[해석학] 2강. 실수체계

[@lsy_math]

인트로를 삭제하였습니다.(2021.06.18) 그로 인해 기존 영상과 약 9초의 시간 차이가 발생하였으니 참고해주세요. 강의록 다운로드 ☞ drive.google.com/open?id=1SiL1QxuJIrVvpr0LR1PeGdtzAYCDU4Uf ━─ ↓↓ 책갈피 ↓↓ ─━ 1. 자연수 02:47 (1) 페아노 공리계 19:48 (2) 자연수의 성질 2. 유리수와 무리수 45:54 (1) 집합의 구성 54:43 (2) 조밀성 3. 실수 1:12:33 (1) 체 공리 1:28:34 (2) 순서 공리 1:39:31 (3) 완비성 공리

[@Rich_Lawyer]

감사합니다

[@mqpzjf]

오오 책갈피센스도 감사합니다

[@박진석-k2b]

이런거 정말 좋아합니다.

[@palbokmo5005]

아재세대로서 중고딩때 대부분 수학선생들은 항상 폭력적이었는데 이게 트라우마인지 뭔지 아직도 순간순간 움찔움찔 긴장타게 되네 ㅋㅋ 막 졸면 안될 것같고 나 시킬 것 같고 곧 존내 처맞을 것 같고 ㅋㅋ 이렇게 나이들어 공부가 하고싶어서 하니 아무것도 아니구만 귀에 쏙쏙 잘들어오고. 강의 감사합니다. 또 한편으로 울나라 교육 문제 있다고 다시한번 느낍니다. 이렇게 재밌는 수학을 지겹게 만드는 것도 참 능력인듯. 싸대기 맞은거랑 발로 밟힌거는 지금 생각해도 좀 열받네

[@nnn00135]

대단하시네요

[@DdD-tx9rj]

어후... 진짜 그시절은 문제가 많았네요.. 지금도 다른문제야 항상 있지만 새삼 한국 미개했다ㅋㅋ 중학교때 학생인권조례 나왔는데 초딩때 지각하면 발바닥맞고 중딩때 숙제안하면 엉덩이 맞았던거 생각난다

[@sambal218]

노동력이 필요하니까 그러지 전부다 지도자가 되면 누가 궂은일하나

[@김명환-g6g]

선생님 저도 수학을 전공했는데 취준생 때 부터 심심할 때마다 보면서 항상 후원하고 싶었어요 ㅠㅠ 드디어 취업하고 나서 정기후원을 할 수 있게 됐네요!!! 조금이지만.. 꾸준히 하겠습니다 ^^ 좋은강의 올려주셔서 항상 감사해요!! 대한민국 수학강국 화이팅~~ 새해복 많이 받으세요!!

[@haste-g8l]

2시간 반.. 와우.. 선생님의 열정에 부랄을 탁 치고 갑니다 대단하십니다 정말

부랄?

[@jongminkim4702]

전 수학을 정말로 하나도 모르겠는데도.. 그냥 선생님도 좋고 댓글들도 좋고 그냥 다 좋네요. 다들 이렇게 열심히 익히고 배우고 생각하고 사고하고 질문하고 설명하려 하고 넘 좋네용..

[@compact5027]

오늘은 해석학의 뼈대를 강의하시네요 ㅎㅎㅎㅎ 실수체계, 유리수의 조밀성 등등 중요한 부분이 많죠 ㅎ 같은 수학을 하는 사람으로서 오늘도 한 수 배우고 갑니다~ 미분기하학도 하면 재밌을것 같아요~bb

[@예예-n7h]

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 샘 ㅋㅋㅋ 갈수록 오프닝멘트가 왜그래여 ㅋㅋㅋㅋ 앗녀아세잎삽샘다~ ♥️

[@user-yg97f5hfvh]

0:09

[@Spinodal23]

안녕ㅎ세세셉니다

[@작심삼일-z5r]

학교를 다니고 있지만 제가 ADHD라 학교 사이버 강의를 잘 못듣는 와중에 정말 큰 도움이 되고 있습니다 감사합니다 열심히 해서 선생님을 뛰어넘고 싶습니다

[@사기꾼진우야내가죽여]

1.R is a field.2.R is an ordered field. (R is a field which contains a subset P that satisfies the the following properties. P is closed under multiplication and addition. For each element x of R exactly one of the following is true. x=0 or -xEP or xEP.3.Every nonempty subset of R which is bounded above has a least upper bound.

