【京都大学2023年】最高難度の証明問題

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2 ай бұрын

こんにちは！マルチーズ先生です。かなり難易度が高いです。初見で解くのはかなりキツイかもです。。。
【マルチーズ先生のやさしい東大数学】
高校レベルから大学レベルまでの、面白そうな数学の問題を、週3回、火曜・金曜・土曜の19時配信予定。
数学パズル講師　マルチーズ先生
地元の県立高校を卒業後、東京大学理科いぬ類に入学。犬として初めて、東京大学大学院工学系研究科を卒業。現在は、大学入試問題過去問、積分問題、図形問題その他について、高校レベルから大学レベルまで幅広く扱い、youtubeで動画配信中。趣味は散歩とフリスビードッグ。

Пікірлер: 45

@user-vq3wb4iw2l Ай бұрын

わかりやすい捨て問助かる。

@vorsokratiker4420 2 ай бұрын

三角関数と素数の性質の組み合わせ問題って珍しい気がしますね。 3以上のすべての素数について、θがπの有理数倍とならないのは、かなり強い要請ですよね。面白いです。

@user-we9lp7lh4t 2 ай бұрын

確かに面白いですね！

@wswsan 2 ай бұрын

cosnθ = f_n(cosθ)とその最高次数の係数, 2021年電通大後期数学でも出てたからすごく見覚えあったなお電通大のは誘導付きだったけど

@user-we9lp7lh4t 2 ай бұрын

そうなんですね！

@vacuumcarexpo 2 ай бұрын

チェビ五郎を使うんだろう？と思って色々やってみたが、お手上げ❗ そういう風に使うのね。誘導が3倍角と4倍角だから、途中で出てきた3項間漸化式を使うんだろうと考えたが、上手く行かなんだワイ。

@user-we9lp7lh4t 2 ай бұрын

これは難問だと思います。

@user-sq8tj3ze7v 2 ай бұрын

三角関数と整数問題の融合って Pass laboでやりそう

@ys-yt2jd 2 ай бұрын

もっと強くコサインが有理数のときそのようなm/nは1/2,1/3,2/3しか無い事が知られていますね。調べると出てきます。体論を使った証明などがあって面白いです

@user-we9lp7lh4t 2 ай бұрын

体論ですか。。。スマートに解けそうですね。

@ys-yt2jd 2 ай бұрын

@@user-we9lp7lh4tもしご興味があれば period mathematics というサイトで解説されています。推察の通り大変スマートです

@ys-yt2jd Ай бұрын

@@user-we9lp7lh4t （何故か消えていたので送り直します。二重に行ってたらすみません）推察の通りこの問題の本質がクッキリと見える大変スマートな証明です。もしご興味があればperiod mathematics というサイトに載っているのでご覧ください

@81kei14 Ай бұрын

さらにコサインの値を拡張して、自然数の加減乗除とルートで表せる値(作図可能な長さ)を考えるその場合はθ=mπ/n (ただしm,nは互いに素) で表せることと θ=π/n で表せることが同値になるから、正多角形の作図可能性の問題、20歳のガロアが証明したことになる

@user-we9lp7lh4t Ай бұрын

@@81kei14 コメント有難うございます。昔の数学者、科学者は若くして実績を挙げている方が多いですね。

@user-bd1xv1fo2l Ай бұрын

チェビシェフの多項式ですね✨

@user-we9lp7lh4t Ай бұрын

その通り！

@user-bd1xv1fo2l Ай бұрын

@@user-we9lp7lh4t cosineの足し算いきなり使ってもいいかも。

@user-fw2vg8je1i Ай бұрын

大学数学を使えば1の冪根がℚ上整であることから2cosθが有理数ならば整数であることがわかりますね。院試にあってもおかしくない問題だと思います。

@user-we9lp7lh4t Ай бұрын

そのようなレベルなのですね。コメント有難うございます！

@user-dq3ht9st5h 2 ай бұрын

9:08 2cosθfₖ₊₁(cosθ)−fₖ(cosθ)のミスですかね？たぶん。（解答の結果には影響しませんが一応）

@user-we9lp7lh4t 2 ай бұрын

スミマセン、cosθ打ち込み忘れました。。。

@AYN_Kaede Ай бұрын

この問題友達とめっちゃ議論してた笑

@user-we9lp7lh4t Ай бұрын

良い友達ですね！

@user-kj3sd9ov3x 2 ай бұрын

ようこんな問題思い浮かぶな作問の裏側とか知りたいもんだ

@user-su8ir3mn1e 2 ай бұрын

チェビシェフの多項式っていう結構有名なやつで京大はよく出してるよ

@user-kj3sd9ov3x 2 ай бұрын

@@user-su8ir3mn1e へー、京大多いんですね、作問対象が決まってるとある程度は問題が浮かびやすいのかな、それでもすごいと思ってしまうリプありがとうございますm(_ _)m

@saundersn.6147 2 ай бұрын

京大はかなり古くから出題してるね。他の地方公立大も数年おきぐらいに出題してる。本格的な理論（チェビシェフの本来のアイディアに関するもの）は間違いなく高校レベルを越えていてそのままでは出題できないけど、時系列的にはアメリカの競技数学（主に数学オリンピック）で80年代後半に作られた高校生むけの問題たちを京大入試などでは一部を拝借したりアレンジしている様に見える。有名な「とある三角関数の値が無理数か？」も入試より以前にアメリカの数オリ用の参考書には練習問題として紹介されている。

@user-kj3sd9ov3x 2 ай бұрын

@@saundersn.6147 詳しく調べてますね、すごいなるほど、外国の問題を一部輸入してたりもしてるんすねどこも毎年自分の大学に合わせた問題をよく作れるなと思ってたけど、拾ってきたりもしてるんですね競技用で使われてたなら、実際にその問題を受ける人のうちどれだけ解けそうかも、全くの新しい問題よりは何となく分かることもできそうですしね（数オリ受ける人はレベル高いだろうからズレはあるでしょうけど）色々と情報ありがとうございますm(_ _)m

@asukamiraidream 2 ай бұрын

作問の裏側というよりも、工学的に意味を為す出題率が高いと韻を踏んでいます。なので、京大ではないですが、2013年の阪大入試でsinc関数の極限に関する証明（※これも出題頻度高い）がそのまま出題されていたり、何も難解な出題傾向という訳ではない様です。寧ろ、土台（基礎）が確り理解されているかを見ているというべきかなと思います。