Olympiades : 2ª + 2ᵇ + 2^c = 1120

[@mohcinemabrouk9785]

J'ai 24 ans. J'en ai fini avec les mathématiques depuis 7 ans. Mais je regarde quand même. J'aime.

[@scienceconfuse1531]

1. L’écriture en binaire est évidemment la solution la plus rapide. Sinon, on peut faire le raisonnement suivant. On nous dit que a < b < c. Cela implique de 2^b vaut au maximum la moitié de 2^c. De même 2⁰ vaut au maximum la moitié de 2² soit le quart de 2^c. Donc 2^a + 2^b vaut au maximum 0,75 fois 2^c, donc 1120 vaut au maximum 1,75 fois 2^c. On en conclut que 2^c est supérieur ) la moitié de 1120 soit 560 qui est supérieur à 512. D’où 2^c ne peut être égal qu’à 1024 et donc c vaut 10. Il resterait un surplus de 96, et un raisonnement analogue permet de déduire les valeurs de a et b. 2. Et merci pour vos exercices.

[@Frank-kx4hc]

Le mathématicien Maths Applic vient de publier une vidéo "inspirée de Hedacademy ", dit-il: Son équation est "2^a-2^b+2^c =120 où a,b,c entiers naturels " Mais il n'a rien compris de ton talent. Du coup, il a suivi aveuglément ta méthode en factorisant par 2^a alors que cette factorisation n'est valable qu'avec TA condition a

[@mathieupeyrard3022]

J'ai procédé autrement, façon empirique mais comme il s'agissait d'un exercice de prof de maths, ça devait marcher ;). Je suis parti de 2^10=1024, ensuite 1120-1024=96. 2^6=64 et 2^7=128, donc j'ai choisi 2^6. 96-64=32=2^5. Ensuite comme a

[@herveroy-contancin3605]

j'ai fait pareille...j'ai cherché la plus grande puissance possible ne dépassant pas le total ...10 ... et ensuite le reste 96 peut effectivement se décomposer en une somme de deux carrés. Si jamais le reste ne correspondait pas à une somme de carré, il aurait fallu essayer 9 puis 8 etc....

[@Staarkalinou]

pareil ici, c'est même beaucoup plus rapide.

[@pascalgallet5931]

C'est passionnant les mathématiques. Merci Professeur. Amitiés.

[@mansouroyaldiop]

Pour trouver les valeurs de a, b et c, nous devons résoudre l'équation 2^a + 2^b + 2^c = 1120, en tenant compte des contraintes a

[@StephC08]

Cela fait plus de 30 ans que je n'ai pas touché à des exercices de maths ... et bien, c'est pas comme le vélo, on perd très vite. Mais ca revient. Merci pour ton enthousiasme, j'adore ton approche très ludique. Merci pour tes vidéos.

[@Pioneer466]

J’ai trouvé la réponse de tête en connaissant les puissances de 2, mais la solution mathématique est vraiment super, jouer sur l’identification par parité est astucieux ! Merci !

[@toto-sh8tv]

j'ai décomposé 1120 en puissances de 2, soit 1120 = 96 + 1024 = 32 + 64 + 1024. À partir de là on peut plus rapidement en déduire les valeurs de a, b et c (resp 5, 6 et 10).

[@mehdim8808]

En effet mais je ne pense pas que l'objet de sa démonstration était la rapidité ;)

[@morcelluswallace5942]

Oui on l'a en 30s quand on connaît les puissances de 2. En revanche, avec des puissances d'un autre nombre, sa méthode apparaît rudement efficace

[@spirosrisos7449]

Et pourquoi 96? Au hasard ?

[@gronono]

@@spirosrisos7449 Non, il faut chercher la plus grand puissance de 2 < 1120 => 2¹10 et il reste 96 à répartir entre a et b

[@gyuri2918]

@@spirosrisos7449 En fait, toto présente le résultat dans l'ordre où on les demande. Le plus simple est de prendre la puissance de 2 inférieure la plus proche du nombre de départ (1024=2^10) et la soustraire, on obtient 96, dont on soustrait de la même manière 64 (2^6), on obtient alors 32 (2^5), ce qui donne le résultat juste de a=5, b=6 et c=10 (contrairement à la vidéo qui donne 4, 6 et 10), vous pouvez recompter... C'est effectivement le principe du comptage binaire cher aux informaticiens dont je suis. C'est la technique même du dénombrement.🤔 Je suis fan de la chaine et suis souvent bluffé. Mais pas aujourd'hui. Non seulement, la méthode est démesurément et inutilement longue, mais elle mène à un résultat faux... Bravo...🤣 Et pour ceux qui ont applaudi sans se poser de question, il vous arrive de vérifier que le prof de math ne raconte pas de c... ? Ça fait partie de l'exercice...😁

[@rolandflutet5048]

Comme l’ont dit d’autres: le binaire est idéal pour ce problème et voici comment ça marche En fait le binaire c’est le principe que chaque nombre peut être exprimé comme la somme de puissances de 2. Le nombre 101 en binaire c’est en fait égale à (1x2^2)+(0x2^1)+(1x2^0)=4+0+1=5 en decimal Du moment qu’on sait que TOUS les nombres décimaux peuvent être exprimés ainsi, et qu’il n’y a QU’UNE SEULE façon de le faire, alors tout va bien. Notez bien: ceci est possible car les valeurs de a, b et c sont différentes. Le principe: trouvez la puissance de 2 la plus proche en dessous du nombre: Ceux qui font de l’informatique savent que 2^10=1024 (c’est une valeur courante). C’est la bonne car la suivante est deux fois plus grande (2^11=2x2^10=2048) Donc de tête j’ai fait 1120-1024=96 Et on recommence donc avec le reste de la soustraction : la puissance de deux la plus proche c’est 64 (qui est 2^6) 96-64=32 qui est une puissance de 2 (2^5) En d’autres termes, la valeur décimale 1120 s’écrit ainsi en binaire: 10001100000 Une fois que tu as compris ça, tu peux créer autant de problèmes que tu veux: il suffit de partir du nombrE en binaire. Par exemple: 1001001100 (j’ai écrit ça au hasard) C’est 2^10+2^7+2^3+2^2 Ce qui fait 1024+128+8+4=1164 Donc l’énigme serait 2^a+2^b+2^c+2^d=1164 Et la seule solution possible est a=2 b=3 c=7 d=10