[@달링-t1x]

진짜 대단하십니다.

[@김준가]

말이 느린편이 아니신데 딕션이 좋아서 두배속으로도 너무 잘 들려요

[@아아아아-c4q]

1:45:40 여기서부터 말씀하시는 내용이 진짜 학부 해석학의 절반을 담고 있다고 해도 과언이 아님...

[@siheonseong5920]

와 이런 꿀강의를 공짜로 볼수 있다뇨 ㅠㅠㅠㅠ 정말 감사합니다 안그래도 고등미적분 안들었는데

[@jinmel332]

좋은 강의 정말 감사합니다 ㅎㅎ

[@林·님太成셔]

와 드디어 나왔네!!목 빠지게 기다렸네요!!!!

[@이머꼬-m9g]

이상엽님, 인성은 하버드 교수급, 실력은 서울대 교수급. 대한민국의 진정한 애국자 인증,인정합니다.

[@gyaknon]

와우 거의 3시간. 10년 전에 배웠던 것 복습하는 기분으로 잘 보겠읍니다.

[@듈이-k2b]

안녕하세요 쌤! 열심히 따라가고 있습니다 영상 감사해요!! 3강도 올려주시면 좋겠어요~~!!

[@yeou2580]

1:33:00 쯤에서 조건을 만족하는 부분집합 P를 양의 짝수 집합이라고도 설정할 수 있을 것 같은데.. 그러면 3같은 홀수는 R의 원소이면서 저 세 경우 중 아무것도 만족하지 않게되는데.. 제가 제대로 이해 못한건가요?

[@doyoung9483]

저 조건들을 만족하는 부분집합이 존재한다는 말이지 아무 집합이나 잡아도 저 조건들을 만족한다는 얘기가 아니에요. 저 모든 조건을 만족하는 부분집합이 존재할 때 비로소 순서 관계를 얘기할 수 있다는 말입니다.

[@6기주한별]

P를 짝수 집합으로 설정하면 조건을 만족하지 못합니다. 반례로 3은 세 조건을 모두 만족하지 않기 때문입니다.

[@jihoonjo6394]

안녕하세요. 이상엽 선생님! 항상 수준 높은 강의를 유튜브로 공유해주셔서 정말 감사합니다. 선형대수 파트에서 특히 도움을 많이 받고있는데 혹시 미분방정식 강의들도 촬영하실 계획이 있으신가요? 항상 감사히 잘 보고 있고 앞으로도 많이 배우도록 하겠습니다!

[@6기주한별]

쌤 난데없이 웃는 거 너무 좋아요 ㅎㅎㅎ

[@ai_ai1723]

좋은 강의 항상 감사합니다 !

[@SWKwon-sz9ri]

선생님 정말 멋지십니다!!! ㅠㅠ 다음 강의가 기대되네요!!!! 😆

[@joyyang7388]

항상 너무 감사해요 제 기말 해결사...

[@aerockh]

전 공대생입니다. 정말 공대생에게 최고의 강의가 아닌가 싶네요.

[@송민영-k8e]

좀 늦게 나오길래 왜그런가 했네.. 보고싶었어요..ㅠㅠㅠㅠ

[@김김-q2z]

여쭤보고 싶은게 생겼습니다. 자연수에 위로 유계가 없다를 완비성공리로 증명할때 자연수는 완비적이지 않은데 완비성 공리로 증명하는게 왜 문제가 없는걸까요?ㅠ

[@이만재-x8e]

재밌게 보고있습니다!!

[@사기꾼진우야내가-t3t]

이전에는 루트2가 당연히 존재하는 수라고 생각했는데 실수체계를 공부하고 보니까 존재성이 당연한 것이 아님을 깨달아서 신기했습니다

[@sunch8927]

2:18:21 여기서 supS^2 > (supS-1/n)^2 > 2 여서 supS가 S의 상한이라는 가정이 틀리기 때문에 모순이다라고만 하면 증명이 안 되나요?

