ITA 2019 - Questão de Trigonometria

[@moisessantos9379]

as questões do ITA são sempre muito lindas. Existe o caminho difícil que envolve cálculo ou muita conta, mas sempre tem a saida elegante.

[@matematicafundacao]

Obrigado pelo comentário Moises.

[@ricj9594]

Além de ser fera em matemática, o senhor tem o dom de ensinar. Parabéns professor!!

[@matematicafundacao]

Muito obrigado, Ric.

[@felsiq]

Hoje recebi este vídeo no meu feed de recomendação, e ao olhar o "estilo" e o nome do canal, lembrei instantaneamente que eu estudei matemática também com seus vídeos na época que prestei vestibular. Hoje eu já estou formado, e no meio do meu mestrado! Obrigado pela ajuda!

[@pedrooliveirasantos6699]

Pra quem ficou com medo da identidade inicial pra transformar em 1 - 3senx^2*cosx^2, é possível fazer a questão sem ela sem deixar de ter uma resolução sucinta, basta tratar sen(x) = A; cos(x) = B e utilizar a relação fundamental dos senos, tendo então o seguinte sistema após a substituição: A^6 + B^6 = 7/12 (equação do problema) A^2 + B^2 = 1(relação fundamental) Basta então isolar o A(ou B) na relação fundamental tendo então A = sqrt( 1 - B^2) Substituir essa relação na equação do problema e fazer a expansão, depois de cancelar os termos correspondentes o problema vira o biquadrado simples que chegou-se no final da resolução do vídeo

[@rhyghner]

Pense num vídeo bom, peguei até um cafezinho.

[@rafaelscalabrindosso6423]

Didática impecável. Parabéns! 👏

[@muriloaguiar5812]

Obrigado pelos seus vídeos, Mestre! Foram fundamentais nos meus estudos para a Fuvest… Consegui entrar na USP, e sou muito grato pelo seu trabalho! Continue sempre com os vídeos!

[@matematicafundacao]

Parabéns pela aprovação! Vai cursar o que? Obrigado pelo comentário.

[@Johngarajones]

Volte a fazer vídeos professor! Suas aulas são maravilhosas

[@fubukeh2938]

Obrigado por suas aulas professor, me ajudaram muito na minha preparação e graças a Deus consegui ser aprovado no curso que eu queria! Parabéns pela excelente didática!!

[@matematicafundacao]

Parabens pela aprovação e fico me sinto realizado quando consigo ajudar as pessoas.

[@pauloguibor3017]

Explicação animal dms. Parabéns muito bom o trabalho

[@lorinhosilva4702]

Fenomenal professor Cersa !!

[@ex-agentedacia521]

Bom dia Cesar, pra mim você é um ídolo te acompanho a um tempo e sou seu fã número 1

[@luisfelipe228]

é o melhor professor do KZbin sem dúvidas

[@matematicafundacao]

Oi Luís, muito obrigado.

[@PedroFerreira-mz6cr]

Bela aula!

[@thiagotardin4634]

Tu me ajuda muito,gosto muito de seus videos

[@matematicafundacao]

Muito obrigado, Thiago.

[@lordusk7460]

Adoro seus vídeos. Vc não tem noção de como está me ajudando. Obrigado e fique com Deus.

[@matematicafundacao]

Lord, obrigado pelo comentário.

[@gilmarveiga6]

Não conhecia a Identidade Trigonométrica revelada. Mas certamente o caminho da solução , que eu adotaria,, passaria por encontrar alguma coisa parecida ou a própia, Valeu mestre!

[@matematicafundacao]

Obrigado, Gilmar.

[@vitovitovito3693]

As melhores resoluções!

[@matematicafundacao]

Muito obrigado.

[@JoaoPaulo-dk7si]

ótimo vídeo

[@matematicafundacao]

Obrigado, João.

[@brunocloss2388]

Que questão linda!!