[@rolandflutet5048]

Énigme supplémentaire: 100% d’entre vous peuvent la résoudre - mais beaucoup ne le savent pas 😉 Quelqu’un a dit que c’est facile car ce sont des puissances de 2 et que ça serait dur avec d’autres bases. Mais en fait ce système fonctionne avec toutes les bases. D’où l’énigme suivante : 10^a + 10^b + 10^c = 1120 a

[@Peace5917]

@@rolandflutet5048 ça prendrait moins de 5 secondes si c'était soluble ;), il y a 2*10^1

[@gatestone9268]

Épaté juste ça bravo😂

[@Nellybui]

Pour ma part, j'ai cherché la seule valeur de c possible, puis j'ai ensuite trouvé les seules valeurs de a et b possibles. Et voici les valeurs des puissances de 2 pour faciliter la lecture : 2^0 = 1 2^1 = 2 2^2 = 4 2^3 = 8 2^4 = 16 2^5 = 32 2^6 = 64 2^7 = 128 2^8 = 256 2^9 = 512 2^10 = 1024 2^11 = 2048 2048 > 1120 c < 11 512 + 256 + 128 < 1120 c > 9 c = 10 1120 - 1024 = 96 2^a + 2^b = 96 128 > 96 b < 7 64 + 32 = 96 a = 5 b = 6 S = {(5 ; 6 ; 10)}

[@michellepivert2490]

regardez ma solution 1120 = 2^5 X 35 c-a-d que 2^ a,b,c sont divisibles par 2^5 2^0 + 2^1 + 2^5 = 35 1 + 2 + 32 = 35 ! les exposants a,b,c = 5,6,10

[@Ctrl_Alt_Sup]

Quand on connaît les puissances de 2 on voit la solution en 10 secondes...

[@morphilou]

@@Ctrl_Alt_Sup oui mais aprceque si b< c le max est de 1.5 mais avec des base de 3 ou plus cela doit changer la donne

[@Ctrl_Alt_Sup]

@@morphilou Effectivement avec une base plus grande et des a,b,c assez grands aussi cela obligerait à utiliser des outils intéressants comme l'arithmétique modulaire. On peut aussi s'en sortir quand on sait qu'avec a

[@antoinegrassi3796]

C'est un peu trop long... 🙏

[@Peace5917]

je suis parti à l'inverse, sachant a

[@imemoria8144]

Je me sens un peu truand sur ce coup là, parce que la puissance de 2 que je connais qui se rapproche le plus de 1120 c'est 1024. Soit, par les logarithmes, c = 10. De là on trouve aisément que 1120-1024 = 96 soit 64+32, et donc en appliquant les logs à nouveau, a=5 et b =6. De toute façon vu que a

[@gudulezzz]

Je suis un grand fan de vos videos et je m'amuse à faire les exercices avant de les regarder. En général je trouve la bonne réponse en appliquant les principes mathématiques et très souvent, même si j'ai trouvé la bonne réponse, je me fais avoir par votre méthode qui consiste à aller au plus simple. Pour une fois j'ai appliqué ce principe. Comme d'autres l'ont écrit en dessous, j'ai pris la plus grande puissance de 2 inférieure à 1120, soit 1024. Je l'ai soustraite à 1120, ce qui me donnait 96. Par la même méthode j'obtiens 64 et 32. Coup de bol, mais ça marche. C'est comme ça que vous faites, d'habitude. Cela ne m'a pas empêché d'apprécier votre méthode. J'en profite pour vous féliciter pour votre travail. J'espère que vos élèves mesurent la chance d'avoir un prof aussi enthousiaste dans ses démonstrations.

[@antoinegrassi3796]

Aller au plus simple ? Pas vraiment 🙏 Moi aussi j'aime bien ses vidéos.

[@thierryf2789]

On montre d’abord que c 10 ne marchent pas donc C =10. Donc 2 a +2 b= 96x on montre que b 6 ne marchent pas . Doc. B=6 et 2 a = 32 donc a=5. Ça va très vite car à

[@twibby6625]

Probablement mon côté informaticien, mais j'ai décomposé en puissance de 2 comme si je voulais l'écrire en binaire^^ ca donne vite 32 + 64 + 1024 donc 5 6 et 10

[@Altharion]

Pareil, on prend la plus grande puissance de 2 inférieure au résultat et on est sûr que c'est 2^c. Donc 1024, c=10. Il reste 96, on refait pareil, 2^b=64, b=6. Et on prend le reste. Mais la démonstration fonctionne sur un cas général, par exemple si on avait des 3^quelque chose, qu'on ne connait très vite plus du tout par cœur !

[@42ArthurDent42]

​@@Altharion le ternaire ça passe encore, on connaît 27, on peut faire 27x27 de tête. Par contre avec 7 ou 13 c est plus velu 😂

[@michellepivert2490]

c'est facile quand on a la solution , pour ma part j'ai immédiatement divisé la premier membre de l'égalité par 2^5 cela donne 1 + 2 + 32 = 35 mais je vois que tous préfèrent plus compliqué , çà impose !