[@hyeonsseungsseungi]

난해한 질문이군요. 말씀하신 sup S나 sup S - 1/n은 정의상 당연히 둘 다 S의 원소가 아닙니다. 그런데 말씀하신 것은 제가 제대로 이해한 것이 맞다면 sup S > sup S - 1/n > sqrt 2 이니까 S는 최소상계가 아니지 않냐는 의문으로 보여집니다. 그러나 제 짧은 소견으로는 sup S - 1/n의 제곱이 2보다 크다고 해서, sup S - 1/n이 sqrt 2보다 크다는 것을 잘 모르고 있다고 생각하시면 될 것 같습니다. 왜냐하면 우리는 유리수 집합에서 생각하므로, 실수를 잘 몰라서 실수의 제곱근은 아예 모른다고 생각하는 방법론을 생각하는 것입니다. 그렇다면 우리는 sqrt2도 잘 모르고 제곱근에 대해서도 잘 몰라서 원래 수의 대소관계를 알더라도 제곱근의 대소관계를 잘 모른다고 생각하는 것이 합리적이기 때문입니다.

[@다이룸교회]

해석학이 수학의 꽃이죠 ^^

[@가나다-v8q4g]

잘 보겠습니다

[@danielcmlim]

항상 감사드립니다

[@anthonykim7305]

2:09:36 여기 증명부터 정말 놀랐습니다. 어떻게 이런 생각이 바로바로 떠오르나 해서..

[@springdaysdlwlrma0918]

체의 정의에 따르면 어떤 꼭 곱하기와 더하기가 아니더라도 두개의 이행연산에 닫혀있는 대수구조를 띈 다면 그것은 무조건 체가 될수 있나요 ?

[@cnbmonster1042]

완비성 공리를 삼분성질과 아르키메데스 성질을 이용해 유리수가 와비성이 존재하지 않는다는 증명을 보고 답글 답니다. 저 논리대로라면 S가 실수 집합이어도 동일한 논리로 실수집합의 완비성을 부정할 수 있는게 아닌가요? 유리수라고 가정하는 부분이 증명에서 완비성을 부정하기 위해 어떻게 사용되었는지가 헷갈립니다.

[@dreadrider5985]

공대출신 수학비전공자입니다. 아직 끝까지 보진 못했고 완비성공리의 설명부분까지 봤습니다. 실수의 빈틈이 없는 것을 설명하기 위한 하나의 공리가 완비성공리라고 설명하셨는데요. 유리수에는 루트2같은 범위를 잡으면 상한이 없을테니 적용되는데 상한이 있는 수가 실수라고 정의한 것과 같은 뜻인가요? 다시 말하자면 그것이 왜 공리여야 하나요? 의문점은 초월수 같이 아직 전부가 파악되지 않은 수도 실수에 포함시켜 아무리 초월수라도 상한이 있는 수로 찾을 수 있게 되고 초월수를 초월하는 수는 없다라고 말하는 공리인가요? 아직 전부 파악되지 않은 수가 초월수처럼 있을텐데 어떻게 실수만으로 꽉 채워지고 또 상한이 있기만 하면 실수가 되는지 잘 모르겠습니다. 물론 다른 동치인 공리들로 다시 설명이 되겠지만 반대로 꽉 채워져 있는 수를 실수라고 했고 그 실수안에 아직 파악되지 않은 수가 있다고 공리로서 정의?를 한것인가요? 즉 수학에서 사용하고 있는 실수는 유리수를 포함하는 모든 수를 의미하고 실수와 유리수 사이에는 더이상 수의 위계를 나눌 수 없나요? 유리수와 정수사이에 없는것 처럼 말이죠. 물론 1차원에서 2차원으로 확장되는 듯한 복소수는 다른 이야기일 듯 합니다만 결국 복소수도 실수와 실수계수를 가지는 허수의 선형덧셈으로 이뤄진 수이니 실수쪽 계수와 허수쪽 계수가 독립적으로 존재한다면 결국 한개의 축상에서는 실수가 가장 큰 수의 위계인 것이고 빈틈이 없고 그걸 상한이 존재한다로만 공리로 세워두면 잘 설명이 된다란 뜻일까요? 이전 초월수의 영상도 봤는데 아직 제대로 파악되지 않았다는 부분에서 의문이 들었습니다. 실수보다 더 큰 위계를 갖는 수는 없고 반대로 보면 구멍을 메꾸는 즉 빈틈이 없게 만든 수로서 생각해낸 수가 실수란 뜻인것으로 이해했습니다. 이렇게 이해해도 괜찮은가요? 즉 초월수도 실수이며 초월수처럼 파악되지 않은 수가 존재할지라도 무조건 어느 상한에 속하며 상한이 어느 구간에서나 존재한다는 것이 빈틈이 없다는 것이고 그런 수들 상한의 집합이 실수이다.로 이해해도 괜찮을까요? 수알못이라 횡설수설 긴 댓글이었습니다. 죄송합니다.

