集合の濃度の話をします

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マルチーズ先生のやさしい東大数学

Күн бұрын

Пікірлер

@inpaddyfields5187 Ай бұрын

カントールの対角線論法、中学のときに当時の塾長に教えてもらってその日は夜まで感動で震えていました。懐かしいです。

@マルチーズ先生のやさしい東大数 Ай бұрын

良いエピソードですね！

@yoshimuranaohiro1766 Ай бұрын

高校数学までしかやってないから合ってるかわかんないけど、なんとなく-1〜1の有理数と-∞〜∞の整数が同じくらいな気がする

@マルチーズ先生のやさしい東大数 Ай бұрын

良い感してますね。

@自由律俳句とかいう無法地 Ай бұрын

『濃度が等しい』の定義は、『全単射写像が少なくとも1つ存在する』です。 12:30 1つの写像が全射でないことを証明するのではなく、すべての写像が全射でないことを証明しなきゃいけないのでは？

@motton5926 Ай бұрын

動画内では、fを任意の全単射とする、などというあたりは、あまり明言されてないのが気になりますが、全単射の写像が1つでも存在するとき、その中の任意の1つをfとして、以後動画内のfの議論・・としたとき、何か不都合がありそうな箇所がありますか？（fとして、特定の全単射に依存した事実を使っているなど）

@kon1856 Ай бұрын

多分、全単射fが存在すると仮定して矛盾を導いてるのではないでしょうか？

@自由律俳句とかいう無法地 Ай бұрын

それなら、『自然数ℕの1, 2, 3, ……を、それぞれ整数ℤの1, 2, 3, ……と対応させる写像を考える。この写像は全単射でないから、ℕとℤの濃度は等しくない。』という説明も正しいということになりますよ。可算集合であっても、どんな写像を選ぶかによって、全単射になったりならなかったりします。

@motton5926 Ай бұрын

@@自由律俳句とかいう無法地＞可算集合であっても、どんな写像を選ぶかによって、全単射になったりならなかったりしますいや、そこには異論はなくて、おそらく動画の説明で行間が省略されているところはありますが、全単射があるとしてその1つを任意にとってfとして、以後の議論をしているのが動画主の意図なのでしょうと言っています。その前提のもとで、「fは任意にとったはずなのに、特定の写像に依存しているような部分」がありますか？そこに疑いがないのなら、どのような写像も全単射になれない（特定の写像が全単射でないと言っているわけではない）ということが示されるので、問題ないですよね？

@kixtusa Ай бұрын

当たり前すぎて普通は省略しますが、N→（0,1）が全単射であるような写像の集合Fが空でないと仮定したうえで、Fの任意の元fを取り出すと矛盾が出るので、Fは空=上記のような写像は存在しないっていう議論です。

@たけりん-y5s Ай бұрын

10:50 小数は表示が一意ではないので、動画の説明だと反例が生まれますね。たとえば f(1)=0.0999… f(n)=(a_nnが0でない小数) (n>1) であるようなfに対して、 b=0.1000…と定めることができますが、これはf(1)と一致します。やり方は色々あると思いますがちょっと工夫してやらないといけない部分ですね。

@マルチーズ先生のやさしい東大数 Ай бұрын

そうですね。aからbへの変換の仕方を定めるべきでした。