Homotopie - 02 - Groupe fondamental

[@MathsEtoile]

Désolé pour la luminosité, j'ai mal géré mon éclairage, ce sera mieux la prochaine fois.

[@ALIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII]

​​@@Tbop3 pas d'accord c'est très bien comme ca :)

[@julien4230]

@@Tbop3oui c’est bien comme ça. C’est original.

[@arnaudrivoira6242]

La construction détaillée de l'homotopie pour l'inverse est super. En complément, on peut sans doute faire un dessin qui rend la chose peut-être un petit peu plus intuitive. Quand on arrive à la fin du premier lacet et qu'on repart en sens inverse, on peut mentalement "couper" ce point d'attache en x0 pour ne garder plus qu'un seul lacet qui contourne le trou en le laissant toujours d'un seul et même côté, trivialisant ainsi l'infortuné lacet composite. J'aurais bien ajouté l'illustration géométrique complète de tout ça malheureusement la marge des commentaires KZbin est trop étroite pour la contenir.

[@Nathnath_N]

23:00 n'as-tu pas fait parcourir gamma_barre puis gamma à H ? Il me semblait que sur ton dessin on parcourait d'abord gamma puis gamme_barre... De toute façon en faisant gamma puis gamma_barre, il suffit que H associe à (s,t) : gamma_barre(2s-1) ; gamma_barre(t) ; gamma(2s) ; en gardant l'ordre des conditions sur s, pour arriver à une homotopie correcte, donc on retombe sur nos pieds 👌 Merci pour tes vidéos c'est très clair !

[@SefJen]

Ta série et ta chaîne en général sont super-intéressantes, j'avais déjà suivi la théorie de Galois. Tu avais fait l'impasse sur la séparabilité en choisissant de n'opérer que sur des corps parfaits. Mais c'était bien fait quand même. Concernant la topologie algébrique, le groupe fondamental, ainsi que les groupes d'homotopie, d'homologie et de cohomologie sont-ils exploitables via la théorie des groupes ? Trouve-t-on des théorèmes en étudiant leur structure, leurs sous-groupes, leurs produits, leurs quotients, leur ordre, etc ? Ou bien le fait d'exhiber ces groupes est-il une fin en soi, un peu comme le théorème de Fermat, résolu, mais peut-être sous-exploité (je ne suis pas certain que le théorème de Fermat soit inutile, mais je n'en connais pas d'application, à mon humble niveau). On pourrait aussi comparer la situation à la théorie de Galois, qui utilise aussi la notion de groupe, mais n'exploite pas tout leur potentiel. Mais je ne suis pas allé assez loin dans les études (M1 Maths Fonda), pour être absolument affirmatif sur le sujet. Quoi qu'il en soit, je vais devoir me faire aussi ta série sur l'Analyse Complexe. Tu expliques bien, je trouve. Continue.

[@k_meleon]

Je me posais quand même une question, on veut montrer que des espaces sont différents en montrant qu'ils ont des groupes fondamentaux différents mais pour l'instant le groupe fondamental dépend du point base. Du coup est-ce qu'il faut en comprendre que tous les groupes fondamentaux d'un espace sont isomorphes ? Si oui, est-ce que c'est immédiat ?

[@k_meleon]

ah en fait en réfléchissant un peu on a une sorte de formule de changement de point base si je me trompe pas... Si on a un point x_0 et un point x_1, pourvu que l'espace soit connexe on a un chemin c entre x_0 et x_1 et l'application qui a un lacet gamma associe c^-1 gamma c définit peut être bien un isomorphisme entre les groupes

[@MathsEtoile]

Cette question est le sujet de la prochaine vidéo hehe ;) Ça prend de l'avance ici !

[@Eric-jm6he]

@@k_meleon Prendre espace connexe par arcs plus précisément

[@nicopb4240]

Merci!

[@Nononinon8non]

Salut est-ce que tu peux faire des exos niv fin terminale debut sup stp?

[@0sKiDo]

Génial merci

[@sagisagi3419]

Pour le nombre de tours on pourrait se servir d'un potentiel isomorphisme entre Z^p et le groupe fondamental si l'espace a p trous ? Sinon comme d'habitude superbe vidéo ! Hâte de la prochaine !

[@julien4230]

As-tu un update de ton PDF ?

[@MathsEtoile]

Je le poste ce soir sous cette vidéo, j'ai pas fini d'écrire ce que je voulais encore !

[@MathsEtoile]

Edit : l'ancien lien est mis à jour, je le reposte ici : www.normalesup.org/~fjacobe/Topo.pdf

[@AminePolitics]

Si quelqu'un peut eclairer ma lanterne svp, j'ai pas vraiment compris ce que c'est que "classe de gamma", on dit que c'est un chemin fermé, mais ne désigne pas t on ce même chemin ci par un simple gamma de t ?

[@remiandre5475]

Je pense que c'est l'ensemble des lacets homotopes à gamma (et qui appartiennent à E)

[@TheNightFox919]

Étant donné une relation d'équivalence ~ sur un ensemble X, la classe d'un élément x ∈ X est l'ensemble [x] = {y ∈ X : y ~ x}, donc l'ensemble des éléments reliés à x. Ici, la relation d'équivalence ~ entre deux lacets correspond à l'existence d'une homotopie entre eux, la classe d'un lacet γ correspond donc à tous les lacets homotopes à γ. Plutôt que de regarder chaque lacet de manière individuelle, on considère un lacet et tous les lacets homotopes à lui comme étant "la même chose". Formellement, on regarde [γ].

[@dommartin8814]

Série très intéressante. Seul bémol au niveau pédagogique, une ellipse importante à 25'43" où on se retrouve subitement avec l'expression de l'homotopie H (s, t) sans que soit expliqué comment elle est obtenue pas à pas.