[@dreadrider5985]

마지막 부분을 보니 완비성공리는 증명가능한 정리가 되는군요. 나중에 동영상이 올라오면 꼭 보겠습니다. 그리고 무한소수의 설명에서 초월수를 포함한 실수들이 무한소수로 표현된다는 것은 제가 댓글에 질문한 내용의 답으로서 결국 1차원에서 실수보다 큰 위계는 없다라는 것이 되겠네요. 그런데 신기한 것은 아직 발견되지 않은 초월수들도 십진법 무한소수로 표현이 된다는 것입니다. 혹은 아직 발견되지 않은 초월수가 아닌 그걸 뛰어넘는 수는 존재하지 않는다는 것이네요. 영상 고맙습니다.

[@rayeblitzberg7653]

초월수는 정수 계수의 다항함수의 해가 될 수 없는 수임ㅇㅇ

[@rayeblitzberg7653]

@@dreadrider5985 파이나 자연상수도 실수잖슴 math.byu.edu/~bakker/M341/Lectures/Lec03.pdf 읽어보면 이해가 될거임

[@jiwoonpark589]

논리의 유한성이 가지는 한계입니다. 논리학이 유한한 논리식밖에는 표현하지 못 하게 제한하는 이상 유한한 개수의 공리를 가지고 실수 전체를 표현하는 것은 이론적으로 불가능합니다.

[@안녕경남아]

1:43:08 눈 깜빡

[@林·님太成셔]

요즘에 조금 힘들어보이시는 것 같은데 쉬엄쉬엄 해요! 상엽 선생님~~

[@kangjoseph90]

실수의 완비성이 머리아프면서도 재밌네요

[@user-tntn]

와... 이런 강의를 무료로 제공하시다니.. 정말 존경스럽네요

[@우승오-m9t]

순서 공리쪽에서 집합P가 양의 실수 집합의 역할을 한다고 하셨는데 원래 정의가 그런 건가요? 아니면 이해하기 쉽게 말씀해주신 건가요? 매번 좋은 강의 감사드립니다

[@성원석-x9p]

덧셈과 곱셈 모두에 의해 닫혀있는 집합이 있다는 것을 공리적 설정하고 그걸 P라고 했는데 그런 성질을 만족하는 집합이 알고 보니 양의 실수였다는거죠

[@nn-fr2kv]

@@성원석-x9p 0을 포함한 P를 설정해도 조건을 만족하지 않나요?

[@hyeonsseungsseungi]

처음부터 🐑의 실수의 집합인 것읗 염두에 두었지만... 그 전에 🐑이라고 하는 용어 자체가 없었으니까... P라는 집합이 있다고 하고... 그 집합의 원소를 🐑의 실수라고 이름붙이는 방식을 택하는 것입니다.

[@Jaechung1016]

ㅋㅋ대학원 인강들어야되는데 잼있어서 이걸 보고 있읍니다,,,

[@Joypler]

2:01:09에 판서된 것에서, 2->1을 증명할 때, 왜 굳이 입실론을 (s-supS)/2로 해야 하나요? 그냥 s-supS를 입실론으로 해서 바로 x> s-입실론=supS이도록 식을 쓰면 문제가 있나요?

[@평원지]

입실론을 설정할 때 0보다는 크고 s-sup S보다는 작게 만들어주고 싶어서 저렇게 설정한겁니다

[@평원지]

그냥 s-supS로 놓으면 마지막에 부등식이 성립하지않게 돼요

[@ohyeah3701]

저 질문이 있는데... 페아노 공리계를 만족하는 수체계를 자연수라고 정의할 때 무정의 용어인 n'를 n'=n+π라고 정의하면 우리가 일반적으로 자연수가 아니라고 말하는 녀석들이 껴들어가지 않나요...? 자연수 전체를 포함하게 하려면 n'=n+1이라는 조건이 더 필요해보이는데 제가 잘못 이해한 건 가요 ㅠㅠㅠ