[@twibby6625]

@@michellepivert2490 diviser par 2^5 ca donne 2^(a-5) + 2^(b-5) + 2^(c-5) = 35, je sais pas si c'est vraiment plus facile^^

[@Damdoodam]

J'ai aussi utilisé la méthode rapide que tu cites pour trouver "le" résultat rapidement. Mais j'étais bien conscient que cette "méthode intuitive" ne garantissait aucunement l'unicité de la solution comme la démonstration de la vidéo.

[@eljulito775]

J'ai fait différemment En informatique et en logique binaire de manière générale (tout ce qui est puissance de 2) on apprends qu'on en sommant toutes les puissances de 2 jusqu'à 2^n on arrive à (2^n) - 1 Donc, 2^n est toujours > à la somme de plusieurs 2 puissance qqch quand ces qqch sont < n (et différents les uns des autres) J'espère j'ai été clair Donc comme on sait que dans l'énoncé, 1120 est la somme de trois puissances de 2 - on prend la plus grande puissance de 2 qui s'approche de 1120 : 1024 On fait 1120 - 1024 = 96 On prend la plus grande puissance de 2 qui s'approche de 96 : 64 96-64 = 32 et C'EST FINI On obtient 32 + 96 + 1024 = 1120 Donc a=5 b=6 et c=10 J'espère j'ai été clair dans mon explication compliquée

[@VIN.100]

J’adore cette démonstration, Bravo ! Ca fait longtemps que les maths sont derrière moi… Mais J’ai vite retrouvé des bases du calcul binaire d’une valeur numérique sur plusieurs digits… Soit pour la valeur 1120 les digits de poids 5, 6 & 10 sont vrais les autres sont faux… 🤓

[@mobeuar]

Alors, en partant du principe que a, b et c sont des entiers (parce qu'il faut d'abord partir sur une hypothèse facile) et comme dit dans l'énoncé a>b>c; Je sais que 2^9=512, 2^10=1024 et 2^11=2048; donc c9 parce que sinon c n'est pas le plus grand des exposants 1120-2^10=96 avec la récurrence de raisonnement, on trouve b=6 et a=5 Mais la solution avec la transposition binaire est à mon sens la plus élégante.

[@MrGautsu]

Vous me faites tous sourire avec votre binaire mais ici le but est d apprendre une methode. -tout le monde ne connais pas le binaire -on peut faire le meme exercice avec des puissance de 3 la methode marchera. Pas votre savoir du binaire. -Ces videos s adressent aussi a des etudiants (principalement ?) Et si dans une copie ya pas la demonstration juste le resultats c'est pas suffisant.

[@mataphax27]

Bon déjà comme le résultat est entier alors a; b et c sont >0 😅😅 j’ai plus trop d’idées là Bon finalement j’ai quand même essayer sur un papier et j’ai fait comme ça: On avait dit que a; b et c sont des entiers naturels non nul. Comme a

[@morphilou]

en fait des le debut tu sais que c = 10 car sinon vu que a

[@jeanjacquespascaud2746]

Tellement + vivant et plus communicant que la moyenne des profs sur les réseaux. Merci !

[@hannounzzz]

Very interesting channel ! Je comprend un peu le francais 😊

[@samuelsosa4911]

On peut aussi transformer 1120 en base 2 en binaire quoi et regarder les 1 est faire l'addition

[@christianf9865]

La démonstration proposée est intéressante mais à mon sens inutilement compliquée et donc pas en adéquation avec le contexte du problème posé ici (olympiade de maths). On dispose dans l’énoncé d’éléments précis (et simplificateurs) permettant d’arriver à la solution très rapidement et avec un minimum de calculs, à savoir qu’il faut trouver _exactement_ trois puissances de 2 (pas une de plus ou de moins), _toutes différentes_ (c’est en fait l’élément le plus important) dont la somme soit égale à 1120. Les candidats sont donc : 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512 et 1024 (les puissances suivantes étant évidemment hors concours) parmi lesquels il faut en sélectionner 3 à additionner pour obtenir 1120. Ceci étant posé, on voit immédiatement que 1024 fait forcément partie des nombres cherchés puisque sinon, le plus grand total possible serait 512+256+128 = 896 < 1120. Il reste donc à trouver deux autres puissances de 2 dont le total fasse 1120-1024 = 96. Là encore, le même raisonnement permet de voir de façon évidente que 64 est forcément l’une des deux (sinon le plus grand total possible serait 32+16 = 48, trop petit), il reste donc 96-64 = 32 qui est la dernière puissance cherchée. Au final, on a donc sélectionné, dans notre liste des puissances de 2, la cinquième, la sixième et la dixième soit (a,b,c) = (5,6,10) Et voilà, pas de factorisation, pas de décomposition en facteurs premiers ni de conversion en binaire, juste un raisonnement basique et un minimum d’opérations (même pas de multiplication, lister les puissances de 2 ne requiert que des additions), difficile de faire plus simple… 🤓

[@jige1225]

OK, monsieur le malin. Vous connaissez aussi les tables des puissances de 3, 7, 11, 13, ..., 61,... ?

[@brunoaugier]

Un développeur avec un peu d'expérience le fait de tête assez rapidement ;) A part ça, la mention a

[@lechaiku]

There is much faster solution. What you need is only a logic analysis of right hand side (1120). But you also need to make some conditions: a, b, c belongs to R (real numbers) and they are integers. 1120 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 35 1120 = 2^5 * (32 + 2 + 1) 1120 = 2^5 * (2^5 + 2^1 + 2^0) 1120 = 2^10 + 2^6 + 2^5 for a < b < c a = 5 b = 6 c = 10

[@jige1225]

Nice. Now do it with 3^a,b,c, 7^a,b,c, 13^a,b,c, 61^a,b,c, ... Do you know all the powers in those bases ?

[@lechaiku]

@@jige1225 Be adult. The problem was 2^a + 2^b + 2^c = 1120. BTW, you don't want to know all the powers, you must be able to understand how to calculate them. Got it?