[@ViniSeven1]

Uma boa alternativa é realizar uma substituição de variável. Supondo u = (senx)^2, pela relação fundamental da trigonometria, (cosx)^2 = 1 -u. Logo a equação se reduz a u^3 + (1-u)^3 = 7/12. Fazendo a algebra, o termo ao cubo se cancela e vira uma simples equação de 2 grau.

[@vhsanson]

Parabéns pela didática professor.

[@matematicafundacao]

Obrigado!

[@dancleitonpaulino7632]

Show de resolução

[@matematicafundacao]

Muito obrigado.

[@ProfessorDaviLima]

Linda solução. Muito elegante!

[@matematicafundacao]

Muito obrigado!

[@pedromartins-qk4xq]

Muito legal a resolução. +1 inscrito

[@arthurarend4672]

parabéns, professor, ótimo vídeo!

[@matematicafundacao]

Valeu!!!

[@Caiomiguel60]

Sensacional

[@mateusrbrasil9770]

Qual é o tamanho desse lápis?

[@MatheusVcosta]

Nesse final não precisava usar a relação fundamental. Só passava a potência como raiz e depois usava a identidade de Sen(2x).

[@Venuxvt]

Botei na playlist de dormir, melhor q muito asmr

[@PedroHenrique-rc4eb]

parabéns,mestre. Acho seu trabalho sensacional

[@matematicafundacao]

Muito obrigado, Pedro Henrique.

[@RicLaGuardia]

Perfeito, Cesar ! Parabéns !

[@matematicafundacao]

Valeu Ricardo, obrigadão!

[@lordfalcon]

Muito bommm!

[@eu1043]

Óptimo!

[@leonardo1361]

Te acompanho desde 2019 e os vídeos sempre me ajudaram muito. Vlw, professor👊

[@matematicafundacao]

Valeu, Leonardo, fico feliz em ajudar!

[@Prof.EduardoCardoso]

Show!👏👏👏👏😎

[@canalzedobarco1574]

Você é lendário.

[@matematicafundacao]

Rsrs... obrigado!

[@igorneirao2575]

quase um asmr seus videos

[@marlonsantos9781]

Onde se aprende isso na escola

[@matematicafundacao]

Oi Marlon, esse assunto deveria ser parte do currículo de ensino médio, embora vc deva encontrar facilmente nos cursinhos preparatórios.

[@marlonsantos9781]

@@matematicafundacao conclui o ensino médio em 1999 e não vi isso

[@matematicafundacao]

@@marlonsantos9781 Trigonometria, nesses moldes, não é mais ensinado, mas continua a ser necessário para ingresso nas escolas militares superiores.

[@liebe7825]

Uma grande de uma putaria

[@pedrosantarita5854]

sou fã!

[@matematicafundacao]

Valeu, Pedro.

[@Amoeba_Podre]

So não entendi uma coisa. Não deveria ter 6 soluções?

[@dublistoeo]

Professor... fiz aqui pela identidade de Euler. e^ix = cosx+i*senx (e daí extraio as relações de seno e cosseno com a exponencial imaginária). Expando com a sexta potência do binômio (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1) e chego na seguinte expressão: sen^6(x) + cos^6(x) = (3*cos(4x)+5)/8 Então (3cos(4x)+5)/8=7/12. Multiplicando por 8 os dois lados, tenho 3 cos (4x)+5=14/3 3cos(4x)=-1/3 cos(4x) = -1/9 4x = ± arccos(-1/9)+2*pi*k Então: x = 1/4*arccos(-1/9)+k*pi/2 ou x = -1/4*arccos(-1/9)+k*pi/2

[@matematicafundacao]

Rapaz, que bela solução.