[@doyoung9483]

정확히 말하면 자연수의 덧셈연산 자체가 n+1=n'과 (n+m)'=n+m'이라는 두 가지 성질을 만족하는 이항연산자 +:N^2->N로 정의됩니다. 애초에 덧셈자체가 n+1=n'을 만족하도록 정의되기 때문에 그런 걱정은 하지 않으셔도 될 듯 합니다

[@6기주한별]

무정의 용어인 n'을 n+π로 정의할 수가 없어요. n'은 말 그대로 무정의용어로 정의를 못 합니다. 왜일까요? 어떤 용어를 정의하려면 그 용어보다 더 근본적인 용어들로 정의할 수 밖에 없죠. 그런데 n'이라는 n의 '다음 수'를 설명할 수 있는 용어가 없기 때문에 n'은 정의를 못 하는 겁니다. n'=n+1로 정의하면 되지 않냐구요? 안 되죠. 왜냐하면 덧셈을 정의할 때 n'가 들어가기 때문에 그렇게 되면 순환논리가 되는 겁니다. 그러므로 n'은 n의 다음 수라고 받아들이시는 수밖에 없고, 어떤 다른 용어들로 그 의미를 표현할 수 없다는 걸 이해해주시길 바랍니다.

[@fasttoo1806]

난이걸 기다렸어!!

[@김재민-i9f2t]

11:21 선생님 페아노 공리계에서 궁금한 사항이 있습니다. 이렇게 5개와 추가로 모든 n, m에 대해 n' != m' => n != m 도 있어야 할 거 같은데 없어도 괜찮나요?? 해당 공리계 만으로는 {1->2, 2->3, 2->4,)가 자연 수가 아님을 설명할 수 없다고 생각해서 질문드립니다.

[@다이룸교회]

수학의 대중화는 반드시 올겁니다. ^^ 저도 그 세상을 꿈꾸고 동참합니다. ^^from 수개팡

[@들판-z6k]

이번 영상은 이해가 많이 힘드네요. 수학적인 기초가 많이 부족한가봅니다. ㅎㅎ 반복시청하면서 이해해봐야되는데 먹고사는 일이 바쁘네요. 다음 강의도 기대하겠습니다.

[@sparkling-w7c]

선생님 혹시 수능 가형 강의나 현강 하실 계획 없으신가요?

[@Rich_Lawyer]

현직 수학강사이신걸로 알아요

[@swy9132]

감사합니다 사랑해요

[@bikinicity]

레전드

[@과학-m8q]

10:59 22:20 7:27

[@만년동안]

궁금한점.. 미분의 대표적인 표기 dy/dx 에서 dx나 dy을 극한값이라고 여겨도 될까요? 변수분리 적분법을 보면 dy dx를 나눠서 양변의 부정적분을 취하는 형태로 취급하더라구요. dx dy의 의미에 대해서도 한 번 알려주시면 좋을 것 같습니다

[@김연진-t7p]

그거 구글에 미분형식이라고 검색하시면 꽤 설명이 잘돼있는 글이 뜹니다. "대학수학 맛보기"라는 글이에요.

[@거미남자_spidy]

ㄷㄷㄷㄷㄷㄷ

[@거미남자_spidy]

미분기하학 ㄷㄷㄷ 혹땔려다가 혹붙힐듯 ㄷㄷ

[@wowowow3756]

무리수의 조밀성 증명에서 Let s = r-root(2)로 두시고 s를 무리수라고 하셨는데, r이 유리수이면 유리수에서 무리수를 뺀 s가 무리수가 될 수 없는 것 아닌가요? ㅎㅎ 어떤부분을 놓친 것인지 잘 모르겠어요.

[@강현우-y6q]

"유리수+무리수=무리수" 이기 때문입니다. 이는 귀류법으로 알 수 있습니다. 만약 "유리수+무리수=유리수"가 성립한다고 가정합니다. 좌변의 유리수를 이항시키면 "무리수=유리수-유리수" 가 됩니다. 그런데 유리수의 사칙연산 결과는 유리수이므로 이는 모순입니다. 따라서 "유리수+무리수=무리수"입니다.