[@ladre7422]

Je me suis rappelé que vous aviez fait une vidéo semblable. J'ai trouvé en m'aidant un tout petit peu de votre précédente vidéo. La factorisation est indispensable si on veut aller loin en math.

[@christophe_l_56]

J'ai converti 1120 en binaire et ça a été beaucoup plus simple et rapide !

[@helms4601]

Même réflexion !! Les puissances de 2. c'est direct le mode binaire qui se met dans ma tête et résolu en 3 secondes.

[@stevealfred3681]

Comment vous l'avez fait

[@42ArthurDent42]

​@@stevealfred3681 c’est basique, tu cherches la plus grande puissance de 2 inférieure, 1024, 2^10. Tu tombes sur 96. Tu recommences et tu prends 64, 2^6. Et tu tombés sur 32, 2^5. Et l’exo est fini

[@rolandflutet5048]

Pareil: la vidéo dure 11 minutes mais avec le binaire ça m’a pris moins d’une minute. En fait le binaire c’est le principe que chaque nombre peut être exprimé comme la somme de puissances de 2. Le nombre 101 en binaire c’est en fait égale à (1x2^2)+(0x2^1)+(1x2^0)=4+0+1=5 en decimal Du moment qu’on sait que TOUS les nombres décimaux peuvent être exprimés ainsi, et qu’il n’y a QU’UNE SEULE façon de le faire, alors tout va bien. Notez bien: ceci est possible car les valeurs de a, b et c sont différentes. Le principe: trouvez la puissance de 2 la plus proche en dessous du nombre: Ceux qui font de l’informatique savent que 2^10=1024 (c’est une valeur courante). C’est la bonne car la suivante est deux fois plus grande (2^11=2x2^10=2048) Donc de tête j’ai fait 1120-1024=96 Et on recommence donc avec le reste de la soustraction : la puissance de deux la plus proche c’est 64 (qui est 2^6) 96-64=32 qui est une puissance de 2 (2^5) En d’autres termes, la valeur décimale 1120 s’écrit ainsi en binaire: 10001100000 Une fois que tu as compris ça, tu peux créer autant de problèmes que tu veux: il suffit de partir du nombrE en binaire. Par exemple: 1001001100 (j’ai écrit ça au hasard) C’est 2^10+2^7+2^3+2^2 Ce qui fait 1024+128+8+4=1164 Donc l’énigme serait 2^a+2^b+2^c+2^d=1164 Et la seule solution possible est a=2 b=3 c=7 d=10

[@nicolashoumard5982]

@@42ArthurDent42 ça marche car si sont des entier positif et a

[@benjamincarpentier6958]

Décomposer un nombre en somme de puissance de 2, ça revient à ecrire le nombre en base 2. J'ai donc ecrit un tableau en commençant par 1024 qui est la plus grande puissance de 2 inférieure à notre nombre. Puis j'ai fait la soustraction et j'ai recommencé, un meu comme une division.. On retrouve le résultat très rapidement de cette façon.

[@toto-sh8tv]

On sait aussi que quelque soit la base b choisie la décomposition en somme de a*b^i est unique (1 =0). Donc en décomposant 1120 en somme de puissances de 2 (comme beaucoup de gens, dont moi, l'ont fait, comme indiqué dans les commentaires), on peut plus facilement et plus rapidement en déduire a, b et c.

[@racheldorchel9365]

J'adore ! avec vous les maths sont trop cool

[@sarahpierris3004]

2^10+2^6+2^5 la solution de Gilead est une façon de faire, une autre façon de faire étant de diviser par deux jusqu'a un nombre impair, puis retrancher un puis diviser par deux etc (ordre inverse) si on connait les puissances l'autre exemple cité vient tout de suite 4080=4096-16. Il me semble que la solution de Gilead Maerlyn est assez naturelle.....à mediter...

[@GileadMaerlyn]

Connaissant bien les puissances de 2, j'ai vu très vite sans rien poser ni calcul compliqué que {a,b,c} = {5,6,10}

[@GileadMaerlyn]

J'ai fait 1120, c'est plus grand que 1024, je prends 1024, il reste 96, ça fait 32 + 64, on est bon.

[@armand4226]

Mais comment tu fais 😢👍? C'est impressionnant ?

[@GileadMaerlyn]

@@armand4226 C'est une méthode pour convertir un nombre en binaire en fait.

[@booli8542]

C'est bien de "deviner la réponse" rapidement, mais ça ne passerait pas lors d'un examen, tu ne fais qu'exhiber une solution mais tu ne montres pas l'unicité. En résolvant comme dans la vidéo, on sait qu'on a trouvé la seule et unique solution.

[@GileadMaerlyn]

@@booli8542 C'est une conversion en binaire (10001100000), il n'y a pas d'autre possibilité par définition.

[@Le_Random_guy]

T’es vidéo sont tellement bien que Je regarde t’es vidéo à 2h du match à cause d’une insomnie.😂❤

[@tme2912]

ben si on fait de l'informatique c'est la traduction en binaire ( puissances de 2 ) : EN programmation on doit connaitre ces limites suivant les types de variables utilisées ( signed, short, int, long ) limite de 16 bits: 1, 2, 4 ,8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65636 Dans 1120: la plus petite puissance de 2 : 1024 ( 2^10 ) reste 96 : on enlève 64 ( 2^6 ) reste 32 ( 2^5 )

[@sarahpierris3004]

oui sauf que là tu tatonne comme il faut, exactement comme on fait une division au début, la solution directe en inverse est la division par deux puis la soustraction de un ainsi de suite, puis la recompilation. Cinq divisé par deux c'est 2*2+0,5*2..... certes, mais 5 divisé par deux c'est 2,5 (analogie)....