[@dublistoeo]

​@@matematicafundacao No final fiquei feliz de ter chegado a uma expressão simples. Achei que não ia dar muito certo, mas acabou funcionando. Peguei as relações que tirei da identidade de Euler: cos x = (e^ix+e^-ix)/2, sen x = (e^ix-e^-ix)/2i e elevei a seis. Deu algo como: sen^6(x) = (e^i6x - 6e^i4x + 15e^i2x - 20 + 15e^-2ix - 6e^-4ix + e^-6ix)/(-64) Fiz o mesmo com o cosseno: cos^6(x)=(e^i6x + 6e^i4x + 15e^i2x + 20 + 15e^-2ix + 6e^-4ix + e^-6ix)/(64) Somei as duas expressões e aí somem os termos com expoente 6 e 2, por causa dos sinais... Deu: sen^6(x) + cos^6(x) = (12e^4ix + 40 + 12 e^-4ix)/64 E aí essas duas exponenciais dão cosseno... simplifica e aí chega em (3cos(4x)+5)/8 Fiquei feliz com a aposta ter dado certo e ficado só com o cosseno, pq aí ficava bem simples de resolver. Deu trabalho, por causa da quantidade de termos e da variação dos sinais... mas foi bem interessante...

[@MarcusVinicius-fc1we]

Muito boa a questão

[@matematicafundacao]

Valeu, Marcus.

[@Felipe-sw8wp]

Professor, recomendo usar a fórmula do arco duplo na parte do sen²x⋅cos²x = 5/36 Daí vc fica com uma equação do tipo sen²(2x) = c, e o conjunto solução fica com uma expressão um pouco mais simples.

[@matematicafundacao]

Sim, essa é a solução do livro que eu mencionei, mas eu fiz diferente para mudar um pouco.

[@Felipe-sw8wp]

@@matematicafundacao Excelente. Mas viste que faltaram soluções? No intervalo [0,2π] são 8 soluções! É um monte. Eu baixei agora o livro do Iezzi (vol.3, 2a edição) e fui ver a resolução e vi que ele também não deu o conjunto solução completo. Ainda se devem considerar os conjuntos {π-(±arcsen(√(5/6))) +2kπ} e {π-(±arcsen(1/√6))+2kπ}. Pode verificar que são disjuntos e a união deles é disjunta do seu conjunto. Sou matemático também e assisto vídeos de matemática que o youtube me sugere e acabei ficando absorvido no seu vídeo. Muito interessante. Abraço!

[@matematicafundacao]

@@Felipe-sw8wp Obrigado pelo comentário. Fiz uma pesquisa nas resoluções dos cursinhos e me parece que não há unanimidade na resposta. Uma coisa a observar é que o arcoseno tem um contradomínio limitado: de -π/2 a π/2, então as respostas devem estar nesse conjunto.

[@marcelocazzamatta6182]

Em 6min28, por que o 5/36 no segundo membro foi para o primeiro membro com sinal mantido ? O certo seria y2 -y - 5/36 = 0, e não y2 - y + 5/36 = 0.

[@matematicafundacao]

Oi Marcelo, é porque eu acabei fazendo três passos em um: passei a fração para o lado esquerdo, fiz a distributiva e multipliquei por -1 ambos os lados.

[@Simio_Da_Tundra]

Seria válido colocar x=±1/2*arcsen(√5/3)? Os valores são equivalentes, mas seria correto colocar isso como resposta?

[@MarceloLemosdeMedeiros-r3s]

Sim! tb trabalhei com sen(2x) e cheguei nesse resultado. Porém, a solução geral será x=±1/2*arcsen(√5/3) + k*pi. Esse resultado é equivalente ao do vídeo. Só conferir na calculadora científica. Dará aproximadamente ±24,095° + k*180º, com k inteiro.

[@mael4624]

Tio Cesar, não seria (+- arc sen (1/√6) + kπ) já que se eu der meia volta a partir deste ângulo, também irei encontrar uma solução?

[@matematicafundacao]

Hmm... veja que se vc girar π o seno muda de sinal...

[@mael4624]

@@matematicafundacao mas não iria cair em uma solução da msm forma? Não, pera, agora senhor me deixou pensativo, de fato o seno muda de sinal...

