して解きました。暗算ですぐ解けました

[@exile9871]

解と係数関係かと思ったら高校入試か

[@iniminirekapikareraionimeka]

甲子園に絡めてくるあたり流石

[@まっちゃん-b6l]

小学生の時通ってた塾で先生が毎授業の初めに遊びでいつもこういう問題出してたわ

[@yoshikun1gou]

差「和と積しか使ってないから出番ないかと思ってた」

[@小野信一-e4r]

足して8・かけて７というところからおそらく１と７だろうなというところから考えました。そうなると２１と２７かなという感じになりました。これを解と係数の関係で解くとX²ー48X＋567＝０からX＝21と27とも求められます。576と9で和と差の積を取るというのも川端先生らしいなと思いました。

[@genomematcher9425]

え〜。48は9の倍数ではないけど3の倍数だから、2つの数はどちらも3の倍数だけど両方が9の倍数ということはない(3の倍数と3の倍数でない数を足したら3の倍数ではない。9の倍数と9の倍数を足したら9の倍数)。だから片方は、3あるいは、21。満たすのは21の方。

[@tosuchino6465]

(24-x) と (24+x) っておく別解は二次方程式の Po-Shen Loh の解法と同一の考えですよね。私が高校生の頃は、二次方程式の解の公式しか習いませんでしたが、Po-Shen Loh の解法も教えて欲しかったです。中学生には早いかもしれませんが、数学が得意なら十分理解できる解法だと思いますし、高校生には Po-Shen Loh の解法は是非習ってもらいたい。解の公式より有用かもしれませんよ。

[@crytus8657]

足して偶数、掛けて奇数なので、奇数かける奇数になるので、24から上下の奇数を掛けて2回めでヒット！（算数以下）

[@sinzukiotoko]

私も全く同じやり方で30秒で解きました(笑)

[@ヒモカゲ-r3g]

上に同じ

[@にょろきち]

私もその方法でした

[@ittousaiBL]

24+x と 24-x と置くその発想はどこから出てくるんだ？

[@poipubay1991]

24の２乗が567に結構近いことが直感で分かる人ならまぁまぁ自然な発想ではある

[@shinchangreen36]

和が48なので積の2数は半分の24から同じ数だけ＋－離れると言うことですね。

[@ittousaiBL]

@@poipubay1991 答えが分かってるからこそ出てくる発想のような気がするけど…。汎用的な解法かというと疑問じゃない？

[@poipubay1991]

@@ittousaiBL 普通に汎用的ではあると思うよ。 上の人が言ってくれているように、 和の半分からどれくらい(x)離れているかを考えるだけだから。

[@JE2LTQ]

求める値が2次式の解で24をはさんだ対称なところにあるのはなんとなく分かりません？😅

[@カテゴリーマスター]

2次方程式に持ち込んでも意味なくね？ 因数分解する過程で問題と全く同じこと求められてるやん

[@とある勇者-q6r]

567を秒で素因数分解するか24を秒で2乗するか

[@belllin632]

下一桁7になるのは7×１か３×９、でも３使うともう一個は5にしかならないから除外 なら２１と２７だろなとサムネで思った

[@ああ-c1m2t]

567は足して3の倍数だから 素因数分解した方が速そう

[@kiichiokada9973]

この因数分解ができる人なら、わざわざ二次方程式を作らなくても解けたような気もしますが…… 解の公式とかを使って解くのなら、その方程式を作った意味があると思います。

[@たっくんのパパ-n5s]

最近、神戸国際大学付属高校の問題多いな。 高校野球は今日惜敗でしたね。

[@翼0821]

Ｘ ＋ Y ＝ 48 じゃないんだね