[@sarahpierris3004]

1157=1+1156=1+578*2=1+289*4=1+4*(1+288)=1+4*(1+72*4)=1+4*(1+32*9)=1+4*(1+32*(1=8)=2^0+2^2+2^7+2^10

[@sarahpierris3004]

65536, 131072, 262144, 524288,1048576, 2097152 allez donnons nous 5 bits de plus! lol

[@tme2912]

@@sarahpierris3004 Oui je comprend. mon vieux cerveau a tellement fait de binaire qu'il a vu tout de suite 1024+96+32. hahaha.

[@sarahpierris3004]

@@tme2912 bin c'est super d'arriver à le faire directement, en calcul mental... et c'est une solution trés naturelle...

[@rickydlayaute5387]

Quelle régalade!!!! 🤩 Bon j'avais fait l'truc à la Barbare !!!😱et ...bien sur pas aussi élégamment que the Meister!! 🙏😔🙏 Richard dl'la Yaute 👍😎🏁🐆

[@dominic76v]

Avec des puissances de 2, c'est très facile pour un informaticien comme moi car je connais toutes les puissances de 2 jusqu'à 2^16 (65536). Je l'ai fait de tête : 1120 - 1024 = 96, 96 - 64 = 32. 1024 = 2^10 , 64 = 2^6 , 32 = 2^5 Pour me défaire de ce que je connais par cœur, j'ai refait l'exercice avec des puissances de 5. J'ai reconstruit l'équation en calculant 5^2 + 5^5 + 5^8 = 393775 Puis j'ai essayé de résoudre l'équation : 5^a + 5^b + 5^c = 393775 5^a ( 1 + 5^(b-a) + 5^(c-a)) -> ce qui est entre parenthèses n'est pas divisible par 5, puisque c'est 1 + un multiple de 5 J'ai retrouvé le même raisonnement que le professeur, ouf ! Pour arriver aux puissances 2, 5 et 8 que j'avais utilisées pour bâtir l'équation.

[@christianhenrivasseur5524]

après un bac C en 1975 je te regarde comme une série Netflix et j'apprécie

[@cyruschang1904]

a < b < c 2^a + 2^b + 2^c = 1120 2^a (1 + 2^(b - a) + 2^(c - a)) = 1120 = 4 x 280 = 4 x 4 x 70 = 4 x 4 x 2 x 35 = 2^5 x 35 => a = 5 et 2^(b - a) + 2^(c - a) = 34 2^(b - a) (1 + 2^(c - a - b + a)) = 34 2^(b - a) (1 + 2^(c - b))= 34 = 2 x 17 2^(b - a) = 2, b - a = 1, b = 6 2^(c - b) = 16 = 2^4, c - b = 4, c = 10

[@capotthomas9719]

Y a une méthode assez sympa avec les puissances de 2, on peut se servir d'une forme de dichotomie. Je m'explique : quand on ajoute des puissances de 2 sans coefficients (2^a + 2^b + 2^c c'est le cas) on ne pourra jamais atteindre 2^(c+1), puisque c est la plus grande puissance et que si on faisait la somme des 2^k de 0 à c on obtiendrait très exactement 2^(c+1) - 1. Forts de cette observation, on note toutes les puissances de 2 jusqu'à 1120. 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128 ; 256 ; 512 ; 1024. Pour former 1120, on est obligé de mettre un 1024, sinon on ne pourra jamais atteindre 1024 simplement avec des puissances de 2 inférieures (512 et plus petit), or on veut atteindre 1120. ON injecte donc un 1024, et restent 96. C'est du gâteau, 96 = 64 + 32. 1120 = 1024 + 64 + 32 = 2^10 + 2^6 + 2^5. a=5 ; b=6 ; c=10 C'est la méthode de conversion en binaire d'ailleurs... 1120 (dec) = 10001100000 (bin)

[@michelbernard9092]

Ce que vous dites est d'ailleurs vrai avec toutes les puissances et toutes les "bases de numérotation" : k^a+k^b+k^c

[@capotthomas9719]

@@michelbernard9092 peut-être que le prérequis est pas évident mais j'ai quand même l'impression que ça va beaucoup plus vite que cette méthode arithmétique à deux étapes

[@michelbernard9092]

@@capotthomas9719 Mais je n'ai pas dis le contraire ! Je généralisais les principes de numération en base k., ce que vous dites pour les 2^n est valable pour les k^n. Pour ma part, concernant cet exercice et comme je l'ai indiqué, j'ai procédé par la méthode d'exhaustion, qui conduit à la solution unique en 2 minutes et sans crayon.

[@urluberlu2757]

J'avais utilisé la décomposition du nombre en binaire (méthode plus rapide, mais du coup c'est intéressant de voir ta méthode de résolution, toujours bien expliquée👍

[@dadou885]

Avec l'informatique, j'ai vite pensé en binaire. 1120 ? Donc il y'a surement du 1024. 1120-1024 = 96, donc si on prends par ex 32, 96-32 = 64 = 2^6 ( + 2^5 pour 32 et 2^10 = 1024)

[@kanekaiiishoyo3378]

Très fort !

[@tipeon]

Ah! Ah! Quand on est informaticien et qu'on sait compter en binaire, c'est facile. 1120 s'écrit 0000 0100 0110 0000 en binaire, et il suffit de compter la position des 1. (le bit tout à droite, c'est 2^0; celui un cran à gauche, c'est 2^1, puis 2^2, 2^3, etc)

[@davdav2327]

Magnifique 😊, il me semble que tu pourrais être prof de maths 🤣🤣

[@jeanpaullamont]

L'écriture d'un nombre dans une "base" numérique est unique et pour la base 2 les coefficients des puissances de la base sont 0 ou 1 donc la question a une solution unique avec des entiers si 1120 est décomposable sur 3 puissances de 2 ...ce qui est le cas. Maintenant si a,b,c ne sont pas des entiers...il y a une infinité de solutions par exemple a=6,3 c=9,5 et soit d=1120-2^9,5-2^6,3 et b=ln(d)/ln(2) valeur exacte qui vaut environ 8,3089.