[@mael4624]

No vídeo que eu gravei, usei o aplicativo photomath para confirmar minha solução, e ele acusou com kπ e não 2kπ. Mas uma coisa curiosa, é q na solução do cursinho, está 2kπ também. Eu fiz o desenho no ciclo para me ajudar, e pra mim o kπ fez sentido.

[@adlerbrietzke]

@@matematicafundacao Mesmo que a função seno mude de sinal, não continuaria sendo uma solução por estar elevada a um expoente par? Fiquei um pouco confuso também, pois se resolvermos para cosˆ2(x) em vez de senˆ2(x) obtemos soluções com argumentos negativos no arco cosseno, que pensei serem soluções adicionais, e quando coloquei o problema no wolframalpha, obtive 8 diferentes valores de x, que somam 2.k.pi, onde k pertence aos inteiros

[@Nasser-yk3ev]

dá pra fazer elevando a relação fundamental ao cubo abrindo da forma fatorada: sen⁶x + cos⁶x + 3sen²xcos²x.(sen²x + cos²x) = 1³ 3sen²x (1-sen²x) + 7/12 = 1 depois cai numa bi quadrada e vapo... bela resolução, boa noite!

[@matematicafundacao]

Valeu Nasser, também uma ótima ideia.

[@ProfessorDaviLima]

Toooooppp

[@takagi1337]

Na questão C.91 é bem parecido essa relação de sin^6+cos^6 = 1-3sin^2.cos^2 logo no inicio do livro haha

[@romarioeinstein]

Eu o fiz diferente, mas como tinha que ser encontrei o mesmo resultado.

[@joaosennos4788]

Eu resolvi de forma mais simples. Fiz sendo (Sen^2)^3 e substui por 1-cos^2..... cheguei a 3sen^4 - 3sen^2 + 5/12 = 0 e aí resolvi esta fazendo sen^2=x .....mais fácil e rápido

[@liviasilva2647]

Tb pensei nisso

[@pedrofilipe2092]

Opa!

[@abdinardooliveira9109]

Olá, vi que fizeste a solução em função do seno ao quadrado, para depois substituir por y e aí finalizar a questão. Porém fiquei na dúvida: por que não fazer em função do cosseno ao quadrado? A solução não admite arco cosseno?

[@matematicafundacao]

Também pode ser feito por cosseno. Veja que achamos dois valores para sen²x: quando dá 5/6, o cos²x dá 1/6 e vice-versa.

[@luisfernandoberghahnchagas745]

Quando estava no cursinho para engenharia, trabalhávamos muito com esse tipo de questão, mas a solução tinha que verificar qual dos 4 resultados de “x” era realmente solução (assim nos pediam os professores ); no restante, era o processo era equivalente! Eram bons tempos… E parabéns pela explicação, está excelente!

[@mael4624]

Tio Cesar, o senhor achou aquela questão do ita de 2005

[@matematicafundacao]

Achei sim, estou planejando o video. Foi uma questão difícil.

[@mael4624]

@@matematicafundacao verdade

[@ispecthor]

Mais uma pra conta, consegui fazer.

[@matematicafundacao]

Excelente!

[@ispecthor]

@@matematicafundacao eu fiz do mesmo jeito que o seu kkk, eu tenho os 11 livros do fundamentos da matemática elementar em pdf, vou procurar o outro jeito de responde. Eu suspeitei da soma de cubos, eu tenho decorado um monte de produtos notáveis kkk, por conta da OBMEP. Inclusive aprendi um muito legal, se n souber anota ae: x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - (xy + xz + yz)) Esse eu aprendi no canal Sybermath

[@felipepires3912]

Que livros de questão é esse ? Estou estudando agora o ITA Vale a pena fazer ele ?

[@pedroribeiro1536]

É uma coleção de livros chamada Fundamentos de Matemática Elementar feito pelo Gelson Iezzi. É uma coleção muito boa, serve mais como uma revisão aprofundada de todos os conceitos de ensino médio. Não é suficiente para o Ita, mas vale muito a pena. Se não me engano existe pdf na internet de todos os 11 livros da coleção

[@mael4624]

Mais que coisa Cesar, esse seria o próximo vídeo do meu canal >:[

[@matematicafundacao]

Mas tem muitas outras questões...