[@거미남자_spidy]

솔직히 이거 강의록 DLC로 팔아도 다 살 의향있음..ㄹㅇ 해석학은 진짜 꿀잼 복소가 더 재밌긴한데 해석학도 해석학나름의 재미가있지

[@이서준-s3d]

하나 궁금한 게 있는데, 그러면 집합 R에 연산 +와 •을 부여한 구조가 체, 순서, 완비성 공리를 만족하면 이게 실수계가 되는건가요? 즉, 실수계는 (R, +, •)로써 대수구조의 특수한 경운가요?

[@닉넴은귀찮아]

완비순서체는 일단 유일한걸로...

[@jiwoonpark589]

어떠한 공리를 만족하는 무한집합이 존재한다면 동일한 공리를 만족하는 무한집합은 무한히 많습니다.

[@tesickoh6644]

와! 실수체계!

[@sjy-10-02]

근데 무리수 조밀성 증명할 때 아주 옛날에는 루트2가 무리수인걸 알고 증명한건가요 아니면 다른 방법으로 증명 했나요?

[@김김-q2z]

꼭 루트2가 아니더라도 무리수라는 미지수로 놓고 비슷하게 증명할 수 있지않을까요?

[@hogeunna3883]

수학 참 재미있는 학문입니다 ㅎㅎ

[@백시연-n4f]

혹시 통계학은 강의 하실 생각 없으신가요?? 제 개인적인 생각이지만 수학중에 통계학이 가장 매력있는것 같습니다

[@다이룸교회]

확통에 유투브 수개팡 강의있습니다.^^

[@rayeblitzberg7653]

통계학이 수학의 가장 매력있는 분야라는 데 격한 공감을 표합니다

[@user-sy9do4if9]

복소수는 체계가 없는건가요?

[@김연진-t7p]

오히려 내용이 더 많을 겁니다. 아주요. 아마도?^^

[@doyoung9483]

실수의 순서쌍으로부터 시작해서 덧셈과 곱셈을 정의해주면 바로 구성이 됩니다

[@Leaf-s4y]

앗싸 첫 댓글;; 좋은 영상 감사합니다.

[@林·님太成셔]

해석학 3화 궁금해서 미칠 것 같네요 선생님 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

[@nYEOSUh]

와... 좋은 강의 항상 감사드립니다 근데 엡실론 값을 구하는게 어렵네요 ㅠㅠㅠ

[@황건하-d4m]

그 시간에 올리면 못볼줄 알았죠? 네 그렇습니다, 못봤습니다

[@정민우-c6i]

s.t. 먼 뜻이져.... 언제 쓰나여

[@6기주한별]

such that ~ = ~를 만족한다. 라고 받아드리시면 될 것 같아요

[@Xirius_Z]

오프닝멘트 0.25배속하면 아유야쓰스에이여스애이임미다 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

[@수하기수하기]

0.5가 n에 들어가나요?

[@정찬희-m8y]

1:10:13

[@user-up5wz5yl1x]

@24:37

[@미어캣은속았습니-c2w]

22:22

[@yjyoo52]

그 다음이란 정의는 뭔가요?

[@doubledeltas]

1과 비슷하게 무정의 용어입니다. 폰 노이만 정의로써 정의하기도 합니다.

[@까만새벽]

1이 N의 최소원소임을 증명하는 건 어떻게 하나요...

[@thomaschoi3866]

페아노 공리계의 3번째 법칙으로 인해 자연수 집합 내에서 임의의 원소는 그 다음 수가 1이 올수 없습니다. 즉, 1보다 전에 있는 원소는 존재하지 않으므로 자연수 집합내에서는 1이 가장 작은 원소가 되는겁니다.

[@Total_Syntheses]

증명 없이 무정의원소로써 공리로 받아들입니다.

[@과학-m8q]

33:42

[@범고래-r2e]

고등학생인데 자가격리 걸려서 완강시작합니다 하핳

[@조민준-j8x]

39:50

[@조민준-j8x]

1:34:00

[@과학-m8q]

33:10

[@lih6423]

40:00

[@doraemong_]

진짜 왜이렇게 재밌는건지 모르겠네

[@심재훈-q7g]

돈 내고 들어야하는데

[@한준-h6y]

해석학에서 이파트가 제일 어렵고 고비인 듯.

[@rayeblitzberg7653]

하지만 리만적분이 출동하면 어떨까?

[@규진심]

항상 감사합니다

[@Leeway620]

21:18

[@안녕경남아]

44:50

[@gop5576]

34:24