[@bernardbrinette5388]

j'avoue que j'ai trouvé (pour une fois) la solution en 10 secondes, d'habitude, j'ai du mal en 2 minutes 😉. La solution a été donnée par d'autres, mais face à ce nombre, je suis simplement passé par les puissances de 2, j'ai commencé par la plus proche qu'on connait qui est 1024. Il restait 96, j'ai pris 64 et il restait 32 qui est une puissance de 2. J'avais donc mes nombres presque instantanément 2^5,2^6 et 2^10. Dans une olympiade, j'aurais rattrapé du temps cette fois-ci. 🙂

[@sebastiencaine9781]

Merci pour le défi, un collègue ;) ... défi relevé, avant visionnage! Un pouce bleu bien-sûr!

[@hasaroff7]

J'ai directement cherché les plus grandes puissances de 2 s'en rapprochant, donc 1024 la plus grande possible, puis compléter à chaque fois donc en ajoutant 64 puis 32, dans l'ordre inverse 😅 mais l'exercice avec des puissances plus complexes comme 3, 4, 5 pourrait être bien intéressant car pas possible de contourner facilement!

[@michelbernard9092]

Pareil, car de toutes manières il n'y aurait pas eu beaucoup d'autres possibilités si la première consistant à soustraire 2^10 ne fonctionnait pas.. 2 minutes de tête 😀

[@charles-arthurradford957]

Oui, c'est également la solution qui m'a parue la plus évidente...

[@lebalrog1093]

Effectivement, mais comme tu le dis à "grande échelle" si ça n'avait pas été 1120 mais un nombre à 7 chiffres par exemple cette méthode prend tout son sens ^^

[@michelbernard9092]

Plus avant, remarquons que si 2^10 ne fonctionne pas, alors il ne peut pas y avoir de solution, car les max des deux autres termes seraient alors 2^7 et 2^8 (du fait que a

[@arthurchefang7283]

c est vraiment passionant

[@ph.so.5496]

Whaoooo !!!! C'est fort !Beau multi raisonnement !👍

[@olivieragossou]

C'est juste wow🙌🏿

[@niluje94]

J'ai tenté 1024. coup de bol avec les 96 restant on peut faire 64 + 32. Bon ! maintenant que pour une fois je trouve en moins de 30 sec avec la chance, regardons la vidéo, et surtout voyons s'il existe d'autres trios de solutions :)

[@christianbarnay2499]

Ce n'est pas un coup de bol. C'est l'autre méthode classique de conversion en binaire : soit on divise par 2 de manière répétée comme dans la vidéo (décomposition dans le sens montant), soit on soustrait la plus grande puissance de 2 possible à chaque fois (décomposition dans le sens descendant).

[@christianf9865]

Compte tenu du contexte dans lequel le problème a été posé (Olympiades de maths), c’est même à l’évidence ce type de raisonnement (qui permet de résoudre le problème en quelques secondes avec un minimum de calculs) qui est attendu, plutôt que de tomber dans le piège d’une approche purement mathématique longue et quelque peu fastidieuse (pour ne pas dire « bourrin » 😊)

[@SamsungSamsung-oj7jy]

Exercice dans l'exercice j'adore

[@lesvideosdedarrio]

Très bonne vidéo, bien expliqué. Avec votre permission, je compte faire la même vidéo sur ma chaine en ajoutant un signe - devant 2^b. Sans l'hypothèse a < b < c que vous avez mis, on aurait pu aboutir au triplet suivant comme solution (5,6,10) et toutes ses permutations car l'équation est symétrique. Merci pour cette belle vidéo.

[@ludoviccruchot5984]

Super, j'adore. Merci !

[@naturalbeatmaker7785]

J'ai trouvé le résultat par déduction sans factorisation ou décomposition : La somme donne 1024 donc la valeur de c ne peut être supérieure à 10 car 2^11 = 2048, c étant l'exposant le plus grand ; ensuite on voit que nécessairement c=10 car si c=9 on a 2^9 = 512 il vient qu'on ne peut jamais atteindre 1120 car même en prenant 7 et 8 pour a et b (les plus grandes valeurs possibles), on a 128 + 256 + 512 = 896 < 1120. Donc c=10 et 2^c = 1024 ensuite il reste 2^a + 2^b = 96 (en soustrayant 1024 des deux cotés). Avec un raisonnement analogue on trouve que b=6 car 7 impossible (2^7=128) et si b inférieur à 6 on ne peut jamais atteindre 96. Il vient donc que a=5. cqfd

[@eldiraenarion4206]

Avec des puissance de 2 c'était jouable en brute force, 2^10 = 1024 et ensuite il suffisait de décomposer le reste (96) en puissance de 2 et ça donnait 64 et 32 (2^6 et 2^5). Bon après si on met des puissance de 3 je ne sais plus rien faire, donc je vais noter cette méthode dans un coin. Merci

[@toto-sh8tv]

La méthode marche que pour les puissances de 2, pour les puissances d'un nombre n supérieur y aura des coefficients multiplicateurs compris entre 0 et n-1 devant tous les n^p.