[@mael4624]

Ta bem, vou tentar com uma outra

[@pedroribeiro1536]

Utilizei uma solução alternativa e cheguei na resposta x = (±arccos(2/3))/2 + kπ, sendo k pertencente aos inteiros. É exatamente a mesma solução, mas como eu fiz os cálculos usando as fórmulas de arco duplo, cheguei nesse resultado.

[@matematicafundacao]

Boa, Pedro!

[@Mephisto707]

Estão faltando soluções na resposta. O professor encontrou 4 ângulos distintos, mas existem 8 ângulos que solucionam o problema.

[@Felipe-sw8wp]

De fato, fiquei pensando também. Νο conjunto solução apresentado, existem apenas 4 valores que estão entre 0 e 2π, e são: arcsen(√ (5/6)) = 1.15... -arcsen(√ (5/6))+2π = 5.13... arcsen(1/√ 6) = 0.42... -arcsen(1/√ 6)+2π = 5.86... Mas estão faltando por exemplo 3.56... que é o valor de π-(-arcsen(1/√6)). O valor mais aproximado se quiser dar um ctrl+c ctrl+v pra colocar na calculadora e verificar que de fato satisfaz a equação é 3.5621269888737583663509058991927 Isso porque pra equação sen(x) = b o conjunto solução é obtido pelos ângulos arcsen(b) e π-arcsen(b).

[@marcomarzzulo]

Buguei na segunda linha...

[@paulistano-]

Vish

[@lukasgamer3599]

🧠

[@EvoX__lord78]

Onde é utilizado isso na vida real? Qual o sentido de aprender essa coisa?

[@EstudoITA]

Fica tranquilo isso não aparece na escola, só pra quem quer ser engenheiro

[@jeftemelo4452]

Professor parabéns , eu realmente não entendi muito , não pela explicação , à explicação foi ótima, só estou um pouco atrasado ou esse conteúdo não é para 3° ano do ensino Médio

[@jeftemelo4452]

Mas vê o senhor explicando , me deu uma grande motivação para escutar muito

[@jeftemelo4452]

Eu quero muito ser muito inteligente , eu aprendo muito rápido então sempre vou tá acompanhando seu canal

[@jeftemelo4452]

E o senhor está de parabéns

[@jeftemelo4452]

Se vocês poderem me indicar livros ou até mesmo sites para estudar , eu tô precisando muito , eu fui muito afetado nos meus estudos do 1 e 2 ano do ensino médio e tô no 3 ano me saindo pq sempre goste de escutar por conta

[@luizclaudiogermanodacosta5444]

Tem uma coleção de livros chamada de Fundamentos da Matemática Elementar

[@Fredscorpion2]

Lindo! Porém a resposta é +k𝝅 e não +2k𝝅

[@andrefelipe2754]

E eu com dificuldade em matemática básica, e vendo isso 😐

[@gerindontgiveafvck8447]

incrível como absolutamente todas as provas militares usam o Iezzi como referência p fazer questões. nem o ITA escapa...

[@matematicafundacao]

Como se diz por aí, é embasamento garantido.

[@MatheusSouza-fm7yt]

16/36 = 4/9 não 4/6

[@mardenmarinho2260]

Ele tirou a raiz quadrada de 16 e de 36, meu filho! Ele não simplificou por 4! Famigerada fórmula de "Bhaskara"

[@MatheusSouza-fm7yt]

@@mardenmarinho2260 Ah sim, verdade erro meu

[@liebe7825]

Vi o video inteiro,to fazendo a merda do ensino medio,obg por me traumatizar

[@edercavalcante7054]

Mais toda questão tem que ser simples, é por isso que o mundo teme a matemática, por esses floreios inúteis!