[@Pandemonis]

C'est marrant, j'ai d'abord décomposé 1120 en puissance de 2, avant de m'intéresser au reste de l'équation. Et ensuite quand j'ai 2^a + 2^b + 2^c, je me suis pas intéréssé aux nombres impairs, j'ai fait 2^0 = 1. Après, ça suppose que a b et c soient tous entiers naturels positifs, mais je me demande toujours s'il y a pas des solutions dans d'autres ensembles ^^

[@feerien]

a = ln[120 - (2^b + 2^c)] / ln2 Si on se limite aux réels, ça implique 2^b + 2^c < 1120. Il me semble qu' avec a

[@jesaispas-f1b]

moi c'est moins élégant mais je savais que la puissance la plus proche était 1024 (soit 2^10) donc j'ai fait 1120-1024 = 96 et 96 et j'ai tâtonné pour trouver deux puissances de 2, j'ai vite trouvé 64 et 32. Finalement c'est le même principe mais en connaissant les puissances c'est tout de suite plus simple (et j'ai eu de la chance aussi)

[@Rom_2_RL]

Je l'ai fait de tête grâce à l'écriture des nombres en base binaire (niveau 1ère Spé NSI) :)

[@lecodeurfute4287]

La clef dans cette affaire est en réalité la décomposition en facteurs premiers : en effet, comme on a l'unicité, on peut facilement identifier le facteur impair pour résoudre l'équation.

[@frob8794]

Approche informatique : 1120 s'écrit, en binaire : 100 0110 0000 soit : 100 0000 0000 (2^10) + 100 0000 (2^6) + 10 0000 (2^5) Plus généralement, dans n'importe quel nombre exprimé en binaire, les différentes puissances de 2 qui le composent apparaissent sous forme de 1

[@khaledyanat2391]

Bravo, belle méthode. Salutations

[@jean-lucfischer8657]

Très joli!

[@ArnaudCroizitPerso]

Conversion de 1120d en binaire. Résultat : 10001100000b.

[@stephanedame9805]

superbe. je l'avait pas celle la

[@RaphaelRousseau]

Étant bien trop fainéant pour faire tout ce développement, j'ai pris le problème dans l'autre sens : je suis parti de la puissance de 2 la plus proche du résultat, c'est à dire 1024 (2^10=1024). Je me suis alors penché sur ce qu'il restait à trouver 1120-1024=96. La puissance de 2 la plus proche de 96 est 64 (2^6=64). Le reste est 32, donc 2^5. a=5, b=6, c=10. C'était un peu trop facile, il y aurait pu avoir des pièges qui m'auraient forcé à revenir en arrière, mais ce ne fût pas le cas. 😊

[@Shroosk]

Question trivial pour un informaticien. En gros quel est le code binaire de 1120, c’est immédiat. On sait qu’il n’y a qu’une seule façon d’écrire 1120 en binaire donc en décomposition de puissance de 2. Le plus proche de 1120 c’est 2ˆ10 = 1024; il reste 96. Le plus proche c’est 64=2ˆ6, il reste 32. Le plus proche c’est 32=2ˆ5.

[@originvigilancesergethomas405]

Merci !

[@michellepivert2490]

autre raisonnement ; 1120 = 2^5 X 35 , cela signifie que chaque élément de la première partie de l'égalité est divisible par 2^5 , il n'y a pas de puissance négative donc a = 5 , c = 10 1120 - ( 1024 + 32 ) = 64 = 2^6 5 , 6 , 10 sont les exposants 2^0 + 2^1 + 2^5 = 35 1 + 2 + 32 = 35 compris ??

[@cofbmaitres1177]

Je suis parti du fait que 2^10=1024. Et ensuite, j'ai fait 1120-1024=96. Et ensuite, en tâtonnant, j'ai trouvé que 2^6+2^5=64+32=96, donc a=5, b=6 et c=10

[@greghanssen]

J ai fait pareil :)

[@ht7332]

C>b>a on pose c=a+k et b=a+ m

[@mataphax27]

J’ai fait comme ça pour être sûr de de ne pas me tromper 👍🏿

[@petruscerisier5086]

On pourrait décomposer 1120 en puissance de 2. La plus grande puissance de est 2¹⁰ qui est égal à 1024. 1120 - 1024=96 96 n'est autre que 64+32: 2⁶ +2⁵ Donc 2⁵ + 2⁶ + 2¹⁰ = 1120 D'où a=5, b= 6 et c= 10

[@---ze8tc]

Division de 1120 par 2 jusqu'à obtenir un impair, obtient a. Enlève 1, continue jusqu'à obtenir b et voir c dans ce qu'il reste (16=2^4)

[@flight7218]

ce qui se cache derriere cet exo est une juste une conversion d'un nombre en base 10 vers un nombre en base 2

[@cedricserieys9768]

Quand on touche au binaire quotidiennement via un taf de développeur la solution 5/6/10 arrive en 10 secondes. Pour une olympiade c'est pratique. J'imagine qu'on ne demande pas de démonstration ?

[@beixoultes]

Les puissances de 2 sont des amies, donc je sais que 1120 c'est un peu plus que 1024 (2^10) donc c=10 1120-1024=96. 96 c'est entre 64 (2^6) et 128, donc b=6. Ensuite 96-64=32 (2^5), et on retrouve a=5. C'est moins scolaire, et j'aurais sans doute eu plus de mal avec les puissances d'un autre nombre (ou des puissances plus grandes), mais ça m'a permis de le faire de tête en quelques dizaines de secondes.

[@draconsilver]

Il faut connaître les puissances de 2. Si la plus grande puissance est 512 ça ne marche pas donc la plus grande est 1024 (2^10). c=10. Du coup le problème est réduit 2^a+2^b=96. La c’est pareil si 2^b =32 ça ne peut pas marcher donc 2^b=64 2=6. Reste à trouver 2^a = 32 donc a=5.

[@hafidibrahim134]

Belle méthode

[@elazrod5837]

Tu peux le voir comme une conversion de decimal à binaire en passant par une division euclidienne successive

[@michellepivert2490]

vous causez bien , lancez vous dans la politique .

[@elazrod5837]

@@michellepivert2490 merci du conseille, j'avais pas d'idée pour mon avenir et tu viens de m'éclairer. Tu pourras devenir conseillère d'orientation.

[@michellepivert2490]

@@elazrod5837 tu causes bien , mais évites d'écrire , tu trahis ton niveau .

[@elazrod5837]

@@michellepivert2490 tu as que ça à foutre de tes journées de venir ajouter des commentaire sans intérêt? Peut-être pour que tu trouves un sens à ta vie? C'est vrai que à la retraite on a pas grand choses à faire a part de l'accordéon 😉

[@fredericlegros6690]

Super prof..

[@jidehuyghe4051]

Sympa mais jamais vu un tel exo !

[@michellepivert2490]

Solution empirique à l'arrache ! ; la plus grande puissance de 2 c'est 2^c 2^11 = 2048 non 2^10 = 1024 est-ce la solution oui car 2^9 + 2^8 + 2^7 = 896 reste à trouver 2^a + 2^b = 96 en écrivant les puissances de 2 on va trouver successivement 32 et 64 a = 5 , b = 6

[@aboiyad0602]

Bravo!

[@marcaliasmarcorel2794]

Etant habitué aux puissance de 2 donc j'ai trouvé ça assez simple. Sur cet exemple, j'ai cherché la puissance de 2 immédiatement inférieure ou égale au résultat. Celle qui correspond le mieux est 2^10 =1024, on a donc trouvé la valeur de C=10. Il reste 1120-1024 =96, ont fait exactement le même résonnement, la puissance inférieure ou égale à 96 est 2^6=64 d'où B=6. Il reste 96-64=32 qui est une puissance de 2, 2^5 pour être exact donc A=5 Attention spoil : Le résonnement est sensiblement le même pour la diapo 2^n-2^m=4080 sauf qu'on part d'une puissance de 2 supérieure ou égale au résultat pour n ... et ça donne 2^12 -2^4 ...désolé 😉

[@hoseimbahra9956]

Au top

[@MrKingpingouin]

Comment rendre quelque chose d'aussi simple aussi compliqué...

[@armand4226]

Arrivé a 10:45, je ne me souvenais même plus ce qu'on cherchait à l'origine. C'est très souvent comme ça pour moi. 😂

[@j.c4007]

Super 👍👍👍👍

[@Ctrl_Alt_Sup]

1120 c'est pas loin de 1024... la différence c'est 96... et 96 c'est 64 + 32, bref... 1120 = 2^5 + 2^6 + 2^10 Edit : Tous les amateurs d'informatique connaissent les puissances de 2 jusqu'à 4096 ou 8192. Ici on cherche une somme de 3 puissances de 2, toutes différentes. On voit de suite que l'un des nombres sera nécessairement 1024. En effet, une somme de 3 nombres différents dont le plus grand serait 512, par exemple 512+256+128, restera inférieure à 1120. Et une somme contenant 2048 sera bien sûr supérieure à 1120. Il reste donc à chercher deux nombres dont la somme est 1120-1024=96 Et on identifie facilement 96 = 64 + 32 parmi les premières puissances de 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...

[@destiny_bounty]

Tu peux aider dans cette question si b différent de 0 montrer que (b+8)le tous au cube appartient à l'ensemble Q

[@ddvrt4046]

Cela s'appelle une décomposition en nombre premier !

[@jacquesperio3017]

Méthode bourrin: On décline les puissances de 2, sachant à priori que l'ami 2^10=1024 va forcément servir pour arriver à 1120. On déroule : 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 De 1024, pour aller à 1120, il manque 96. O joie, 96=32+64, soit 2^5 + 2^6!!!! Donc, a=5, b=6, c=10.

[@saidelmenjaoui4216]

Bonjour. Je vais vous montrer une méthode plus simple. 1120=2⁵ x 35 Notre équation devient 2ª + 2^b + 2^c = 2⁵ x 35 On simplifie par 2⁵ 2ª-⁵ + 2^b-⁵ + 2^c-⁵ = 35. (1) Maintenant nous cherchons une somme des puissances de deux qui vaut 35 2⁰=1 , 2¹=2 , 2²= 4, 2³=8 , 2⁴=16 , 2⁵=32 C'est bien 2⁰+2¹+2⁵ = 35 (2) Par la suite, de (1) et (2) nous remarquons que a vaut 5 b vaut 6 C vaut 10 Said du MAROC.

[@armand4226]

A partir de 8:20 .... complètement perdu, moi.😢 Comment résoudre : c-a-(b-a) ? Comment travailler cette parenthèse ? Ça devient : c-a-b+a ? Donc, comme dit Iman, -a+a s'annule et il reste c-b ? C'est ça. Si oui heureusement qu'il l'a expliqué, parce que pour le trouver sans ... ouch 😢. A 8:27 "b plus moins b" ???😢😢 S'ils partent, pourquoi il en reste un dans "c-b", hein ???

[@ladre7422]

Factorisation avec des puissances. Si les lettres sont génantes remplace par des chiffres

[@rajeshvaghela12]

I don't know your language but understood math😊

[@Kaggan-zf7np]

L'utilisation du binaire a un avantage : tout nombre peut s'écrire en binaire. De plus, le binaire, c'est juste des additions. Du coup, on commence par faire quelques multiplications rapidement, on va multiplier par 2 (en gros, on va calculer quelques 2^n). donc, en commençant par 2^0, on va aller jusqu'à 2^10 : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. Maintenant, on soustrait le plus grand nombre possible : 1120-1024= 96. Ok, 1024 c'est 2^10. 96, le plus grand 2^n plus petit, c'est 64. 96-64=32. Ok, 64 c'est 2^6. 32, il est dans la liste, 32-32=0. Ok, 32, c'est 2^5. Du coup, 2^5+2^6+2^10= 32+64+1024= 1120. Voila =) On peut même dire que l'écriture binaire de 1120 c'est 10001100000 Si vous voulez aller plus loin, regardez comment compter jusqu'à 31 avec une main et jusqu'à 1023 avec vos deux mains .